Spojité modely a statistika 2017 Doplnění ke 2. cvičení Transformace souřadnic. Zobrazení F : R2 → R2 lze vnímat jako transformaci z jedné soustavy souřadnic do druhé. Předpokládejme transformaci souřadnic u, v na souřadnice x, y, dané nějakým zobrazením F(u, v) = x(u, v), y(u, v) . To můžeme ilustrovat zobrazením souřadnicové mřížky: Stejně tak můžeme libovolnou křivku (množinu bodů) zobrazit do druhých souřadnic, nebo naopak křivku v souřadnicích x, y vyjádřit v souřadnicích u, v. Polární souřadnice. Každý bod v rovině R2 , kromě bodu [0, 0], můžeme jednoznačně vyjádřit pomocí vzdálenosti r ≥ 0 od počátku a úhlu ϕ ∈ 0, 2π) s osou x (viz obrázek). Tedy každému bodu [x, y] můžeme jednoznačně přiřa- dit1 dvojici čísel [r, ϕ], čímž získáváme polární souřadnice. 1 tím přiřazením myslím tu transformaci 1 V bodě [0, 0] je ten problém, že mu můžeme přiřadit libovolnou dvojici [0, ϕ]. Sice také každému bodu [x0, y0] můžeme přiřadit kromě bodu [r0, ϕ0] i libovolný bod [r0, ϕ0 +2kπ], kde k ∈ Z, ale to nám nevadí, neboť v dostatečně malém okolí každého bodu [r0, ϕ0 + 2kπ] je přiřazení jednoznačné. Některé křivky mají v polárních souřadnicích jednodušší zápis než ve obyčejných kartézských souřadnicích. Např. následující spirála je zadaná rovnicemi v polárních (zadané explicitně) a obyčejných souřadnicích (zadané parametricky) takto: r(ϕ) = ϕ x(t) = t · cos(t) y(t) = t · sin(t) Jacobiho matice zobrazení F(x, y) = F f(x, y), g(x, y) je definován ná- sledovně: F (x, y) = fx(x, y) fy(x, y) gx(x, y) gy(x, y) Geometricky lze F (x0, y0) interpretovat tak, že řádkové vektory zadávají směrnice tečen ke zobrazené souřadnicové mřížce v bodě F(x0, y0). 2 Jacobián je determinant Jacobiho matice. Absolutní hodnotu determinantu matice A = ( a11 a12 a21 a22 ) lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku o stranách zadaných řádkovými vektory matice A. Tedy jacobián nám aproximuje, na „čtverečky jakého obsahu se nám transformuje souřadnicová mřížka (přitom čím menší čtverečky mřížky transformujeme, tím přesněji vyjde obsah „transformovaného čtverečku ). Viz následující obrázek, kde u, v jsou vektory. Když tedy vezmeme u = (0, 1) a v = (1, 0) dostaneme u = u · F (x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) v = v · F (x0, y0) = (gx(x0, y0), gy(x0, y0)) Zřejmě to, co nechceme, je, aby vektory u , v byly na sebe rovnoběžné (splývaly) nebo byl jeden z nich nulový. V takovém „čtverečku pak nejsme schopni jednoznačně lokalizovat body, neboli F není prosté. 3 Připomenutí determinantu a inverze maticemi Determinant matice se počítá pro matici 1 × 1: det(a11) = a11, matici 2 × 2: det a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12a21, matici 3 × 3, dle Sarrusova pravidla (viz obrázek výše): det   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − . . . . Pro výpočet determinantu matice 4 × 4 a větší již musíme matici upravit elementárními řádkovými operacemi, popř. použít Laplaceův rozvoj, atd. Inverzní matici matice 3 × 3, můžeme spočítat následovně A−1 =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   −1 = 1 det A   ˜a11 ˜a12 ˜a13 ˜a21 ˜a22 ˜a23 ˜a31 ˜a32 ˜a33   T = 1 det A            + a22 a23 a32 a33 − a21 a23 a31 a33 + a21 a22 a31 a32 − a12 a13 a32 a33 + a11 a13 a31 a33 − a11 a12 a31 a32 + a12 a13 a22 a23 − a11 a13 a21 a23 + a11 a12 a21 a22            T , 4 kde ˜aij = (−1)i+j det(matice A bez i-tého řádku a j-tého sloupce); pozor, všimněte si, že matici je nutné ještě transponovat. Pro matici 2 × 2 je to stejné, ale o hodně jednodušší: A−1 = a11 a12 a21 a22 −1 = 1 a11a22 − a12a21 a22 −a12 −a21 a22 Pro determinanty matic navíc platí det(A · B) = det(A) · det(B), det(A−1 ) = det(A)−1 . 5