3. minipísemka — MB 103 — podzim 2017 — 8. 11. — skupina A
ŘEŠENÍ
Najděte všechna řešení následující diferenciální rovnice:
2  1 2 i
x y = y +xy
ŕ	
X2	X2
sy\	l2 + y
\x->	1 X
Rovnici vydělíme x2
y' =
Vidíme, že pravá strana je funkcí /(^), tedy jedná se o homogenní diferenciální rovnici. Zvolíme substituci u = ^, tedy y = ux. Potřebujeme vyjádřit y', derivujeme tedy y = ux jako součin (x je proměnná, u a y jsou funkce v proměnné x). Získáme y' = v!x + u. Dosadíme.
u'x + u = u2 + u
Postupnými úpravami získáme rovnici se separovatelnými proměnnými. Pamatujeme na to, že u' = 4^
u x = u
du 2 x— = u dx
—du = —dx u2 x
dx '
2
Pozor! Dělili jsme u , předpokládáme tedy, že u ^ 0. Na případ u = 0 se později podíváme zvlášť.
du = í —dx
Dosadíme zpět za m = " a vyjádříme y.
u2 Ix
- = lnlxl + c,    c G
u
u = - j j—-   ,   c e I
y -1
x     m\x\ + c
—x
y = i i i i ' c e 1
Vrátíme se zpět k případu u = 0, to odpovídá f = 0, tedy y = 0 a y' = 0. Podívejme se, zda řeší zadanou rovnici: x2 ■ 0 = 0 + x ■ 0, tedy 0 = 0, a y = 0 je řešením zadané rovnice. Žádnou volbou c toho řešení z y = in^+c nedostaneme, obecné řešení je tedy:
3. minipísemka — MB103 — podzim 2017 — 8. 11. — skupina B
ŘEŠENÍ
Najděte všechna řešení následující diferenciální rovnice:
Rovnici vydělíme x2. Můžeme si i přehodit strany.
xy-y2 = x2y'
xy y2 , V2-x~2=V
, y (y^2 y =- - [
X        \2ľ /
Vidíme, že pravá strana je funkcí tedy jedná se o homogenní diferenciální rovnici. Zvolíme substituci
u = ^, tedy y = ux. Potřebujeme vyjádřit y', derivujeme tedy y = ux jako součin (x je proměnná, u a y jsou funkce v proměnné x). Získáme y' = v!x + u. Dosadíme.
u'x + u = u — u2
Postupnými úpravami získáme rovnici se separovatelnými proměnnými. Pamatujeme na to, že u' =
u x = -	-u
du	
x— =	—U
dx	
-1	1 ,
-^-du =	—dx
	x
Pozor! Dělili jsme — u2, předpokládáme tedy, že u 7^ 0. Na případ u = 0 se později podíváme zvlášť.
1
u
——du = [ —dx
U IX
ln|x| + c,    c G 1
Dosadíme zpět za m = " a vyjádříme y.
ln|x| -
y 1
x     ln|x| + c
c G
c e
ln|x| + c
Vrátíme se zpět k případu u = 0, to odpovídá f = 0, tedy y = 0 a y' = 0. Podívejme se, zda řeší zadanou rovnici: x ■ 0 — 0 = x2 ■ 0, tedy 0 = 0,ay = 0je řešením zadané rovnice. Žádnou volbou c toho řešení z y = ln|^j+e nedostaneme, obecné řešení je tedy:
ln|x| 0
c e