\documentclass{ib102}
\usepackage[shorthands=off,czech]{babel}

% vim: fo+=t tw=80 spell spelllang=cs
% gen: ready

\assignment{4}
\exercise{1}
\points{2}
\duedate{15. 10. 2018}

\tikzset{
	state/.style={
		rectangle,
		rounded corners,
		draw=black,
		minimum height=2em,
		minimum width=3em,
		inner sep=3pt,
		text centered,
	},
}

%%% ZDE NAPISTE SVOJE UCO A JMENO
\name{}
\uco{}


\begin{document}
\begin{zadani}
	Uvažte následující čtyři relace na slovech nad abecedou $\{a,b\}$:
	\begin{center}
		\begin{tabular}{rcl}
			$u \, R_1 \, v$ & $\Longleftrightarrow$
			& $u$ je prefixem $v$ nebo $v$ je prefixem $u$ \\[.7ex]
			$u \, R_2 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
			& $\big(u=v=\varepsilon \big)$ $\vee$ $\Big( \big($první písmeno $u$ je stejné jako první
			písmeno $v\big)$\\[.7ex]
			& & $\wedge$ $\big($poslední písmeno $u$ je stejné jako poslední písmeno $v\big) \Big)$\\[.7ex]
			$u \, R_3 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
			& $\big(|u|<2 \wedge |v|<2 \big)$ $\vee$ $ \big($poslední dva znaky $u$ jsou stejné jako poslední dva znaky $v\big)$\\[.7ex]
			$u \, R_4 \, v$ & $\Longleftrightarrow$
			& $ \#_a(u) - \#_b(u) = \#_a(v) - \#_b(v) $\\

		\end{tabular}
	\end{center}

	\smallskip
	\noindent
	Pro každou z uvedených relací rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud to není ekvivalence, dokažte proč. Pokud to ekvivalence je, rozhodněte, zda jde o pravou kongruenci. Pokud se o pravou kongruenci nejedná, dokažte proč, pokud ano, určete její index. Všechny kroky náležitě zdůvodněte.

    \bigskip\noindent
    Zde uvádíme praktickou pomůcku pro lepší přehled:

	\center
	\begin{tikzpicture}[>=latex,>=stealth',auto,node distance=1.3cm,semithick,initial
	text=, rectangle, rounded corners]
	\node[state,initial] (ekv) {ekvivalence?};
	\node[state] (pk) [below left= of ekv] {pravá kongruence?};
	\node[state] (notekv) [below right= of ekv] {důkaz};
	\node[state] (yespk) [below left= of pk] {index?};
	\node[state] (notpk) [below right= of pk] {důkaz};

	\path[->, shorten >=1pt]
	(ekv) edge node {ano} (pk)
	(ekv) edge [below left] node {ne} (notekv)
	(pk) edge node {ano} (yespk)
	(pk) edge [below left] node {ne} (notpk)
	;
	\end{tikzpicture}

\end{zadani}

\begin{reseni}
    %%% SEM PISTE SVE RESENI
\end{reseni}

\end{document}
