NSTP 097 Statistika Zima 20091
Přehled pravděpodobnostních rozdělení
1 Diskrétní rozdělení
1.1 Alternativní (Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení
Značení: X ∼ Alt(p)
Parametry: p ∈ (0, 1)
Nosič: X ∈ {0, 1}
Hustota: P [X = j] = pj
(1 − p)1−j
, j ∈ {0, 1}
Střední hodnota: E X = p
Rozptyl: var X = p(1 − p)
Poznámky: Rozdělení indikátoru náhodného jevu, úspěch vs. neúspěch.
1.2 Binomické rozdělení
Značení: X ∼ Bi(n, p)
Parametry: p ∈ (0, 1), n ∈ N
Nosič: X ∈ {0, 1, . . ., n}
Hustota: P [X = j] =
n
j
pj
(1 − p)n−j
, j ∈ {0, 1, . . ., n}
Střední hodnota: E X = np
Rozptyl: var X = np(1 − p)
Poznámky: • Rozdělení součtu nezávislých alternativních veličin (počtu
úspěchů mezi n pokusy). Přesněji, jsou-li Xi ∼ Alt(p) nezávislé,
i = 1, . . . , n, pak n
i=1 Xi ∼ Bi(n, p).
• Bi(1, p) jest Alt(p).
• Jestliže n → ∞ a np → λ < ∞, pak Bi(n, p) konverguje k
Po(λ).
1.3 Geometrické rozdělení
Značení: X ∼ Geo(p)
Parametry: p ∈ (0, 1)
1
Michal Kulich, KPMS MFF UK, 29.9.2009
1
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
Nosič: X ∈ {0, 1, 2, . . .}
Hustota: P [X = j] = p(1 − p)j
, j = 0, 1, 2, . . .
Střední hodnota: E X =
1 − p
p
Rozptyl: var X =
1 − p
p2
Poznámky: Počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých
pokusů.
1.4 Poissonovo rozdělení
Značení: X ∼ Po(λ)
Parametry: λ > 0
Nosič: X ∈ {0, 1, 2, . . .}
Hustota: P [X = j] =
λj
j!
e−λ
, j = 0, 1, 2, . . .
Střední hodnota: E X = λ
Rozptyl: var X = λ
1.5 Negativně binomické rozdělení
Značení: X ∼ NB(n, p)
Parametry: p ∈ (0, 1), n ∈ N
Nosič: X ∈ {0, 1, 2, . . .}
Hustota: P [X = j] =
n + j − 1
n − 1
pn
(1 − p)j
, j = 0, 1, 2, . . .
Střední hodnota: E X = n
1 − p
p
Rozptyl: var X = n
1 − p
p2
Poznámky: Rozdělení počtu neúspěchů předcházejících n-tému úspěchu v posloupnosti
nezávislých pokusů. NB(1, p) jest Geo(p).
2 Spojitá rozdělení
2.1 Rovnoměrné rozdělení
Značení: X ∼ R(a, b)
2
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
Parametry: a, b ∈ R, a < b
Nosič: X ∈ (a, b)
Hustota: f(x) =
1
b − a
I(a,b)(x), x ∈ R
Distribuční funkce:
F(x) =



0 x < a,
x − a
b − a
a < x < b,
1 x > b
Střední hodnota: E X =
a + b
2
Rozptyl: var X =
(b − a)2
12
Poznámky: Rozdělení s konstantní hustotou.
2.2 Normální rozdělení
Značení: X ∼ N(µ, σ2
)
Parametry: µ ∈ R, σ2
> 0
Nosič: X ∈ R
Hustota:
f(x) =
1
√
2πσ
e−(x−µ)2/(2σ2)
, x ∈ R
Distribuční funkce: F(x) = Φ
x − µ
σ
, kde
Φ(x) =
1
√
2π
x
−∞
e−u2/2
du
Střední hodnota: E X = µ
Rozptyl: var X = σ2
Vyšší momenty: µk =
0 k liché
{(k − 1)(k − 3) · · ·3 · 1}σk
k sudé
Špičatost: γ4 = 3
3
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
2.3 Cauchyovo rozdělení
Značení: X ∼ C(a, b)
Parametry: a ∈ R, b > 0
Nosič: X ∈ R
Hustota: f(x) =
1
bπ
1 +
x − a
b
2 −1
Distribuční funkce: F(x) =
1
2
+
1
π
arctg
x − a
b
Střední hodnota: E X neexistuje
Rozptyl: var X neexistuje
Poznámky: Hustota je symetrická kolem a, momenty neexistují, E |X| =
+∞.
2.4 Exponenciální rozdělení
Značení: X ∼ Exp(λ)
Parametry: λ > 0
Nosič: X ∈ (0, ∞)
Hustota: f(x) = λe−λx
I(0,∞)(x)
Distribuční funkce:
F(x) =
0 x < 0
1 − e−λx
x > 0
Střední hodnota: E X =
1
λ
Rozptyl: var X =
1
λ2
2.5 Gama rozdělení
Značení: X ∼ Γ(a, p)
Parametry: a > 0, p > 0
Nosič: X ∈ (0, ∞)
Hustota: f(x) =
ap
Γ(p)
xp−1
e−ax
I(0,∞)(x), x ∈ R
4
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
Střední hodnota: E X =
p
a
Rozptyl: var X =
p
a2
Poznámky: • Γ(a, 1) jest Exp(a)
• Γ(a, k), k ∈ N jest součtem k nezávislých veličin s rozdělením
Exp(a); toto rozdělení se též nazývá Erlangovo.
• Γ
1
2
,
r
2
jest χ2
r-rozdělení.
2.6 Beta rozdělení
Značení: X ∼ B(α, β)
Parametry: α, β > 0
Nosič: X ∈ (0, 1)
Hustota: f(x) =
1
B(α, β)
xα−1
(1 − x)β−1
I(0,1)(x)
Střední hodnota: E X =
α
α + β
Rozptyl: var X =
αβ
(α + β)2(α + β + 1)
Poznámky: Systém konstantních, lineárních a kvadratických hustot na omezeném
intervalu (0, 1). B(1, 1) jest R(0, 1).
2.7 χ2
rozdělení
Značení: X ∼ χ2
r
Parametry: r ∈ N, stupně volnosti
Nosič: X ∈ (0, ∞)
Hustota: f(x) =
1
2r/2Γ(r/2)
x(r−2)/2
e−x/2
I(0,∞)(x)
Střední hodnota: E X = r
Rozptyl: var X = 2r
Poznámky: • Speciální případ Γ-rozdělení s parametry 1
2
, r
2
.
• Rozdělení součtu kvadrátů r nezávislých normovaných normálních
veličin.
5
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
2.8 Studentovo t-rozdělení
Značení: X ∼ tk
Parametry: k ∈ N, počet stupňů volnosti
Nosič: X ∈ R
Hustota: f(x) =
Γ k+1
2
Γ k
2
√
kπ
1 +
x2
k
−(k+1)/2
Střední hodnota: E X = 0 pro k ≥ 2, neexistuje pro k = 1.
Rozptyl: var X =
k
k − 2
pro k ≥ 3, var X = ∞ pro k = 1, 2.
Poznámky: • t1 jest C(0, 1)
• Jsou-li X ∼ N(0, 1) a Z ∼ χ2
k nezávislé, pak
X
Z/k
∼ tk
2.9 (Fisherovo) F-rozdělení
Značení: X ∼ Fm,n
Parametry: m, n ∈ N, stupně volnosti
Nosič: X ∈ (0, ∞)
Hustota: f(x) =
1
B m
2
, n
2
m
n
m/2
xm/2−1
1 +
m
n
x
−(m+n)/2
I(0,∞)(x)
Střední hodnota: E X =
n
n − 2
pro n ≥ 3, neexistuje pro n = 1, 2.
Rozptyl: var X =
2n2
(m + n − 2)
m(n − 2)2(n − 4)
pro n ≥ 5, var X = ∞ pro n ≤ 4.
Poznámky: • Jsou-li Z1 ∼ χ2
m a Z2 ∼ χ2
n nezávislé, pak
Z1/m
Z2/n
∼ Fm,n
• Je-li Y ∼ B(m/2, n/2), pak
n
m
Y
1 − Y
∼ Fm,n
6
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
3 Mnohorozměrná diskrétní rozdělení
3.1 Multinomické rozdělení
Značení: X ∼ Multk(n; p)
Parametry: k ≥ 2 počet přihrádek, n ∈ N počet pokusů, p ∈ {(0, 1)k
:
k
j=1 pj = 1} pravděpodobnosti přihrádek.
Nosič: X ∈ {{0, 1, . . ., n}k
: k
j=1 Xi = n}
Hustota: P [X1 = r1, . . . , Xk = rk] =
n!
r1! · · · rk!
pr1
1 · · · prk
k IA(r), kde A =
{r ∈ {0, . . ., n}k
: k
j=1 rj = n}
Střední hodnota: E X = np
Rozptyl: var X = n[diag (p) − ppT
]
Poznámky: • Rozdělení počtu koulí padlých do každé z k přihrádek při
n nezávislých pokusech.
• Marginální rozdělení Xj jest Bi(n, pj), j = 1, . . . , k
4 Mnohorozměrná spojitá rozdělení
4.1 Mnohorozměrné normální rozdělení
Značení: X ∼ Nk(µ, Σ)
Parametry: µ ∈ Rk
střední hodnota, Σ > 0 positivně definitní rozptylová
matice
Nosič: X ∈ Rk
Hustota: f(x) =
1
(2π)k/2
√
det Σ
exp −
1
2
(x − µ)T
Σ−1
(x − µ) , x ∈ Rk
Střední hodnota: E X = µ
Rozptyl: var X = Σ
Poznámky: Je-li k = 2, můžeme vyjádřit Σ =
σ2
1 ̺σ1σ2
̺σ1σ2 σ2
2
, kde ̺ =
cor (X1, X2). Pak
f(x1, x2) =
1
2π 1 − ̺2σ1σ2
exp −
1
2(1 − ̺2)
(x1 − µ1)2
σ2
1
−
− 2̺
(x1 − µ1)(x2 − µ2)
σ1σ2
+
(x2 − µ2)2
σ2
2
7
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
5 Appendix
5.1 Gama funkce
Definice: Γ(p) =
∞
0
xp−1
e−x
dx, p > 0 se nazývá gama funkce.
Vlastnosti: • Γ(k) = (k − 1)!, k = 1, 2, 3, . . .
• Γ(1/2) =
√
π
• Γ(p + 1) = pΓ(p), p > 0
5.2 Beta funkce
Definice: B(α, β) =
1
0
xα−1
(1 − x)β−1
dx, α, β > 0 se nazývá beta funkce.
Vlastnosti: • B(α, β) = B(β, α) =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
5.3 Normované normální rozdělení
Distribuční funkce: Φ(x) = 1√
2π
x
−∞
e−u2/2
du
Vlastnosti: Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Hodnoty:
x 0 0.5 1 1.5 2 3
Φ(x) 0.5 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9987
Kvantily:
α 0.5 0.8 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995
Φ−1
(α) 0 0.8416 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576
8
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
5.4 Kvantily χ2
-rozdělení
Definice: Pro dané α ∈ (0, 1) a r ≥ 1 hledáme x takové, že
1
2r/2Γ(r/2)
x
0
u(r−2)/2
e−u/2
du = α
Tabulka:
α
r 0.9 0.95 0.99 0.999
1 2.706 3.841 6.635 10.828
2 4.605 5.991 9.210 13.816
3 6.251 7.815 11.345 16.266
4 7.779 9.488 13.277 18.467
5 9.236 11.070 15.086 20.515
6 10.645 12.592 16.812 22.458
7 12.017 14.067 18.475 24.322
8 13.362 15.507 20.090 26.124
9 14.684 16.919 21.666 27.877
10 15.987 18.307 23.209 29.588
15 22.307 24.996 30.578 37.697
20 28.412 31.410 37.566 45.315
30 40.256 43.773 50.892 59.703
40 51.805 55.758 63.691 73.402
50 63.167 67.505 76.154 86.661
9
NSTP 097 (Statistika) Přehled rozdělení
Obsah
1 Diskrétní rozdělení 1
1.1 Alternativní (Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení . . . . . . . . . . . 1
1.2 Binomické rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Geometrické rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Poissonovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Negativně binomické rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Spojitá rozdělení 2
2.1 Rovnoměrné rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Normální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Cauchyovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Exponenciální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Gama rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 Beta rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 χ2
rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.8 Studentovo t-rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.9 (Fisherovo) F-rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Mnohorozměrná diskrétní rozdělení 7
3.1 Multinomické rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Mnohorozměrná spojitá rozdělení 7
4.1 Mnohorozměrné normální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Appendix 8
5.1 Gama funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Beta funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3 Normované normální rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.4 Kvantily χ2
-rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10