Spojité modely a statistika 2017
Řešené příklady k 5. cvičení
Příklad 11. Spočítejte A
x3
y dx dy, kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničená
grafy funkcí y = x a y = x3
.
Řešení. Nejprve si nakreslíme obrázek, abychom si uvědomili, který graf
funkce je dole a který nahoře (případně vlevo vpravo pro integrování nejprve
podle x).
Vidíme tedy, že množinu můžeme zadat pro 0 ≤ x ≤ 1 funkcemi x3
≤ y ≤
x, prípadně pro 0 ≤ y ≤ 1 funkcemi y ≤ x ≤ 3
√
y. Spočítáme tedy integrál
oběma způsuby (popisu množiny A).
A
x3
y dx dy =
1
0
x
x3
x3
y dy dx
=
1
0
x3
·
y2
2
x
x3
dx =
1
0
x5
2
−
x9
2
dx
=
x6
12
−
x10
20
1
0
=
1
12
−
1
20
=
5 − 3
60
=
1
30
A
x3
y dx dy =
1
0
3
√
y
y
x3
y dx dy
=
1
0
x4
4
· y
3
√
y
y
dy =
1
0
y
7
3
4
−
y5
4
dy
=
y
10
3
4 · 10
3
−
y6
4 · 6
1
0
=
3
40
−
1
24
=
9 − 5
120
=
1
30
1
Příklad. Spočítejte B
xy dx dy, kde B je zadaná nerovnostmi −1 ≤ x ≤ 1
a |x| ≤ |y|.
Řešení. Nakreslíme si obrázek.
Množina B je na obrázku oblast „tvaru motýlku ohraničený křivkami
y = x, y = −x pro x ∈ −1, 1 . Na obrázku lze vidět, že přímka y = −x
je nalevo nad y = x, ale napravo pod. Tudíž musíme integrál rozdělit na 2
integrály přes 2 množiny:
B− = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 0, x ≤ y ≤ −x}
B+ = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x}.
Tedy počítejme
B
xy dx dy =
B−
xy dx dy +
B+
xy dx dy
B−
xy2
dx dy =
0
−1
−x
x
xy2
dy dx
=
0
−1
x ·
y3
3
−x
x
dx =
0
−1
x ·
(−x)3
3
− x ·
x3
3
dx
=
0
−1
−2 ·
x4
3
dx =
−2
3
·
x5
5
0
−1
= 0 −
(−2) · (−1)
15
=
−2
15
2
B+
xy2
dx dy =
1
0
x
−x
xy2
dy dx
=
1
0
x ·
y3
3
x
−x
dx =
1
0
x ·
x3
3
− x ·
(−x)3
3
dx
=
1
0
2 ·
x4
3
dx =
2
3
·
x5
5
1
0
=
2
15
Dohromady
B
xy dx dy =
B−
xy dx dy +
B+
xy dx dy =
−2
15
+
2
15
= 0.
3