Cvičení 10: Číselné charakteristiky a transformace náhodných veličin
Teorie:
Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí p x {x) nenulovou pouze pro xl5 kde ž G 7, je definována jako
E (X) = ^2 x -px{x) = y^jxl •px{xj).
Střední hodnota spojité náhodné veličiny X s hustotou f x {x) je definována jako
/oo x ■ f x (x) dx. -oo
Střední hodnotou náhodného vektoru je vektor střední hodnot jeho jednotlivých složek (náhodných veličin).
Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo
D(X) = var X = E ([X - E(X)}2),
odmocnina z rozptylu y/D (x) se pak nazývá směrodatná odchylka. Na výpočet rozptylu je vhodné použít vzorec D(X) = E(X2) - E(X)2, platí rovněž D (a + bX) = b2D(X). Kovariancí náhodných veličin Xi,X2 rozumíme
C(X1,X2) = E(X1 - £(Xi))(X2 - E(X2)).
Je-li C(Xi,X2) = 0, říkáme, že Xi,X2 jsou nekorelované. Stochasticky nezávislé náhodné veličiny jsou vždy nekorelované (nikoliv obráceně, nulová kovariance pouze znamená nulovou lineární závislost, nikoliv úplnou nezávislost!). Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin:
R(x,Y)=PXY=c(-^m,^m).
Kvantily: Pro ryze monotóní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde o inverzní funkci F'1 : (0,1) ->■ R. To znamená, že hodnota y = F 1(a) je taková, že P(X < y) = a. Obecněji, je-li Fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci
F~1{a) = iní{x G IR; F(x) >a}, a G (0,1). Kvantil s a = 0,5 nazýváme medián.
1
Transformace (funkce) náhodné veličiny
Náhodnou veličinu X : íl —> R můžeme pomocí vhodné třídy (tzv. borelovských) funkcí g : R —> R transformovat na jinou náhodnou veličinu Y = g(X) vztahem Vu; 6 íl : Yiuj) = g{X{uj)). Přitom pro rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Y zřejmě platí
P(Y = y)= P(X = ^)
i:g(xi)=y
a pokud existuje inverzní funkce k funkci g (například při afinní závislosti, která není konstatní), dostáváme pro pravděpodobnostní funkce vztah
py(y) = Pg(x)(y) = pxig^iy))-
Pro spojitou náhodnou veličinu s distribuční funkcí Fx dostáváme za předpokladu, že transformace g je rostoucí (analogicky klesající) funkce, vztah
FY(y) = P(Y <y) = P(g(X) < y) = P(X < g-\y)) = Fx{g-\y)),
odkud pro hustotu
dy
fr(y)
dF(y) dy
= fx{g-\y))
Příklad 142. Uveďte příklad
a) diskrétní,
b) spojité
náhodné veličiny, pro níž neexistuje střední hodnota.
Příklad 143. Pravděpodobnost zásahu cíle jedním výstřelem je 0,75. Náhodná veličina X udává počet zásahů při 5 nezávislých výstřelech. Určete její rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Výsledek. 15/4; 15/16.
Příklad 144. Diskrétní náhodná veličina X nabývá hodnot k = 0,1, 2, 3,... s pravděpodobností P(X = k) = p(l — p)h (tzv. geometrické rozdělení). Určete E(X) (střední doba čekání na úspěch) a D(X).
Výsledek. ±=£
Příklad 145. Náhodná veličina X má hustotu fx{x) = Ji W° x £ (li °°) a jinde nulovou. Určete její distribuční funkci, střední hodnotu a rozptyl.
2
Výsledek. F(x) = l-jš, E {X) = f, D {X) = f.
Příklad 146. Náhodná veličina X má hustotu rovnu f x [x) = cosx pro x G (0, |) a jinde nulovou. Určete střední hodnotu, rozptyl a medián této veličiny.
Výsledek, § - 1, f ,tt - 3.
Příklad 147. Náhodná veličina X má hustotu rovnu fx(x) = Ae_Ax pro x > 0, kde A > 0 je daný parametr rozdělení, a jinde nulovou (tzv. exponenciální rozdělení). Určete střední hodnotu, rozptyl, modus (reálné číslo s maximálni hustotou, resp. pravděpodobnostní funkcí) a medián této veličiny.
Výsledek. j,^,0,^
Příklad 148. Diskrétní náhodný vektor (X±, X%) má simultánní pravděpodobnostní funkci tt(0,-1) = c,tt(0,0) = tt(0, 1) = tt(1, —1) = tt(2,-1) = 0,tt(1,0) = tt(1, 1) = tt(2, 1) = 2c, 7r(2, 0) = 3c a rovnou nule jinde. Určete konstantu c a vypočtěte:
1. kovarianci C(Xľ,X2),
2. korelační koeficient R(Xi, X2). Výsledek. 1. 0,18; 2. 0,42.
Příklad 149. Náhodná veličina X má hustotu f (x). Určete hustotu náhodné veličiny Y tvaru
a) Y = ex,X > 0,
b) Y = VX,X > 0,
c) Y = lnX,X > 0,
d) Y = ±,X > 0.
Výsledek, f (In y)1-; 2f(y2)y; j(é>)é>- f (l/y) j,.
Příklad 150. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na intervalu (—f, f). Určete jeho hustotu a hustotu transformovaných veličin Y = sinX, Z = tgX.
Příklad 151. Náhodná veličina X má hustotu rovnu cosx pro x G (0, |) a nulovou jinde. Určete hustotu náhodné veličiny Y = X2 a vypočtěte E (Y), D (Y).
Výsledek. pro 0 < y < ^, E(Y) =        D(Y) = 20 - 2tt2.
3