Matematika III, 6. cvičení
Transformace souřadnic při integraci
Nechť G(x, y): M C M2 —> M2 je prosté, prvky Jacobiho matice G'(x, y) jsou spojité funkce a det G'(x, y) 7^ 0 pro všechna [x, y] G M. Pak pro každou „rozumnou" (přesněji Riemannovsky měřitelnou) množinu K a spojitou funkci /: G{K) —> M platí:
f(s,t)dsdt= [í f(G(x,y))\det G'\x, y)\dxdy.
G(K) JJK Velmi důležitá je transformace do polárních souřadnic:
x = r cos (p,    y = r sin tp,
tj. pro dané r a tp dostaneme bod ve vzdálenosti r od počátku [0,0], přičemž velikost orientovaného úhlu, vedeného v kladném směru (tj. proti směru hodinových ručiček) od osy x k polopřímce začínající v [0, 0] a procházející přes tento bod, je p.
Tedy G(r,p) = [rcos</?,rsin</?] = [g(r,p),h(r,p)]. Pak Jacobiho matice zobrazení G je
G'(r, p) = ( 9r, gj ) = ( ^ "c^ľcľ ) • Dále Jacobián je det G'(r, p) = r cos2 tp + r sin2 tp = r.
sin íp r cos ip
Protože poloměr r > 0, je | det G'(r, tp)\ = \r\ = r. Transformace do polárních souřadnic je obvykle výhodná, pokud je množina, přes kterou integrujeme, kruhem, mezikružím, kruhovou výsečí nebo něčím podobným.
Někdy je lepší použít transformaci do polárních souřadnic se středem v bodě [a, b] (obvykle v případech, kdy je množina, přes kterou integrujeme, podobná kruhu se středem v bodě [a, b]) místo výše uvedené transformace se středem v bodě [0, 0]:
x = r cos ip + a,    y = r sin tp + b.
Snadno si můžete ověřit, že jacobián této transformace je opět r. Přípustné hodnoty nových proměnných jsou r G (0, oo), p> G (0, 2tt).
Zdůrazněme zejména, že transformace při výpočtu integrálů více proměnných vybíráme podle tvaru množiny, přes kterou se integruje, nikoliv podle integrované funkce, jako je tomu u integrálů jedné proměnné!
Příklad 1. Pomocí přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál
1=        f(Vx2 +y2)dx dy, J J m
kde M : x2 + y2 < 1. Příklad 2. Spočítejte integrál
y/(x - l)2 + (y + l)2 dx dy,
m
kde M : 1 < (x - l)2 + (y + l)2 < 4.
Nápověda. M je mezikruží se středem [1,-1], tudíž použijeme polární souřadnice se středem [1,-1]-
Příklad 3. Užitím transformace u = xy, y = vx spočtěte I = ffA x2y2 dx dy, kde množina A je ohraničena křivkami xy = ^, xy = 2, 2y = x, y = 2x, přičemž x, y > 0.
1
Příklad 4. Užitím transformace u = xy,v = ^ spočtěte I = JJA ^/xydxdy, kde množina A je ohraničena křivkami y2 = 2x, y2 = x,xy = l,xy = 2.
Nápověda. Není potřeba vyjadřovat transformaci G : x = f (u, v), y = g(u,v). Stačí uvažovat inverzní transformaci G-1 : u = xy,v = neboť G o G^1 = id, tudíž detG" • det(G-1)' = det( J o) = 1 a z toho det G'{ u, v) — áet(G^1)'(x y)' přičemz pravou stranu rovnosti budeme muset převést do proměnných u, v.
Příklad 5. Vypočtěte integrál ffA 2{x2 + y2) dA, kde A : 1 < x2 + y2 < 4, y > \x\. Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic.
Příklad 6. Vypočtěte     Jdy dx. Nápověda. Transformujte do polárních souřadnic.
Obsah plochy, hmotnost, těžiště
Integrály můžeme využít například při výpočtu následujících věcí: (1) obsah plochy A je
dx dy,
(2) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má hmotnost
M = JJ^g(x,y)dxdy,
(3) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má souřadnice těžiště [xo,yo] dané vztahy
x°=~m SSa x9^xi ^dx dy' vo=~m SSA y9^xi ^dx dy'
Příklad 7. Určete obsah množiny A ohraničené křivkami x = y2 a x = Ay2 — 3.
Příklad 8. Určete obsah rovinného obrazce omezeného křivkami o rovnicích x = 0, y = ^, y = 8 a y = 4x.
Příklad 9. Máme destičku ve tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka s přeponou délky
1, jejíž hustota je přímo úměrná vzdálenosti od jedné z odvěsen a v protějším vrcholu je rovna
2. Najděte těžiště destičky.
Nápověda. Uvažujte trojúhelník s vrcholy [0, 0], [l/\/2, 0], [0, l/y/2].
Příklad 10. Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 2.
2