Zadání cvičení pro 1. týden: 17.-21.9. 2018
Cílem prvního cvičení je zvyknout si na více proměnných ve výrazech pro
funkci a na popis objektů v rovině a prostoru. V úvodu si připomeňte, že derivovat
nebo integrovat podle jedné z proměnných (a považovat ostatní za konstantní
parametry) není problém.
Připomeňte základní "topologické"koncepty (okolí bodu, uzavřené, otevřené,
kompaktní množiny, limity).
Příklad. 1. Řešte systémy nerovnic, nakreslete si příslušné oblasti v rovině.
(a)
x2
+ y2
≤ 4, y ≥
1
x
(b)
y ≤ arctan x, y ≤
1
x2
(c)
x2
+ (y − 1)2
≥ 4, y + x2
− 2x ≥ 0, y ≥ 0
Poznámka. U nerovnice f(x, y) ≥ 0 se soustřeďte se na vymezení hranic oblastí
v rovině pomocí rovnice f(x, y) = 0. Uvnitř každé z nich pak pro spojitou f
máte stejné znaménko hodnot.
Příklad. 2. Určete definiční obor funcke R2
→ R:
a)
xy
y(x3 + x2 + x + 1)
,
b)
ln(x2
− y2
),
c)
ln(−x2
− y2
),
d)
arcsin(2χQ(x)),
kde χQ je charakteristická funce množiny racionálních čísel,
e)
f(x, y, z) = ln x · arcsin(y2z).
a zkuste si některé z nich zderivovat podle jednotlivých proměnných (co taková
derivace znamená)?
Poznámka. Definiční obor by měl být součástí každé definice funkce. Pro "týrání"studentů
se ale často místo toho napíše výraz a zkoumá se, jaký je "maximální"definiční
obor, kde má tento výraz smysl.
1
Při počítání limit funkcí více proměnných nemáme k dispozici mnoho nástrojů
(jako např. L’Hospitalovo pravidlo). Platí ale pravidlo, že limita existuje,
jen když pro jakoukoliv posloupnost argumentů konvergujících k příslušnému
hromadnému bodu definičního oboru je limita hodnot funkce v nich vždy tatáž
(a zejména tedy existuje). Neexistence se tak většinou snadno dokáže tak, že
v různých směrech přibližování dostáváme různé limity. Je také často vhodné
změnit systém souřadnic.
Připomeňte, že spojitost znamená existence limity, která je rovna hodnotě.
Vyberte si několik z následujících příkladů.
Příklad. 3. Najděte lim(x,y)→(e2,1)
ln x
y
( limita exstuje a je rovná 2)
lim(x,y)→(4,4)
√
x−
√
y
x−y
(faktorizací jmenovatele zjistíme, že je to 1
4 )
lim(x,y)→(1,∞)
cos y
x+y
(limita je 0)
lim(x,y)→(0,2)
exy
−1
x
(roznásobte zlomek a použijte substituci t = xy (tj. počítáme s t → 0), vyjde 2)
lim(x,y)→(∞,∞)
x2
+y2
x4+y4
(zkuste v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (x, y) → (∞, ∞), tj.
r → ∞, ϕ ∈ (0, π
2 ), vyjde 0)
lim(x,y)→(0,0)
x2
+y2
x+y
(použijte různé křivky v rovině, např. y = 1 − ex
a y = x s různými limitami –
limita neexistuje.)
lim(x,y)→(0,0)
x2
−y2
x2+y2
(opět v polárních souřadnicích se snadno vidí, že limita neexistuje)
lim(x,y)→(1,−2)
2x+xy−y−2
x2+y2−2x+4y+5
(Přímky bodem [1, −2] jsou y = kx − k − 2 a podél nich dostáváme růné limity
– neexistuje)
Příklad. 4. Najděte body nespojitosti funkcí
f(x, y) = 2x−5y
x2+y2−1 .
(Celá kružnice o poloměru 1 se středem v počátku)
f(x, y) = sin(x2
y+xy2
)
cos(x−y) .
(Množina {[x, x + (2k + 1)π
2 ]; x ∈ R, k ∈ Z})
f(x, y) =
x3
+y3
x2+y2 pro [x, y] = [0, 0],
0 pro [x, y] = [0, 0].
(funkce je spojitá všude)
2