Spojité modely a statistika 2017
Řešené příklady k 12. cvičení
Čísla v závorce u příkladů udávají čísla příkladů v učebnici Matematika
drsně a svižně.
Příklad (9.77). Ze základního souboru, z rozdělením N(µ, σ2
), kde σ2
=
0, 06, jsme pořídili náhodný výběr s realizacemi 1, 3; 1, 8; 1, 4; 1, 2; 0, 9; 1, 5; 1, 7.
Určete oboustranný 95% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu.
Řešení. Protože známe σ2
a chceme určit interval, ve kterém na 95% leží
střední hodnota µ, použijeme vzoreček pro interval
M −
σ
√
n
u1−α/2, M +
σ
√
n
u1−α/2
Pro výběrový průměr máme vzorec M = 1
n
n
i=1 Xi, kde n = 7 je velikost
náhodného výběru (počet zadaných hodnot) a Xi jsou ty hodnoty. Tedy
M = 1
7
(1, 3 + 1, 8 + 1, 4 + 1, 2 + 0, 9 + 1, 5 + 1, 7) = 1, 4.
Chceme 95% interval spolehlivosti, tedy 1−α = 0, 95, tedy α = 0, 05. Potřebujeme
tedy najít kvantil (normovaného normálního rozdělení) u1−0,05
2
=
u0,975, tento kvantil nalezneme v tabulce. Buď se podíváme do tabulky distribuční
funkce normálního rozdělení Φ a najdeme pravděpodobnost nejbližší
0, 975 a zpětně vyčteme v pro jakou hodnotu to je, nebo se podíváme do
tabulky kvantilů a najdeme hodnotu pro u0,975, přičemž platí u1−p = −up. Z
tabulky vyčteme hodnotu 1, 960, tedy můžeme dosadit do vzorce pro interval:
1, 4 −
√
0, 06
√
7
· 1, 96, 1, 4 +
√
0, 06
√
7
· 1, 96 = (1, 22, 1, 58).
Příklad (9.74). Při 600 hodech kostkou padla jednička pouze 45 krát. Rozhodněte,
jestli je možné tvrdit, že jde o ideální kostku na hladině α = 0, 01.
Vše zdůvodněte a svůj závěr explicitně formulujte.
Řešení. Náhodná veličina Y udávající počet padlých jedniček na ideální
kostce má rozdělení pravděpodobnosti Y ∼ Bi(600, 1
6
). Z Moivre-Laplaceovy
věty víme, že Y můžeme aproximovat jako Y ∼ N(n · p, n · p · (1 − p)) =
N(100, 250
3
) (neboli transformovaná veličina Z = Y −np√
np(1−p)
∼ N(0, 1)).
My sice nevíme, jestli je kostka ideální, ale předpokládejme, že náhodná
veličina X udávající počet padlých jedniček na zkoumané kostce má rozptyl
taky σ2
= 250
3
a má rozdělení pravděpodobnosti N(µ, 250
3
).
1
Tvrzení, že jde o ideální kostku na hladině α = 0, 01, odpovídá tvrzení,
že střední hodnota náhodné veličiny Y (pro ideální kostku), tj. 100, spadá
do oboustranného (1 − α) · 100% = 99% intervalu spolehlivosti pro střední
hodnotu µ (náh. veličiny X).
Spočítejme tedy 99% interval spolehlivosti pro µ. Protože máme jen jedno
měření a to X1 = 45, máme výběrový průměr roven M = 45. Interval spolehlivosti
je tedy (podle stejného vzorce, jak u předchozího příkladu):

45 −
250
3
√
1
u0,995, 45 +
250
3
√
1
u0,995

 ˙=(21, 69).
Protože střední hodnota 100 (pro ideální kostku) nenáleží do vypočítaného
intervalu spolehlivosti, můžeme na hladině 0, 01 říci, že se nejedná o
ideální kostku.
2