Matematika III, 4. cvičení
Funkce zadané implicitně, jejich derivace, vázané extrémy
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Nechť F(x,y): M2 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo]> dále F(xq, í/o) = 0 a Fy(xQ, yo) 7^ 0. Pak existuje spojitě diferencovatelná funkce /: M —> M definovaná na nějakém okolí U bodu xq, přičemž F(x, f(x)) = 0 pro všechna x £ U. Funkce y = f (x) je tedy rovností F (x, y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu xq. Pokud Fy(xo,yo) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje (pokud existuje inverzní zobrazení, jeho konečná derivace existovat nemůže).
Podobné tvrzení platí pro funkce více proměnných. Např. pro 3 proměnné:
Nechť F(x, y, z): M3 R je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo,zo], dále -^(^o) 2/0) zo) = 0 a Fz(xo,yo, zq) 7^ 0. Pak existuje spojitě diferencovatelná funkce /: M2 —> M definovaná na nějakém okolí U bodu [xo,yo], přičemž F(x,y, f(x,y)) = 0 pro všechna x G U. Pokud Fz(xQ,yQ, zq) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Na množině M implicitně zadané jednou rovnicí F = 0 lze přímočaře hledat extrémy jiné funkce /. Gradienty funkcí F a f musí být v takových bodech kolineární.
Z příkladů si zvolte alespoň jeden ze všech typů.
Příklad 1. Určete první a druhou derivaci implicitně zadané funkce y = f (x) splňující x2 + y2 = 1. Najděte její lokální extrémy.
Řešení. Po zderivování obou stran máme 2x + 2yy' = 0, z toho y' = —fr První rovnost je
zderivování dostaneme 1 + {y'
l + {y')2       l+x2/y2 y2+x2
y
ekvivalentní s rovností x + yy' = 0, po zderivování dostaneme 1 + (y')2 + yy" = 0. Tedy
y"
Výsledek, y' = — |, y" = —y^f. Extrémy jsou pro x = 0 maximum nebo minimum, podle toho, kterou volíme větev řešení.
y y3
Příklad 2. Určete derivaci, pokud xy2 — 2xy + x3 — 3y2 + 5 = 0. Výsledek, y' = ff^E^.
Příklad 3. Určete derivaci, pokud sin(x2) + cos(y2) — 1=0.
Výsledek, y' = xcos(xr>,
Příklad 4. Nechť je funkce y = y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí y3 — 2xy+x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l).
Výsledek. y'(l) = 0, y"(l) = -2.
Příklad 5. Rozhodněte, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1,-1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nápověda. Křivku v okolí bodu [1, —1] považujte za funkci y{x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě.
Výsledek. y"(l) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
1
Příklad 6. Rozhodněte, zda křivka |x2 — 3xy2 + y3 — | =0 leží v okolí bodu [1,3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Výsledek. y"(l) = ^ > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
Příklad 7. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, \/2, 2] funkce z = /(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \[2yz = 1.
t^/ede*. 4(1, V2) = 2zz_-2x^2y = 0, 4í1' ^) = 2^x-X = °' ^ = ^ = ~2'
4;(i,V2) = o.
Příklad 8. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2, 0,1] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0.
Výsledek. 4(-2,0) = = 0, 4("2'0) = = °> 4r(-2,0) = ^(-2,0) = ^,
4;(-2,o) = o.
Příklad 9. K o&o/z kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2 y2 z2 a2     b2 c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
Nápověda. Určete body [a?o,yo>^o] na h splňující F'z(xq, í/q, zq) = 0, kde F(x,y,z) = ^ +
x2 j_ y2
2 1.
2 2
Výsledek. Množina hledaných bodů je elipsa obsahující body [xo,yo, 0], kde     + |§- = 1. Příklad 10. V okolí kterých bodů křivky x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci
y = f(x)?
Výsledek. [2, 2], [-2, -2].
Příklad 11. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y)?
Výsledek. Všechny body osy y.
Příklad 12. Najděte extrémy funkce f(x,y) = x — y na elipse F(x,y) = x2 + 2y2 — 6 = 0 v rovině M2.
Výsledek. Extrém musí nastat ve stacionárním bodě, ty musí mít vlastnost, že gradienty f a F jsou kolineární. Vyjdou body [x,y] s x = ±2, y = — ± 1 (jedno minimum, jedno maximum).
2