Spojité modely a statistika 2017
Řešené příklady k 6. cvičení
Příklad 5. Vypočtěte integrál A
2 (x2
+ y2
) dx dy, kde A: 1 ≤ x2
+y2
≤ 4,
y ≥ |x|.
Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic.
Řešení. Nejprve si nakreslíme obrázek množiny A.
Vidíme tedy, že množinu můžeme zadat v polárních souřadnicích nerovnostmi:
π
4
≤ ϕ ≤ 3π
4
, 1 ≤ r ≤ 2. Spočítejme tedy integrál:
A
2 x2
+ y2
dx dy =
G−1(A)
2 (r · cos(ϕ))2
+ (r · sin(ϕ))2
· r dr dϕ
=
G−1(A)
2r3
cos2
(ϕ) + sin2
(ϕ)
=1
dr dϕ
=
3π
4
π
4
2
1
2r3
dr dϕ =
3π
4
π
4
2 ·
r4
4
2
1
dϕ
=
3π
4
π
4
16
2
−
1
2
dϕ =
15
2
ϕ
3π
4
π
4
=
15
4
π.
1
Příklad 6. Vypočtěte
1
0
√
1−x2
−
√
x−x2 dy dx.
Řešení. Nakreslíme si obrázek množiny.
Tuto množinu bude lepší rozdělit na část nad osou x a část pod osou x.
Nad osou x máme čtvrtinu kružnice se středem v bodě [0, 0] s poloměrem
r = 1, tuto část označme M1. Pod osou x máme polovinu kružnice se středem
v bodě [1
2
, 0] s poloměrem r = 1
2
. Tedy
1
0
√
1−x2
−
√
x−x2
dy dx =
1
0
√
1−x2
0
dy dx +
1
0
0
−
√
x−x2
dy dx
=
M1
dy dx +
M2
dy dx.
Integrál M1
dy dx vypočítáme převodem do polárních souřadnic se středem
v počátku, integrál M2
dy dx vypočítáme převodem do polárních souřadnic
se středem v bodě [1
2
, 0].
M1
dy dx =
G−1(M1)
r dr dϕ =
π
2
0
1
0
r dr dϕ
=
π
2
0
r2
2
1
0
dϕ =
π
2
0
1
2
dϕ =
π
4
M2
dy dx =
2π
π
1
2
0
r dr dϕ =
2π
π
1
8
dϕ =
π
8
Dohromady
1
0
√
1−x2
−
√
x−x2
dy dx =
M1
dy dx +
M2
dy dx =
3
8
π.
2
Když si uvědomíme, že
1
0
√
1−x2
−
√
x−x2 dy dx je vlastně jen obsah množiny
vyšrafované na obrázku, tak to přesně odpovídá součtu obsahu (S = πr2
)
čtvrtiny kruhu s poloměrem 1 a poloviny kruhu s poloměrem 1
2
:
1
4
· π · 12
+
1
2
· π ·
1
2
2
=
3
8
π.
Zajímavější je spočítat
1
0
√
1−x2
−
√
x−x2 x dy dx. Zkuste to sami výše uvedeným
způsobem (nezapomeňte při transformaci souřadnic na posunutí). Mělo by
to vyjít
1
0
√
1−x2
−
√
x−x2 x dy dx = π
16
+ 1
3
.
Příklad. Zkuste sami vypočítat integrál
1
0
√
2x−x2
x
xy dy dx.
Řešení. Rozdělte si na 2 integrály, jeden spočítá oblast pod čtvrtinou kružnice
(použijete posunuté polární souřadnice), druhý pod přímkou y = x (pro
x ∈ 0, 1 ), a odečtěte druhý integrál od toho prvního. Pro spočítání integrálu
cos ϕ sin ϕ dϕ využijte rovnosti sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ a substituci ψ = 2ϕ.
Výsledek by měl vyjít
1
0
√
2x−x2
x
xy dy dx = 1
12
.
Na obrázku níže je nalevo oblast, kterou chceme spočítat, a napravo je
jak ji spočítáme (odečtením integrálů těch dvou oblastí).
3