Druhá vnitrosemestrální práce, MB103, 20. 11.2017 Skupina A
Příklad 1. (4b) Vyřešte diferenciální rovnici
i V
y =
í+x Řešení.
y = (í + x) ln(l + x) + cx + c, ceR
□
Příklad 2. (6b) Určete těžiště části roviny ležící v prvním kvadrantu, uvnitř elipsy 3x2 + y2 = 2 a pod přímkou y = \/3x.
Řešení. Provedeme lineární transformaci, která převede elipsu na kružnici a poté standardní polární transformaci. Celkem x = -^r cos ip, y = rsinip, pro determinant z Jakobiánu pak \ J\ = Přímka y = \/3x přejde na tan<y9 = 1, neboli f = j Pro obsah pak máme
S= /      /    -^= di^dr = — Jo    Jo   V3 4V3
Bez integrace můžeme obsah určit tak ,že uvážíme lineární transformaci x' = y/3x, y' = y, tedy pouze „natahujeme" rovinu podél osy x s koeficientem \/3. Elipsu natáhneme na kružnici. U přímky změníme směrnici faktorem       Obsahy se pak změní stejným faktorem, jakým natahujeme osu x, tedy koeficientem
•v/3. Uvažovaná část elipsy přejde na čtvrtinu kruhu o poloměru y/2, jejíž obsah je tedy ^, uvažovaná část elipsy má pak obsah y/3 krát menší. Pro x-ovou souřadnici těžiště pak
1   ľ^2 f i r2 cos ip ,    , 8V^
Pro y-novou souřadnici
Pro souřadnice těžiště tedy
-   .      .    r" cos (f XT = Slo    Jo   ^^dr 9,
1   f^2  H r2 sin v? ,    ,       8(-y/2- 1) Vt = ô /      / -7^— aipdr =
S Jo    Jo      %/3 37T r8-v/3 8(VŽ- 1),
T
1 9tt 3ir
□
1