Spojité modely a statistika 2017
Řešené příklady k 11. cvičení
Příklad. Mějme zadánu spojitou náhodnou veličinu X s hustotou pravděpodobnosti
fX(x) a distribuční funkcí FX(x). Určete hustotu pravděpodobnosti
fY (y) a distribuční funkci FY (y) transformované náhodné veličiny Y = 1
X
,
kde X > 0.
Řešení. Uvědomme si, že tentokrát je transformace klesající funkce. Nejprve
určíme distribuční funkci:
FY (y) = P(Y ≤ y) = P( 1
X
≤ y) = P(1
y
≤ X) = 1 − P(X ≤ 1
y
) = 1 − FX(1
y
).
Nyní derivací obou stran rovnice získáme hustotu pravděpodobnosti:
fY (y) = FY (y) = (1 − FX(1
y
)) = −fX(1
y
) ·
−1
y2
= fX(1
y
) ·
−1
y2
.
Poznámka. Obecně pro transformaci Y = g(X), kde g je rostoucí nebo klesající,
platí1
:
fY (y) = fX(g−1
(y)) · (g−1
(y)) .
Příklad. Mějme zadánu spojitou náhodnou veličinu X s pravděpodobností
rovnoměrného rozdělí na intervalu −1, 2 . Určete hustotu náhodné veličiny Y
získané trasformací Y = |X|. Dále určete střední hodnoty EX a EY a kovarianci
C(X, Y ).
Poznámka. Můžeme si například představit, že generujeme náhodná čísla od
−1 do 2. Náhodná veličina X udává, které číslo se vygenerovalo. Náhodná
veličina Y udává absolutní hodnotu čísla, které se vygenerovalo, tedy jevům
„vygenerovalo se x0 a „vygenerovalo se −x0 přiřadí stejnou číselnou hod-
notu2
. Protože se generují čísla od −1 do 2, pravděpodobnost, že absolutní
hodnota vygenerovaného čísla bude v intervalu 0, 1 , bude vyšší než pravděpodobnost,
že bude v intervalu 1, 2 .
1
g−1
značí inverzí funkci
2
Připomeňme, že náhodná veličina je zobrazení X : Ω → R.
1
Nápověda. Můžete využít toho, že pro střední hodnotu trasformované spojité
(obdobně pro diskrétní) náhodné veličiny Y = g(X) platí:
EY = E(g(X)) =
∞
−∞
g(x) · fX(x) dx.
Řešení. Hustota pravděpodobnosti rovnoměrného rozdělení na intervalu −1, 2
je zadána následovně:
fX(x) =
1
2−(−1)
= 1
3
pro x ∈ −1, 2
0 jinak.
Nejdříve musíme určit distribuční funkci transformované náhodné veličiny
Y a teprve potom můžeme spočítat její hustotu pravděpodobnosti3
. Počítejme
tedy
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(|X| ≤ y) = P(−y ≤ X ≤ y)
=



0 pro y ≤ 0
y
−y
fX(x) dx = 2y
3
pro y ∈ 0, 1
y
−1
fX(x) dx = y
3
+ 1
3
pro y ∈ 1, 2
1 pro y ≥ 2
To můžeme ilustrovat následujícím obrázkem - pro výpočet FY (y) integrujeme
hustotu fX(x) přes množinu hodnot x takových, které se zobrazí na
hodnotu menší než y, tj. {x | |x| ≤ y} = {x | −y ≤ x ≤ y}.
X
Y
y
-y y
Y=|X|
Hustotu pravděpodobnosti fY (y) nyní získáme jednoduše derivací FY (y).
fY (y) =



2
3
pro y ∈ 0, 1
1
3
pro y ∈ (1, 2
0 jinak
3
Nemůžeme použít vzoreček nahoře, protože transformace není prostá a na −1, 0 je
klesající, na 0, 2 je rostoucí.
2
Nyní spočítejme střední hodnoty EX a EY . Pro výpočet EY nepotřebujeme
znát hustotu fY (y), protože můžeme využít nápovědy. Při integrování
|x| rozdělíme integrál na dva integrály, neboť |x| = −x pro x ≤ 0 a |x| = x
pro x ≥ 0.
EX =
2
−1
x ·
1
3
dx =
x2
6
2
−1
=
4
6
−
1
6
=
1
2
EY = E|X| =
2
−1
|x| ·
1
3
dx =
0
−1
(−x) ·
1
3
dx +
2
0
x ·
1
3
dx
=
−x2
6
0
−1
+
x2
6
2
0
=
1
6
+
4
6
=
5
6
Pro výpočet kovariance ještě potřebujeme spočítat E(X · Y ). K tomu opět
využijeme nápovědy.
E(X · Y ) = E(X · |X|) =
2
−1
x · |x| · fX(x) dx =
0
−1
−x2
3
dx +
2
0
x2
3
dx
=
−x3
9
0
−1
+
x3
9
2
0
=
−1
9
+
8
9
=
7
9
Nyní již můžeme spočítat kovarianci
C(X, Y ) = E(X · Y ) − (EX) · (EY ) =
7
9
−
1
2
·
5
6
=
28 − 15
36
=
13
36
.
3