\documentclass{ib102}
\usepackage[shorthands=off,czech]{babel}

% vim: fo+=t tw=80 spell spelllang=cs
% gen: ready

\assignment{4}
\exercise{1}
\points{2}
\duedate{16. 10. 2017}

\tikzset{
    state/.style={
           rectangle,
           rounded corners,
           draw=black,
           minimum height=2em,
           minimum width=3em,
           inner sep=3pt,
           text centered,
           },
}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO A JMENO
\name{}
\uco{}


\begin{document}
\begin{zadani}
\
Uvažte následující čtyři relace nad abecedou $\{a,b\}$:
\begin{center}
  \begin{tabular}{rcl}
    $u \, R_1 \, v$ & $\Longleftrightarrow$
    & $ |\#_a(u) - \#_b(u)| = |\#_a(v) - \#_b(v)| $\\[.7ex]
    $u \, R_2 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
    & $u = v^R$\\[.7ex]
    $u \, R_3 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
    & $\big(u=v\big)$ $\vee$ $\big(u$ i $v$ mají stejný druhý znak$\big)$\\[.7ex]
    $u \, R_4 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
    & $u$ i $v$ obsahují podslovo $babba$ nebo $u$ i $v$ neobsahují podslovo $babba$ \\
  \end{tabular}
\end{center}

\smallskip
\noindent
Pro každou z uvedených relací rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud to není ekvivalence, dokažte proč. Pokud to ekvivalence je, rozhodněte, zda jde o pravou kongruenci. Pokud se o pravou kongruenci nejedná, dokažte proč, pokud ano, určete její index. Všechny kroky náležitě zdůvodněte.\\ \\
\noindent Zde uvádíme praktickou pomůcku pro lepší přehled:\\

\center
\begin{tikzpicture}[>=latex,>=stealth',auto,node distance=1.3cm,semithick,initial
text=, rectangle, rounded corners]
  \node[state,initial] (ekv) {ekvivalence?};
  \node[state] (pk) [below left= of ekv] {pravá kongruence?};
  \node[state] (notekv) [below right= of ekv] {důkaz};
  \node[state] (yespk) [below left= of pk] {index?};
  \node[state] (notpk) [below right= of pk] {důkaz};

  \path[->, shorten >=1pt]
    (ekv) edge node {ano} (pk)
    (ekv) edge [below left] node {ne} (notekv)
    (pk) edge node {ano} (yespk)
    (pk) edge [below left] node {ne} (notpk)
  ;
\end{tikzpicture}

\end{zadani}

\begin{reseni}
%%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
