Zadání cvičení pro 3. týden: 1.-5.10. 2018
Toto cvičení bude zaměřeno na určování lokálních extrémů funkcí více proměnných.
Postup je hodně podobný jako u jedné proměnné: (1) stacionární
body, (2) přiblížení druhého řádu v těchto bodech - Hessián, (3) rozhodování o
extrému - zejména Sylvestrovo kritérium. (Pokud je determinant Hessiánu nenulový,
vždy umíme určit. Pouze u znamének hlavních minorů +, +, . . . , + jde
o minimum, −, +, −, . . . , ± odpovídá maximu, jinak jde o sedlový bod.)
Letmo se dostaneme k Jacobiho matici zobrazení F : Rm
→ Rn
.
Příklad. 1. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy.
(Stacionární body [0, 0] a [1, 1], v prvním není extrém, ve druhém lokální mini-
mum.)
Příklad. 2. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x + y2
4x + z2
y + 2
z v prvním
oktantu (tj. všechny tři souřadnice jsou nezáporné).
(Jediný stacionární bod [1/2, 1, 1], je to minimium.)
Příklad. 3. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4
+ y4
− x2
− 2xy − y2
.
(Vyjdou tři stacionární body [0, 0], [1, 1], [−1, −1], v prvním neumíme rozhodnout
podle Hessiánu, další dva jsou minima. V počátku extrém nenastane –
v okolí jsou kladné i záporné hodnoty.)
Příklad. 4. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = xy ln(x2
+ y2
) na celém
jejím definičním oboru.
(Definiční obor je celé R2
, kromě počátku. Stacionárních bodů je osm: [0, ±1],
[±1, 0], [±1/
√
2 e, ±1/
√
2 e], v prvních čtyřech není extrém, v dalších jsou dvě
minima a dvě maxima.)
Pro zobrazení F = (f1, . . . , fn) je je lineárním přiblížení (diferenciál) dán
maticí, v jejíž řádcích jsou diferenciály funkcí fi. Je to tzv. Jacobiho matice
DF. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : Rn
→ Rn
je v okolí bodu invertibilní,
právě když je v tomto bodu invertibilní jeho Jacobiho matice. Determinant DF
se nazývá jacobián.
Příklad. 5. Spočtěte Jacobiho matici a jacobián zobrazení, které popisuje
transformaci kartézkých a polárních souřadnic.
Příklad. 6. Ověřte, že je zobrazení F = (f, g) : R2
→ R2
, f(x, y) = x2
−
y2
, g(x, y) = 2xy (tj. zobrazení z → z2
, uvažujeme-li F jako zobrazení C →
C) invertibilní v nějakém okolí bodu [2, 1]. Určete Jacobiho matici inverzního
zobrazení v bodě F(2, 1). Je diferenciál F násobení komplexním číslem?
1