Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Matematika III – 5. týden
Funkce více proměnných: implicitně zadané funkce,
gradient, extrémy
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
10. října – 14. října 2016
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Připomenutí z minula
3 Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení
Věta o implicitní funkci
4 Gradient a vázané extrémy
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Kde je dobré číst?
Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet
funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999,
273 s.
J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně,
Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice
www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Připomenutí z minulé přednášky
Zobrazení F : En → Em,
F(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) je třídy C1,
jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f1, . . . , fm.
D1
F(x) =





df1(x)
df2(x)
...
dfm(x)





=





∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
. . . ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
. . . ∂f2
∂xn
...
...
...
...
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
. . . ∂fm
∂xn





(x)
se nazývá Jacobiho matice zobrazení F v bodě x. Lineární
zobrazení D1F(x) definované na přírůstcích v = (v1, . . . , vn)
pomocí stejně značené Jacobiho matice nazýváme diferenciál
zobrazení F v bodě x z definičního oboru, jestliže
lim
v→0
1
v
F(x + v) − F(x) − D1
F(x)(v) = 0.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Zobrazení F : En → Em, jehož všechny souřadné funkce mají spojité
parciální derivace v okolí bodu x ∈ En, má diferenciál D1F(x)
zadaný Jacobiho maticí (tj. diferenciál je lineární zobrazení s touto
maticí).
Theorem ("Chain Rule")
Nechť F : En → Em a G : Em → Er jsou dvě diferencovatelná
zobrazení, přičemž definiční obor G obsahuje celý obor hodnot F.
Pak také složené zobrazení G ◦ F je diferencovatelné a jeho
diferenciál je v každém bodě z definičního obodu F kompozicí
diferenciálů
D1
(G ◦ F)(x) = D1
G(F(x)) ◦ D1
F(x).
Příslušná Jacobiho matice je dána součinem příslušných Jacobiho
matic.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Theorem (Věta o inverzním zobrazení)
Nechť F : En → En je zobrazení třídy C1 na nějakém okolí bodu
x0 ∈ En a nechť je Jacobiho matice D1f (x0) invertibilní. Pak na
nějakém okolí bodu x0 existuje inverzní zobrazení F−1 a jeho
diferenciál v bodě F(x0) je inverzním zobrazením k D1F(x0), tzn. je
zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x0.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Věta o implicitní funkci
Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2:
Pro spojitě diferencovatelné zobrazení F(x, y) : R2 → R hledejme
body (x, y), ve kterých platí F(x, y) = 0. Příkladem může být
třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic:
F(x, y) = ax + by + c = 0
F(x, y) = (x − s)2
+ (y − t)2
− r2
= 0, r > 0.
V prvém případě je (při b = 0) předpisem zadaná funkce
y = f (x) = −
a
b
x −
c
b
pro všechna x, ve druhém umíme pouze pro (a, b) splňující rovnici
kružnice a b = t najít okolí bodu a, na kterém nastane jedna z
možností: y = f (x) = t + (x − s)2 − r,
y = f (x) = t − (x − s)2 − r.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Krajní body intervalu [t − r, t + r] také vyhovují rovnici kružnice,
platí v nich ale Fy (s ± r, t) = 0, což vystihuje polohu tečny ke
kružnici v těchto bodech rovnoběžné s osou y. V těchto bodech
skutečně neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána
jako funkce y = f (x).
Navíc umíme i derivace:
f (x) =
1
2
2(x − s)
(x − s)2 − r2
=
x − s
y − t
= −
Fx
Fy
.
Naopak, pokud budeme chtít najít závislost x = f (y) takovou, aby
F(f (y), y) = 0, pak v okolí bodů (s ± r, t) bez problémů uspějeme.
Všimněme si, že v těchto bodech je parciální derivace Fx nenulová.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Zhrňme pozorování (pro pouhé dva příklady):
Pro funkci F(x, y) a bod (a, b) ∈ E2 takový, že F(a, b) = 0, umíme
najít funkci y = f (x) splňující F(x, f (x)) = 0, pokud je
Fy (a, b) = 0. V takovém případě umím i vypočíst f (x) = −Fx /Fy .
Dokážeme, že takto to platí vždy, navíc rozšířené i na libovolné
počty proměnných.
Poslední tvrzení o derivaci přitom je dobře zapamatovalné (a při
pečlivém vnímání věcí i pochopitelné) z výrazu pro diferenciál:
0 = dF = Fx dx + Fy dy = (Fx + Fy f (x))dx.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Obdobně pro implicitní výrazy F(x, y, z) = 0, kdy hledáme funkci
g(x, y) takovou, že F(x, y, g(x, y)) = 0. Např. graf funkce
f (x, y) = x2 + y2 (rotační paraboloid) můžeme implicitně zadat
rovnicí
0 = F(x, y, z) = z − x2
− y2
.
Jaké dimenze se mohou/mají v problému vyskytovat obecně?
Pokud bychom pro naší poslední F chtěli najít křivku
c(x) = (c1(x), c2(x)) v rovině takovou, že
F(x, c(x)) = F(x, c1(x), c2(x)) = 0,
pak to lze, ale výsledek nebude jednoznačný pro danou počáteční
podmínku.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Obecný postup:
Jedna funkce m + 1 proměnných zadává implicitně nadplochu v
Rm+1, kterou vyjadřujeme alespoň lokálně jako graf jedné funkce v
m proměnných.
Proto n funkcí v m + n proměnných bude zadávat průnik n
nadploch v Rm+n, což je ve „většině“ případů m–rozměrný objekt.
Příklad: dvě rovnice f (x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0 v E3 zadávají (za
nějaké podmínky na derivace) křivku v E3.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Uvažujme proto spojitě diferencovatelné zobrazení
F = (f1, . . . , fn) : Rm+n
→ Rn
.
Jacobiho matice tohoto zobrazení bude mít n řádků a m + n
sloupců a můžeme si ji symbolicky zapsat jako
D1
F = (D1
x F, D1
y F) =



∂f1
∂x1
. . . ∂f1
∂xm
...
...
...
∂fn
∂x1
. . . ∂fn
∂xm
∂f1
∂xm+1
. . . ∂f1
∂xm+n
...
...
...
∂fn
∂xm+1
. . . ∂fn
∂xm+n


 ,
kde (x1, . . . , xm+n) ∈ Rm+n zapisujeme jako (x, y) ∈ Rm × Rn,
D1
x F je matice s n řádky a prvními m sloupci v Jacobiho matici,
zatímco D1
y F je čtvercová matice řádu n se zbylými sloupci.
Vícerozměrnou analogií k předchozí úvaze s nenulovou parciální
derivací podle y je požadavek, aby matice D1
y byla invertibilní.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Theorem (Věta o implicitním zobrazení)
Nechť F : Rm+n → Rn je zobrazení třídy C1 na otevřeném okolí
bodu (a, b) ∈ Rm × Rn = Rm+n, ve kterém je F(a, b) = 0 a
det D1
y F = 0. Potom existuje zobrazení třídy C1 G : Rm → Rn
definované na nějakém okolí U bodu a ∈ Rm s obrazem G(U), který
obsahuje bod b, a takové, že F(x, G(x)) = 0 pro všechny x ∈ U.
Navíc je Jacobiho matice D1G zobrazení G na okolí bodu a zadána
součinem matic
D1
G(x) = −(D1
y F)−1
(x, G(x)) · D1
x F(x, G(x)).
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Dokážeme pro nejjednodušší případ rovnice F(x, y) = 0 s funkcí F
dvou proměnných.
Rozšíříme funkci F na
˜F : R2
→ R2
, (x, y) → (x, F(x, y)).
Jacobiho matice zobrazení ˜F je
D1 ˜F(x, y) =
1 0
Fx (x, y) Fy (x, y)
.
Z předpokladu Fy (a, b) = 0 vyplývá, že totéž platí i na nějakém
okolí bodu (a, b) a tam je funkce ˜F invertibilní a ˜F−1 je
jednoznačně definované a spojitě diferencovatelné.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Nechť π : R2 → R je projekce na druhou souřadnici, pak
f (x) = π ◦ ˜F−1
(x, 0)
je spojitě diferencovatelná funkce.
Spočteme F(x, f (x)) = F(x, π( ˜F−1(x, 0))).
Z definice ˜F(x, y) = (x, F(x, y)) vidíme, že i její inverze má tvar
˜F−1(x, y) = (x, π ˜F−1(x, y)). Proto
F(x, f (x)) = π( ˜F(x, π( ˜F−1
(x, 0)))) = π( ˜F( ˜F−1
(x, 0))) = π(x, 0) = 0.
Tím máme dokázánu první část věty a zbývá spočíst derivaci funkce
f (x).
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Tuto derivaci můžeme odečíst opět z věty o inverzním zobrazení
pomocí matice (D1 ˜F)−1.
1 0
Fx (x, y) Fy (x, y)
−1
= (Fy (x, y))−1 Fy (x, y) 0
−Fx (x, y) 1
.
Dle definice f (x) = π ˜F−1(x, 0) nás z této matice zajímá první
položka na druhém řádku, která je právě Jacobiho maticí D1f . V
našem jednoduchém případě je to právě požadovaný skalár
−Fx (x, f (x))/Fy (x, f (x)).
Důkaz věty je ukončen. Pro obecný případ je zcela stejný, jen
pracujeme s násobením matic a vektorů místo skalárů.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Gradient funkce
Definition
Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x1, . . . , xn) : Rn → R se
vektor
D1
F =
∂F
∂x1
, . . . ,
∂F
∂xn
nazývá gradient funkce F.
V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad F.
Rovnost F(x1, . . . , xn) = b s pevnou hodnotou b ∈ R zadává
podmnožinu M ⊂ Rn, která mívá vlastnosti (n − 1)–rozměrné
nadplochy. Přesněji: pokud je vektor parciálních derivací nenulový,
můžeme lokálně množinu M popsat jako graf spojitě
diferencovatelné funkce v n − 1 proměnných.
Hovoříme v této souvislosti také o úrovňových množinách Mb.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mb se bude
diferenciál dF vždy vyčíslovat nulově:
F(c(t)) = b pro všechna t, proto
d
dt
F(c(t)) = dF(c (t)) = 0.
Pro obecný vektor v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn je velikost příslušné
směrové derivace funkce F:
|dv F| =
∂F
∂x1
v1 + · · · +
∂F
∂xn
vn = cos ϕ D1
F v
kde ϕ je odchylka vektoru v od gradientu F. Dokázali jsme:
Theorem
Směr zadaný gradientem v bodě x = (x1, . . . , xn) je právě ten směr,
ve kterém funkce F nejrychleji roste.
Tečná rovina k neprázdné úrovňové množině Mb v okolí jejího bodu
s nenulovým gradientem D1F je určena ortogonálním doplňkem ke
gradientu.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Násobkům gradientu v tomto případě říkáme normálový vektor
nadplochy Mb.
Theorem
Pro funkci F n proměnných a bod P = (a1, . . . , an) ∈ Mb v jehož
okolí je Mb grafem funkce (n − 1) proměnných je implicitní rovnice
pro tečnou nadrovinu
0 =
∂F
∂x1
(P) · (x1 − a1) + · · · +
∂F
∂xn
(P) · (xn − an).
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Example (Model osvětlení 3D objektu)
Pro 2D povrch známe směr v dopadu světla, tj. máme množinu M
zadanou implicitně rovnicí F(x, y, z) = 0 a vektor v. Intenzitu
osvětlení bodu P ∈ M pak definujme jako I cos ϕ, kde ϕ je úhel
mezi normálou zadanou gradientem a vektorem opačným ke směru
světla. (Znaménko říká, kterou stranu plochy osvětlujeme.)
Např. v = (1, 1, −1) (tj. „šikmo dolů“) a
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1. Pro bod P = (x, y, z) ∈ M
I(P) =
grad F · v
grad F v
I0 =
−2x − 2y + 2z
2
√
3
I0.
Dle očekávání je plnou intenzitou I0 osvětlen bod
P = 1√
3
(−1, −1, 1) na povrchu koule.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které
jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu
tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině
bodů M zadaných implicitně rovnicí F(x1, . . . , xm+n) = 0.
Pokud je M ve všech svých bodech grafem hladkého zobrazení v m
proměnných, musí být každý extrém P ∈ M stacionárním bodem,
tj. pro každou křivku c(t) ⊂ M procházející přes P = c(0) musí být
h(c(t)) extrémem pro tuto funkci jedné proměnné. Proto musí
platit
d
dt
h(c(t))|t=0 = dc (0)h(P) = dh(P)(c (0)) = 0.
Tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že gradient h leží v
normálovém podprostoru (přesněji v jeho zaměření). Takové body
P ∈ M budeme nazývat stacionární body funkce H vzhledem k
vazbám F.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho
matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně
určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda
Lagrangeových multiplikátorů:
Theorem
Nechť F = (f1, . . . , fn) : Rm+n → Rn je spojitě diferencovatelná v
okolí bodu P, F(P) = 0 a M je zadána implicitně rovnicí
F(x, y) = 0 a hodnost matice D1F v bodě P je n. Pak P je
stacionárním bodem spojitě diferencovatelné funkce h : Rm+n → R
právě, když existují reálné parametry λ1, . . . , λn takové, že
grad h = λ1 grad f1 + · · · + λn grad fn.
Literatura Připomenutí z minula Implicitně zadané podmnožiny a zobrazení Gradient a vázané extrémy
Všimněme si počtu neznámých a rovnic v tomto algoritmu:
gradienty jsou vektory o m + n souřadnicích, tedy požadavek z věty
dává m + n rovnic. Jako proměnné máme jednak souřadnice
x1, . . . , xm+n hledaných stacionárních bodů P, ale navíc také n
parametrů λi v hledané lineární kombinaci. Zbývá však požadavek,
že hledaný bod P patří implicitně zadané množině M, což
představuje dalších n rovnic. Celkem tedy máme 2n + m rovnic pro
2n + m proměnných a proto lze očekávat, že řešením bude diskrétní
množina bodů P (tj. každý z nich zpravidla bude izolovaným
bodem).