MASARYKOVA UNIVERZITA - PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Zuzana Došlá Ondřej Došlý DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH BRNO 2006 3. VYDÁNÍ 1 Kapitola 1 Pojem funkce více proměnných Reálná funkce jedné reálné proměnné, stručně funkce jedné proměnné, je zobrazení z R do IR. Zobecněním tohoto pojmu je zobrazení z 1" (n ^ 2) do R, které se nazývá funkce více proměnných. Cílem této kapitoly je naučit se určovat pro funkci dvou a více proměnných její definiční obor a graf. Přestože tato kapitola jako jediná neobsahuje žádnou matematickou větu, jc svým zaměřením na geometrii vťať fundamentální. Definice 1.1. Nechť M c R", n ^ 1, M ^ 0 . Zobrazení /: M R se nazývá reálná funkce n reálnych proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se Z předchozí definice vyplývá, že po formální stránce funkce /: M —>■ R je množina uspořádaných dvojic [x, y] 6 M x R, x = [x\, ...,xn] (tj. relace na M x R), která má následující vlastnosti: 1. x e M. y e R. 2. Ke každému bodu x = {x\,..., x„] e M existuje právě jedno číslo y (bod prostom R) tak, že [x, y] e /. Obraz bodu x = [x;, ..., xn] e M v zobrazení /, tj. reálné číslo y takové, že [x, y] e /, označujeme f (x) nebo f{x\.....xn) a nazývá se hodnota funkce f nebo také funkční hodnota v bodě x = [x\,..., xn\ Z definice funkce více proměnných vyplývá, že tato funkce je jednoznačně určena udáním jejího definičního oboru £?(f) a předpisem, kterým je každému bodu x = [jq, ..., xn] G &(f) přiřazena funkční hodnota f{x). Pokud je předpis dán vzorcem a není udán definiční obor funkce, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů x e R", pro něž má tento vzorec smysl. Pro/í = 2 budeme místo f (x\, xi) psát f(x, _y)apro« — 3místo f(x\,X2,xj,) píšeme f(x, y, z). 2 Pojem funkce více proměnných Příklad 1.2. i) Zobrazte v rovině definiční obor funkce Řešení. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka (y^l +x2 - í] (x2 + y2 - 6x) >0. To nastane, právě když (y - 2)2 + x2 - 1 Z 0 a (*2 + y2 - 6jc) ^ 0 nebo (y - 2)2 + x2 - 1 ^ 0 a (x2 + y2 - 6x) < 0. Rovnice iy-2f ■ x2 = 1 je rovnicí elipsy se středem v bodě. [0, 2] a poloosami délek a = 1 a& = 2, rovnice .r2 + V2 —6* = Oje rovnicí kružnice se středem v bodě [3, 0] a poloměrem r = 3, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (jc — 3)2 + y2 = 9. Množina všech bodů [x, y] e R2 splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce /, je znázorněna na vedlejším obrázku. Je to uzavřená množina vť. A ii) Zobrazte v rovině definiční obor funkce =arccos(.v2+y2-l) + J\x\ + \y\- Řešení. Definičním oborem funkce arccos je interval [—1, 1], první sčítanec jc tedy definován pro [x, y] splňující nerovnosti -1 ^ x2 + y2- 1 ú 1, 3 tj- O ^ -v2 + y2 < 2, y ~/2 což je vnitřek a hranice kruhu se středem v počátku a poloměrem r = \f2. Definičním ohorem druhého sčítance je množina bodů \x, y] splňující nerovnost \x \ + \y\ — ^ 0. Načrtněme v rovině křivku danou rovnicí |x| + |y| = s/2. V prvním kvadrantu je tato rovnice ekvivalentní rovnici x + y = V2, což je rovnice přímky. Ve zbývajících kvadrantech postupujeme obdobně a obdržíme kosočtverec načrtnutý na vedlejším obrázku. Definičním oborem funkce / je množina vyšrafovaná na tomto obrázku. Tato množina je uzavřená v E2. A iii) Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = ln (y ln(y — x)). Řešení. Logaritmovaný výraz musí být kladný, musí být tedy splněna nerovnost y ln(y — x) > 0, která je ekvivalentní dvojici nerovností In(y — x) > 0, y > 0; ln(y — x) < 0, y < 0, jež jsou dále ekvivalentní systémům nerovností y > 0, y — .r > 1 a y<0, y — x0 (poslední nerovnost plyne z definičního oboru funkce In (y — x)). Řešením těchto dvou systémů nerovností je množina načrtnutá na obr. 1. Je to otevřená množina v B.7. A x i v) Zobrazte definiční obor funkce f(x, y) — aresm — + arcsin(l — y). Řešení. Definičním oborem funkce aresin je interval [—1, 1]. Proto musí být splněny podmínky: x ■1 < — < 1 r y 2 ^ -x, y2^x, y ^ 0 a zároveň -1 < 1 — y < 1, tj. y € [0, 2J. Celkem tedy W) = {[x, y] : y2 Z -x, y2^x, ye (0, 2]}, tato množina je načrtnuta na obr. 2. Je to množina, která není ani otevřená, ani uzavřená v R2 (neboť [0, 0] $ ®{f)). A 4 Pojem funkce více proměnných Definice 1.3. Nechť/ je funkce n proměnných definovaná na množině M c n ^ 2. Grafem funkce f nazýváme množinu bodů G{f) = {[x, y] e M"+1 :* = [*,,.. .,*„] e M, y = f (x)}. Pro funkci dvou proměnných, tj. h = 2, je grafem funkce množina bodů v trojrozměrném prostoru. V příkladech, se kterými se zde setkáme, to bude vždy nějaká trojrozměrná plocha. K získání názorné představy, jaký je tvar a průběh této plochy, nám pomohou řezy rovinami z = 0, y = 0, x z=0 (což jsou rovnice souřadných stěn pxy, pX7, pyz, viz obrázek) a rovinami s nimi rovnoběžnými. Definice 1.4. Nechť MClR2a/:M—>-Rje funkce dvou proměnných definovaná na M, c e M. Množinu f c = {[x, y] e M : f (x, y) = c) nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Pojem vrstevnice funkce lze samozrejme analogicky definovat i pro funkce n proměnných, n ~í 3, zde však ztrácíme názorný „geografický" význam. Chápeme-li graf funkce dvou proměnných jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou rovnou c, tj. náš pojem vrstevnice je totožný s geografickým významem tohoto slova. 5 Příklad 1.5. i) Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pxl, pv. zobrazte graf funkce f(x, y) r Řešení. Vrstevnice funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k2 k = v^2 + y7 2 , 2 což jsou kružnice se středem na ose z a poloměrem k, viz obr. 3a). Řez rovinou pyi, tj. x = 0, dává z = = |.y|- Řezem je lomená čára s vrcholem v počátku daná rovnicí z = |.v|. Podobně řez rovinou y = 0 dává Z — \x |. V obou případech je řezem lomená čára s vrcholem v počátku o rovnici z = \y\, resp. z — U|, viz obr. 3b, 3c. (V terminologii technického kreslení a zobrazovacích metod se vlastně jedná o průmět do svislých souřadných nárysen, tj. nary s a bokorys.) z=2 y=o z = 1*1 x= 0 z z = \y\ y obr. 3a: Půdorys obr. 3b: Bokorys obr. 3c: Nárys Na základě získaných výsledků již můžeme říci, že grafem funkce, z — — s/x2 + y1 je rotační kužel s vrcholem v počátku a hlavní osou z, nacházející se v poloprostoru z ^ 0, viz obr. 5a. Na tomto obrázku je znázorněn i dolní kužel, který je grafem funkce z — —y/x1 + y2. A ii) Zobrazte v R3 graf funkce f{x,y) = £j + |j, a, b > 0. Řešení. Podobně jako v předchozím příkladu jsou vrstevnice dány rovnicemi ŕ - íl 4. ZI r" X" y~ cľ- b2' J' ká2 kb2 = I, což jsou rovnice elipsy se středem v počátku a poloosami a s/k, b s/k, viz obr. 4a). Řezy rovinami y = 0, x = 0 dávají x a1 y_ b2' 6 Pojem funkce více proměnných což jsou rovnice parabol s vrcholem v počátku souřadných stěn pxz a pyz, viz obr. 4b), 4c). Celkem vidíme, že grafem je plocha, která se nazývá eliptický paraboloid. Tato plocha je prostorově v okolí počátku znázorněna na obrázku 5b. ▲ obr. 4a: Půdorys obr. 4b: Bokorys obr. 4c: Nárys iii) Zobrazte v M3 definiční obor funkce /(x, y, z) — In(—z2 — x2 — y2 + 1). Řešení. Logaritmická funkce je definována jen pro kladná čísla. Proto musí být -z2 - x2 - y2 + 1 > 0, tj. x2 + y2 + z2 < 1, a tedy W) = U*, y. z] e K3 : x2 + y2 + z2 < 1}. V řezech rovinami z — 0, y — 0, a- = 0 postupne dostáváme x2 -f y2 < 1, x2 + z2 < 1, y2 + z2 < 1, což jsou body uvnitř kružnice se středem v počátku a polomem r = 1, celkem je tedy definičním oborem vnitřek koule se středem v bodě [0, 0, 01 a poloměrem r = 1, je to otevřená množina vR3. A Příklad 1.6. 2x i) Načrtněte v rovině vrstevnice funkce z = t*2+y2. ex2+>2 a odtud lne Řešení. Vrstevnice funkce mají rovnici c Označíme-li nyní In c = k, postupnými úpravami dostáváme k = 2x x2 + y2 a tedy pro k ^ 0 (tj. c 1), k(x2 + y2) = 2x 1\2 x1 - -x + y1 k xL+y = 0, / 1 \ obr. 5a: z = ±\]x2 + y2 obr. 5b: z = % + fa Z poslední rovnice je již vidět, že vrstevnicemi dané funkce pro c / 1 jsou kružnice se středem S — [£,0] = = [j^, 0] a poloměrem r - procházející počátkem, avšak bez počátku (neboťpro bod [0, 0] není funkce definována). Pro c = 1 dostáváme 0 = yl, tj. x — 0, vrstevnicí dané funkce pro c. = 1 je tedy osa y (bez počátku). ▲ ) Načrtněte vrstevnice funkce z — \x\ — [y| + \x — y\. Řešeni. Nejprve, se zbavíme ve vyjádření funkční závislosti absolutních hodnot. Provedeme diskusi v jednotlivých kvadrantech. Ia) x ^ 0, y ^ 0, x ^ y => z — x — y + x — y = 2(x — y). Ib) x Z 0, y Z 0, x < y z = x - .v - x + y = 0. II) x < 0, )> ^ 0, (zde vždy x ^ y) z. = — x — y — x + y = -2;c. Obdobným způsobem získame vyjádření funkční závislosti bez absolutních hodnot ve zbývajících dvou kvadrantech a jako výsledek obdržíme situaci znázorněnou na obr. 6a). Protože pro libovolná [x, y] e M.2 platí nerovnost |jc — _y| Si \y\ — \x\ (zdůvodněte proč), je vždy f(x, y) ^ 0, tj. pro c < 0 je fc — 0. Pro c <Ĺ 0 načrtneme v jednotlivých sektorech křivku \x\ — |y| + + \x — y\ = c a pro c = 0, 1, 2, 3 je výsledek znázorněn na obrázku 6b). A 8 Pojem funkce více proměnných y /y-* Z = —2x /z^2(x-y) X 2{y-x) / /z = 0 z = 2x obr. 6a: z = \x - c = 0 obr. 6b: Vrstevnice Cvičení 1.1. Zobrazte v rovině definiční obory funkcí a) z b) z c) z = In (x + y), g) z h) z i) z d) z = ln(l-.v2-)>2) e) z = arcsin ^ i lyl-l-rl j) z k) Z JC2+y2- = arccos - (a-2 + y)\ 7(?T?^l)(4-x2-ľ2), ln [a; ln(j — *)]» f) z = 7T^2 + yr^7, 1) z = ^{l-x2-y2)(^ + y2-2y). 1.2. Načrtněte vrstevnice funkcí: a) z = jc2 + y2, b) z=x2- y2, c) z = xy , kde x > 0, d) z = V* ■ ^- 1.3. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pJZ, pvz načrtněte v prostoru grafy funkcí: e) z = \ (x2 - v2), f) z = 2 - y/x^y1. y, a) z = 2-x b) * = 5^ 1.4. Určete definiční obory funkcí: a) u = v/l+jt2-^-^, b) u = VT c) c) z — -y/l — .r2 — v2, d) z^ + y2, f) m = ln (xyz), g) « = x/1 fc2 d) u — arccos , 1 , i) w = arcsin - + arcsin y + arccos ^/^+? y e) u = Vl + ^ + g-^, j) u = ln (-x2 - y2 + 2z). Většina učitelů ztrácí čas tím, že klade otázky, jejichž cílem je zjistit, co žák neumí, zatímco pravé umění tázat se spočívá v tom, že má odhalit, co Žák umí nebo je schopen umět. (A. Einstein) * 10 Kapitola 2 Limita a spojitost funkce Pojem limity funkce patří k základním pojmům diferenciálního počtu. Je to lokální vlastnost funkce, popisující chování funkce v ryzím okolí bodu, v němž limitu určujeme. (Ryzím okolím bodu rozumíme okolí kromě tohoto bodu.) Skutečnost, že jde o ryzí okolí, znamená, že limita nezávisí na funkční hodnotě funkce v tomto bodě — funkční hodnota se může lišit od limity v tomto bodě nebo funkce nemusí být v daném bodě vůbec definována. Rovněž pojem spojitosti funkce více proměnných lze podobně jako pro funkce jcdnč proměnné definovat pomocí limity funkce, proto zde najdeme řadu tvrzení podobných těm, se kterými jsme se již setkali v diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné. K definici limity, spojitosti a všech dalších pojmů diferenciálního počtu je třeba na W zavést metriku. Proto připomeňme několik základních pojmů z teorie metrických prostorů. 2.1. Metrické vlastnosti Rn Připomeňme, žc e-okolí vlastního bodu a e M lze zapsat jako interval \x — a\ < e, s > 0. Okolí 6{a) bodu a e M" je definováno pomocí metriky p v R" jako množina ŮAa) = {x € R" : p(x,a) < e}. Není-li poloměr okolí podstatný, budeme index e vynechávat. Podle výběru metriky dostáváme různé typy okolí. Např. v M2 dostaneme, kruhové okolí, zvolíme-li euklidovskou metriku P2([xi, yi], [x2, y2]) = yfix^- x2)2 + (yi - y2)2, 2.2 Limita funkce 11 čtvercové okolí dostaneme volbou maximové metriky Poo([x\,y\], [x2, yiY) = max{|*i - x2\, \y\ - y2\}, či kosočtvercové okolí, zvolíme-li součtovou metriku Pi([x\, yi], [xi, yi\) = l*i -x2\ + \y\ - y2\. Podstatná je ekvivalentnost těchto metrik, která znamená, že existence (neexistence) limity nezáleží na tom, kterou z těchto ekvivalentních metrik zvolíme (viz [D-D]). Z důvodu formální jednoduchosti zvolme v této kapitole maximální metriku, ve které je okolí bodu a = [a], ..., an] e R" kartézským součinem okolí jednotlivých souřadnic a\,..., a„, tj. úK{á) = {x = [X],..., xn] € IR" : max \xt — o,-1 < e}. Ryzím okolím bodu a rozumíme množinu G{a) \ {a}. Okolí nevlastních bodů v K2 jsou definována v souladu s maximální metrikou : Okolím nevlastního bodu [oo. oo] rozumíme libovolnou množinu typu {a, oo) x {b, oo), a, b e K. Analogicky definujeme okolí nevlastního bodu [—oo, oo], [oo, —oo], [—oo, —oo] i okolí bodů typu [a, ±oo], [-Loo, a]. Okolí nevlastních bodů v prostorech vyšších dimenzí jsou definována analogicky. Množinu W spolu s nevlastními body budeme označovat (R*)n. V definici limity vystupují funkční hodnoty funkce v ryzím (libovolně malém) okolí bodu, v němž limitu definujeme. Z tohoto důvodu lze limitu funkce vyšetřovat jen v hromadných bodech definičního oboru. Proto, aniž bychom tento fakt stále zdůrazňovali, budeme ve všech kapitolách, kde se vyskytuje limita funkce v daném bodě, předpokládat, že tento bod je hromadným bodem množiny ${f) (připomeňme, že bod x e @(f) je hromadným bodem množiny @>{f), jestliže každé jeho ryzí okolí obsahuje alespoň jeden bod této množiny). 2.2. Limita funkce Definice 2.1. Řekneme, že funkce /: W R (n ^ 1) má v bodě a e (R*)" limitu L, L € R*, jestliže ke každému okolí G(V) bodu L existuje ryzí okolí Čip) bodu a takové, že pro každý bod x g G {a) Pi SH{f) platí f {x) e O {L). Píšeme lim f (x) — L. 12 Limita a spojitost funkce Limita se nazýva vlastní, jestliže L e R, v opačném případě (L = ±00) se nazývá nevlastní limita. Bod a e (R")* se nazývá limitní bod. Uvedená definice limity je univerzální definicí pro funkci jedné či více proměnných, pro vlastní či nevlastní limitu a pro vlastní i nevlastní limitní body. Specifikací okolí pro vlastní limitní bod i limitu a € R", L e R dostáváme tzv. e-8 definici vlastní limity ve vlastním bodě. Tuto definici zde zformulujeme pro funkci dvou proměnných. Definice 2.2. Řekneme, že funkce /: R2 R má v bodě [jco, yo] e R2 limitu L e R, jestliže ke každému s > 0 existuje 8 > 0 takové, že pro každý bod [x,y] e 9{f) splňující \x - x0| < 8, \y - y0\ < 8, [x,y] ^ [x0, y0] platí \f(x, y) — L\ < e. Píšeme Zásadní rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou a více proměnných spočívá v „dimenzi" okolí limitního bodu u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (což znamená, že funkce má limitu v bodě, má-li obě jednostranné limity a tyto se sobě rovnají), zatímco u funkce více proměnných je těchto možností nekonečně mnoho; můžeme se blížit k danému bodu po přímkách, po parabolách či obecných množinách. Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží nu cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Příklad 2.3. i) Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte Řešení. Vzhledem k tomu, že okolí bodu 00 je tvaru (A, 00) a ryzí 5-okoIí bodu [1, 0] je {(1 - 5,1 + 8) x (-8, 8)} x {[1, 0]}, dostáváme tuto specifikaci obecné definice 2.1: Limita lim f(x, y) — 00, jestliže ke každému A e R U,>)-»(1,0) existuje ô > 0 takové, že pro všechna [x,y] e ${f) splňující \x — 1| < Mm (x.y)-*(xo.yo) f(x,y) = L. < 8, \y\ < 8, [x, y] ŕ [1, 0] platí f(x, y) > A. A. 2.2 Limita funkce 13 ii) Dokažte, že funkce f (x, y) = nevlastní limitu oo. ^ má v bodě [0, 0] nm . Pro Řešení. Nechť A e R je libovolné. Položme <5 |*| < S, \y\ < 8 platí x2 + y2 < 2S2 = ~. Odtud pro {x,y\ŕ [0, 0] platí >\A\ŽA. Tedy k A e M libovolnému jsme našli í > 0 takové, že pro [x, y] ^ [0, 0] splňující > A, tj. podle definice limity |*| < 5, \y\ < 5 platí ^r^r lim —t-7—r = co. Graf funkce z = -tt^i je znázorněn na vedlejším obrázku Podobně jako u funkce jedné proměnné platí následující věty o limitách funkcí. Protože definice limity funkce více proměnných pomocí okolí bodu je stejná jako pro funkci jedné proměnné, jsou i důkazy těchto tvrzení stejné jako pro funkce jedné proměnné. Čtenáři doporučujeme provést si je jako cvičení. Věta 2.4. Funkce f má v bodě [xq, yo] nejvýše jednu limitu. Věta 2.5, Nechť lim f(x, y) — 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím (jf.yJ-t-Oto.yo) okolí bodu [xo, yo] (ti- existuje konstanta K ^ 0 taková, že \g(x, y)\ ^ K v tomto ryzím okolí). Pak lim f(x, y)g(x, y) = 0. (*.)')->■ (*o.yo) Věta 2.6. Nechť h(x, y) ú f(x, y) £ g (x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [x0, y0] a platí lim h(x,y)— lim g(x,y) — L. (x. y)-*- (xo.yo) (j:..v)^-(j:o.to) Pak Věta 2.7. Nechť lim f (x, y) = L. (x,y)-*(x0,y0) lim f(x,y) = L\ {x,y)-+(x0,y0) lim g(x, y) = L2 (x, Uo.TO) a L], L2el. Píz&pro £aŽ£?-(xo,yo) lim [ci/(x, y) + c2g(x, y)] -c\L\+ c2L2, (jr.yi-^Uo.yo) lim L/U, y)£(x, y)] = L,L2. Ct.y)-*(jcn,.vn) 14 Limita a spojitost funkce Je-li L2 ^ O, pak f(x,y) L, lim - = —. (x,y)~±(x0,y0) g(x, y) L2 Věta 2.8. Má-li funkce f v bodě [x0, y0] £ (M*)2 vlastni limitu, pak existuje ryzí okolí bodu [xq, yo], v němž je funkce f ohraničená. Poznámka 2.9. Počítání limit funkcí dvou a více proměnných je často obtížnější než v případě funkcí jedné proměnné, neboť k počítání tzv. neurčitých výrazů (li-mitytypu ^ , ^ ) nemáme k dispozici žádnou analogii 1'Hospitalova1 pravidla. Proto při výpočtu limit tohoto typu používáme různé úpravy funkce, jejíž limitu počítáme. Nejčastěji používané úpravy jsou ukázány v následujících příkladech. Příklad 2.10. Vypočtěte limity následujících funkcí: i) fix, y) = X + y*l v bodě [1, 0]. x + y + 3 Řešení. Pokud můžeme souřadnice limitního bodu do příslušného výrazu dosadit (tj. po dosazení neobdržíme neurčitý výraz), je hodnota limity dané funkce rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Platí tedy x+y+l 1 lim -= - . (x,y)^(i.0)x + y + 3 2 A 2 2 ii) f(x, y) = , * -v bodě [°- V*2 + y2 + 1 - 1 Řešení. Protože bychom dosazením souřadnic limitního bodu získali neurčitý výraz typu jj, najdeme hodnotu limity obratem typickým i pro funkce jedné proměnné. Čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme výrazem Jx1 + y2 + 1 +1. Po této úpravě dostáváme x2 + y2 ix2 + y2)(Jx2 + y2 + 1 + 1) lim =-= lim---------= (.x,y)-+(0,0) Jx2 + yl _|_ 1 _ 1 (x,y)-+(0,0) x1 4- y1 + 1 - 1 = lim {y/x2 + y2 + 1 + 1) = 2. (jc,y)-».(0,0) A iii) f(x,y) = (x + y) sin - sin — v bodě [0, 0]. x y 'Guillaume de 1'Hospital (1661-1704), francouzský matematik. 2.2 Limita funkce 15 Řešení. Protože lim (x + y) — 0 a | sin - sin -1 < 1 pro každé [0, 0] v£ (jt,.y)->(0,0) x > ^ [x, y] 6 M2, je podle věty 2.5 lim (jc + y) sin - sin - = 0. A cos y ív) f(x, y) — -v bodě (1, oo). x + y Řešení. Nejprve ukážeme, že lim -J- = 0. Nechť e > 0 je libovolné. (jt,:y)-*(l,oo) ^ Musíme najít 8 > 0 a A e M taková, že pro x e (1 — á, 1 + 8) a y > A platí < s. Nechť S > 0 je libovolné a položme A = j + 8 — 1. Pak pro x e (l — 8, l + 8), y > A platí x + y>l-<5 + <5-l + ± = ±, odtud -4- < £. Protože funkce cos y je ohraničená, platí lim ^ =0. A y (jt,)0-*(l,OO) A+ľ v) /(*, y) = xy \n(x2 + y2) v bodě [0, 0], Řešení. Z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné víme, že lim t ln t = 0 >^o+ (to lze snadno spočíst pomocí 1'Hospitalova pravidla). Protože platí nerovnost 2 \xy\ = x ty (která je ekvivalentní nerovnosti (x ± y)2 ^ 0), platí 0^ |xyln(;c2 + y2)| ú ^(x2 + y2)ln(x2+y2). (2.1) Položme r = x2 + y2. Je-li (x, y) -> (0, 0), je r 0+, a tedy lim (x2 + y2) \n(xz + y2) = lim t ln t = 0. (*,>>)-»■ (0,0) r-+0 Nyní z nerovnosti (2.1) a věty 2.6 plyne lim xy ln(x2 + y2) =0. A (*,y)->(0,0) ' sin(x — y + z — 1) vi) f(x, y, z) =--— v bodě [1, 1, 1]. x — y + z - 1 Řešení. Příklad vyřešíme metodou substituce. Položme t = x — y + z — 1. Pro (x, y, z) ->- (1, 1, 1) je t -> 0. Protože lim ^ = 1, k libovolnému e > 0 /->-0 ' existuje 5] > 0 takové, že pro 0 < |r| < 5i je | — 11 < s. Položme 8 = ^. Pak pro [x, y, z] € splňující |x — 1| < 5, |y — 1| < 8, \z — 1| < 5, x — y + z — 1 0 je 0 < \x - y + z — 11 < <$i, a tedy sin(x — y + z — 1) y + z- 1 sin(x - y + z - 1) < e lim -= 1. U,y.i)-r(i,\,i) x-y + z-l A 16 Limita a spojitost funkce Řekli jsme, že existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Tohoto faktu využíváme při důkazu neexistence limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě [xo, yo] zavedením polárních souřadnic r, (p definovaných vztahy x — x0 = r cos (0,0) x1 + y2 r^o+ r2 2 Protože výsledek závisí na ' ' >1 = [0,0]. Po transformaci do polárních souřadnic dostáváme r3 cos2 ^3 sin ^> r cos2 (p sin (p lim -^7-->-1-r~5—r = lim --.-;—r^r~ - 0, r->0 r2(r2 cos4

• [0, oo) splňující lim g(r) = 0 taková, že l/(*0 + rcos 0 dostatečně malá. Speciálně, platí li po transformaci do polárních souřadnic lim f(x, y) = lim h{r)g{yi), (x,y)-+(xQ,ya) r-*0+ kde lim h(r) = 0a funkce g((p) je ohraničená pro

0 existuje á > 0 tak, že pro 0 < r < ä je g(r) < B, tj. \f(xQ + rcos oi- xL + yL Řešení Využijeme transformace do polárních souřadnic a tvrzení věty 2.13. Položme x — — r cosip, y — r sin (0, 0), je r ->- 0+, a tedy x3 + y3 , r3(sin3 + cos3 w) , . ■» i , „ lim -=-~ = lim -=-s-=—= lim r(sinJ

-(0,0) + r-»0+ H(sm2 + COS2 7 = Hm (I+rsin3?) = 1, (Jt,y)-»(0,1) *2 + (y - l)2 /■-►0+ čímž je splněna nutná podmínka pro existenci dané limity. Dále platí |(1 + r sin3 zo] a[jc, y, z], ů je úhel, který svírá průvodič (= spojnice těchto bodů) s kladným směrem osy z, a

IR, který patří do &{f). Řekneme, že funkce / je spojitá v hodě [xo, y0], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim f(x, y) = f(x0, y0). (.«•,>■)->■ (jco.yo) Pro funkci n proměnných dostáváme zcela stejnou definici spojitosti: Nechť / je funkce n proměnných, n ^ 2. Řekneme, že funkce / je spojitá v bodě x* = — [x*, ..., x*], který je hromadný bod množiny 3{f) patřící do této množiny, jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim /(*)-/(**)■ x —>x* Porovnejme tuto definici s definicí spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory. Zobrazení / z prostoru (P, p) do prostoru (g, a) je spojité v bodě x* e P, jestliže ke každému okolí f bodu /(**) e Q existuje okolí fy bodu x* takové, že pro každé x* e ^ je f(x*) e "ľ. Je-li (P, p) prostor S>(f) s některou z výše uvedených ekvivalentních metrik pi, p2, poo (viz odst. 2.1.) a (Q, cr) je R1 s metrikou a(x, y) = \x — y\, pak je definice spojitého zohrazení stejná s definicí spojité funkce n proměnných v bodě x*, který je hromadným bodem množiny S?(/). V izolovaných 'HeinrichHeine (1821-1881), německý matematik. 2.3 Spojitost funkce 19 bodech množiny S>(/) jsme spojitost nedefinovali; ve smyslu definice spojitého /obražení je funkce v těchto bodech vždy spojitá. Vzhledem k tomu, že spojitost funkce dvou a více proměnných se definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí jc spojitá funkce, a dále platí věta o spojitosti složené funkce. Věta 2.18. Jsou-li funkce f, g spojité v bodě [xo, yo] € R2, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f+ g, fg, a je-li g(xQ, yo) ^ 0, je v tomto bodě spojitá také. funkce. f/g. Věta 2.19. Nechť funkce g, h jsou spojité v bodě [x0, yo], "o = g(*o, yo), Vo — — h(xo, yo) a funkce f je spojitá v bodě [uo, Vol Pak je v bodě [xq, yo] spojitá složená funkce F(x, y) = f(g(x, y), h(x, y)). Příkladem funkcí spojitých v celé rovině jsou např. polynomy ve dvou proměnných, funkce sin u, cos u, e", kde u je polynom ve dvou proměnných. Příklad 2.20. Určete body, v nichž následující funkce nejsou spojité: x r, > 2x-5.v sin(x2y + xy2) a) / (x, y) = --, b) f(x, y) =---— . x2 + yz - 1 cos(x - y) Řešení. a) Funkce fiix. y) = 2x — 5y, fiix, y) = x2 + y2 - 1 jsou polynomy ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce / není spojitá v bodech, ve kterých není definována, tj. kde x2 + y2 = 1. Body, v nichž funkce není spojitá, tvoří kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1. b) Funkce fix, y) = x2y + xy2, f2(x, y) = x — y a sinu, cos u jsou spojité v celé rovině. Podle věty 2.18 o podílu není funkce / spojitá v bodech, kde cos(x-y)=0, tj. y = x + (2k + l)^, k G Z. ^ Příklad 2.21. Zjistěte, zda funkce /(x, y) definovaná následujícím způsobem je spojitá v bodě [0,01: Hx,y) = 3 pro [jc. yJ *L0.0]. x4 + y* 0 pro [x, y] = [0, 0]. 20 Limita a spojitost funkce Řešení. Nejprve ověřme, zda existuje lim f(x, y). Zvolíme-li y = kx, snad- (x,y) >(0,0) no vidíme, že výsledná hodnota záleží na k, neboli že záleží na přímce, po které se k počátku blížíme. Proto uvedená limita neexistuje a daná funkce nemůže být v počátku spojitá. A Poznámka 2.22. Je-li funkce / spojitá v bodě |*o> yol e K2> jsou spojité i funkce jedné proměnné g (x) — f (x, yg) v bodě .Tg a/í(y) = /(xq, y) v bodě y$. Spojitá funkce dvou proměnných je tedy spojitou funkcí proměnné x při konstantním y a spojitou funkcí y při konstantním x. Opačné tvrzení neplatí! Ze spojitosti vzhledem k jednotlivým proměnným neplyne spojitost jakožto funkce dvou proměnných. Uvažujme funkci z předchozího příkladu. Není obtížné ověřit, že pro libovolná pevnáxo. yo S K jsou funkce f(x, yo), f(x$, y) spojité v K, avšak funkce dvou proměnných / není spojitá v bodě [0,01, neboť v tomto bodě limita neexistuje. 2.4. Věty o spojitých funkcích Stejně jako pro funkci jedné proměnné platí pro funkci n proměnných Weier-strassova1 a Bolzanova2 věta. Uvedeme obě věty pro funkci dvou proměnných. Připomeňme, že Weierstrassova věta pro funkce jedné proměnné se týká funkcí spojitých na uzavřeném a ohraničeném intervalu, přičemž spojitost na uzavřeném intervalu znamená spojitost zleva (zprava) v pravém (levém) krajním bodě a normální spojitost ve vnitřních bodech. Pro funkci dvou proměnných definujeme spojitost na množině takto: Definice 2.23. Řekneme, že funkce / je spojitá na množině M c R2, jestliže pro každý bod [xq, yo] ^ M, který je jejím hromadným bodem, platí lim /(*,30 = /(*o.}'o)- (x,y)-+(xo,yo) Limitní vztah chápeme takto: Ke každému s > 0 existuje ô > 0 takové, že pro každé [x, y] e ^á([x0, y0]) n M platí \f(x, y) - /(.t0, vo)I < «■ Poznámka 2.24. Všimněme si, že předchozí definice si nevšímá izolovaných bodů množiny M. Spojitost funkce / na množině M nezávisí na hodnotě této funkce v izolovaných bodech množiny M. Věta 2.25 (Weierstrassova). Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M C R2. Pak nabývá na M své nejmenší a největší hodnoty. 'Karl T. W. Weierstrass (1815-1897), německy matematik. ^Bernard Bolzano (1781-1848), český matematik a filozof 2.4 Věty o spojitých funkcích 21 Důkaz. Uvedená věta je důsledkem obecné věty z metrických prostorů: Je-li / spojité zobrazení mezi metrickými prostory, pak obrazem kompaktní množiny je kompaktní množina. V eukleidovských prostorech je kompaktní množinou každá ohraničená uzavřená množina. Odtud okamžitě plyne ohraničenost množiny f(M). Protože každá neprázdná shora ohraničená množina má supremum, existuje Ä' = sup f(x, y). (x.y)eM Zbývá dokázat, že existuje bod [xq, yo] e M takový, že f (x^, y0) = K. Podle definice suprema existuje pro libovolné n e N bod [xn, yn] e M tak, že f(xn, yn) > > K — Posloupnost {[xn, y„]} je ohraničená, proto existuje vybraná podposloup-nost {[xnk, y„J} konvergující k bodu \xq, y0l- Vzhledem k uzavřenosti množiny M je [*o> yo] e M a ze spojitosti funkce / plyne, že {f(x„k, ynk)} f(x0, yQ). Poněvadž/C^, yn ) > K - ^ pro všechna k, je lim f(x„k,ynk) = f(x0,yo) ^ K- Z definice suprema plyne /(x0> yo) = K, a proto f(xQ, yo) — K. Podobně se dokáže tvrzení o nejmenší hodnotě funkce /. □ Poznámka 2.26. Důsledkem této věty je ohraničenost spojité funkce na kompaktní množině, což bývá někdy spolu s větou 2.25 formulováno ve dvou větách jako první a druhá Weierstrassova věta. V následující větě je třeba předpokládat, že množina M je souvislá. Připomeňme z teorie metrických prostorů, že otevřená množina M C E2 se nazývá souvislá, jestliže pro každé dva body X, Y e M existuje konečná posloupnost bodu X\, ..., X„ e M, X\ = X, X„ = Y taková, že všechny úsečky XíXí+\ jsou podmnožinami M. Věta 2.27 (Bolzanova). Nechť funkce f je spojitá na otevřené souvislé množině M C R2. Nechť pro A, B e M platí f (A) ^ f (B). Pak ke každému číslu c ležícímu mezi hodnotami f (A) a f(B) existuje C e M tak, že f {C) — c. Důkaz. Položme g (x, y) = f(x, y)-c. Ze souvislosti množiny M plyne existence konečné posloupnosti bodů X\,...,Xn e M, X\ = X, X„ — Y takové, žc všechny úsečky jsou podmnožinami M. Uvažujeme-li hodnoty g(Aľ,), pak buď existuje index / takový, že — 0, nebo existuje j takové, že g(Xj) < 0 (> 0),g(XJ+l) > 0 (< 0). Označíme-li Xj - [xuyi], Xj+i = [*2, ^l. jsou parametrické rovnice úsečky XjXj+\ x = x\ + (x2 - x\)t, y = yi + (y2 - y\)t, t e [0, 1]. Položme G(í) = f{xx + (x2 - x{)t, y, + (yz - y\)t), t e [0, 1]. Pak G(0) = = g(Xj) < 0 (> 0), G(l) = g(Xj+i) > 0 (< 0) a G je spojitá funkce na 22 Limita a spojitost funkce uzavřeném intervalu. Podle Bolzanovy věty pro funkci jedné proměnné existuje to e (0, 1) tak, že G (to) — 0. Zvolíme-li C = [xi + (x2 - xi)ř0, y\ + (y2 - y\)t0], dostaneme g(C) = 0, tj. f(C) = c. □ Poznámka 2.28. Důsledkem této věty je následující tvrzení: Nechť funkce / je spojitá na otevřené souvislé množině M c K2. Existují-li A, B e M takové, že f (A) < 0, f (B) > 0, pak existuje C <= M tak, že f (C) = 0 (tzv. první Bolzanova věta). Cvičení 2.1. Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte: a) , Jim , Í^ = °°- h) ,im /(*> 3») = -°° U.v)->-(-1.2) (x.y)->(oo,l) 2.2. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim d) lim . b) lim ÍSi ^ e) ijm Xy2 cos _i_ j (*,y)-+(e2,l) ľ (*,y)-KU,0) *y c) Um IS^i _ (x,y)-»(l,0) yV+y2 2.3. Vypočtěte limity následujících funkcí: l±ň „ 1IU1 ^_y a) lim í-±f, e) lim b) lim 4rr- f) lim 5!2 (A-,y)-»(0,0) x +y (Jt,y)^(0,2) x c) lim ^g^"', ) lim (,.y)->.(0,0) *2+y2 &/ (*,y)^(oo,oo) * d) lim (x2 + y2)j:2>'2) h) lim Síízd. (j:,y)^(0,0) (*,y)^(0,2) * 2.4. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim (x2 + y2)e-(r+-v\ d) lim (^h)' , (x,y)-*(oo,oo) {x,y)-±{oo,oo)\* 'y / ... e b) lim + C) lim . 4 C) lim '7T(l+y2) , 0 lim (l+xV)"^, 2.5. Dokažte, že funkce f(x, y) = nemá v bodě 10,0] limitu. 2.4 Vety o spojitých funkcích 23 2.6. Určete body nespojitosti funkcí: a) z = -r= ■ d) z = sin - , i \ _ x + v \ _ 1 c)z = -j%, f) z = ln|l-*2-y2| 2.7. Určete body nespojitosti funkcí: a) z = • d) z = arccosi, C) Z = ~r , f) z = ln 2.8. Zjistěte, zda funkce / je spojitá v bodě ro.01: w, , (f& pro[*,y]/[0,0], a) fix, y) = \x +y | 0 pro [x, y] = [0, 0], Pro[x,y]^[0,0], b) fix, y) = x*+y I 0 pro [x, y] = [0, 0] * ř/čifó/ by mě/ působit tak, ze to, co nabídne, je přijímáno jako cenný dar, ne jako úmorná povinnost. (A. Einstein) * 24 Kapitola 3 Parciální derivace Derivace funkce je druhým základním pojmem diferenciálního počtu. Cílem této kapitoly je zavést tento pojem pro funkci více proměnných a ukázat souvislost s limitou a spojitostí funkce. Připomeňme definici a geometrický význam derivace funkce jedné proměnné: derivace funkce /: M ->- K v bodě *0 je limita ,,, , ,. /(*) - /(*o) ,~ / (x0) = hm -. (3.1) •*-*■■*<> x — Xq Derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke křivce y = f (x) v bodě [x0, f (xq)]. Má-li funkce derivaci v bodě .r0, je v tomto bodě spojitá, a tudíž zde existuje také limita funkce. Jak jsme již ukázali v předcházející kapitole, limita funkce dvou a více proměnných je komplikovanějším pojmem než v případě funkce jedné proměnné, neboť k bodu [xq, yo] (v případě dvou proměnných) se můžeme blížit mnoha způsoby. Zcela přirozené je začít zkoumat situaci, blížíme-li se k bodu [x0, y0] ve směru souřadných os x a y. Tím se dostáváme k pojmu parciální derivace funkce dvou proměnných. Při „parciálním"1 derivování se vždy na jednu z proměnných x, y díváme jako na konstantu a podle druhé derivujeme. Blížíme-li se k bodu [x0, y0] ve směru předem daného vektoru u — (u\, u2), jde o směrovou derivaci, která je přirozeným zobecněním pojmu parciální derivace. Pro funkci n proměnných je situace analogická. Doslovný český překlad slova parciální je „částečný". 3.1 Parciální derivace 1. řádu 25 3.1. Parciální derivace 1. řádu Definice 3.1. Nechťfunkce /: R2 M je definovaná v bodě [x0, yo] anějakém jeho okolí. Položme (x,y), f'y{x,y), zx, zy. z', z'. ii) Zcela analogicky se definují parciální derivace funkce n proměnných. Je-li z — f{x\, ■ ■ ■, xn) funkce n proměnných, x* = [x*, ..., x*] e M", definujeme ^-(x*) = lim i [/(**.....x^„ xf +t.xT+l,.... x*n) - f{x\, ..., x*n)]. iii) Z definice parciální derivace plyne, že při jejím výpočtu postupujeme tak, že všechny argumenty kromě toho, podle něhož derivujeme, považujeme za konstanty. Protože parciální derivace fx. funkce n proměnných je definována jako „obyčejná" derivace podle proměnné x,, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Uvedeme je přímo pro funkci n proměnných. Věta 3.3. Nechť funkce f, g: R" -> R majíparciálníderivaci podle proměnné x i e {1, ..., n}, na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle x; a platí ^- [f(x) ± g(x)] = ^-f(x) ± fgW, ox; OXj ÚXj 26 Parciální derivace ~íf(x)g(x)] = ^-f(X)g(x) + gM^-f{x), oXj óXi óXí ±_ (fixY\ = ůfmgW-fíx)£:g{x) dXi \g(x)J gHx) přičemž U>rzení o podílu derivací platí za předpokladu, že g{x) 7^ 0. Příklad 3.4. i) Vypočtěte parciální derivace funkce dvou proměnných: y a) z = arctg - x b) z = x?, x > 0. Řešení. a) Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y /a konstantu, tj. Zx i + li ( *2) X2 y Analogicky + 71 1 /l + y2 b) Parciální derivaci podle x určíme jako derivaci mocninné funkce a derivaci podle y jako derivaci exponenciální funkce se základem x, tj. ii) Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce /\x\,..., x„) = yfx2 + • • • + x„Vi Řešení. Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x, považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty: 3 dxi xf H-----h^e' + ---+XÍ Xt+-+xl , o„ /^2 1 , „2px\+~+xl » +2x1A/xí: + ----r-x2e-1 [l+2(x2 + ---+x2)] xf+-+xí XÍ + ---+XŠ 3.1 Parciální derivace 1. řádu 27 Geometrický význam parciálních derivací. Nechť je dána funkce f:R2-±R a G/ je její graf. Nechť ti je rovina daná rovnicí y = yo- Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce /) je průsečíkem G y n Pi Tt krivka y v rovině tt a parciální derivace fx(xo, vo) udává směrnici tečny t k této křivce v bodě Qo = [xo,yo, f(x0,y0)], viz vedlejší obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny t je tg a.) Podobně, derivace fy(xo, yo) u-dává směrnici tečny ke křivce v bodě Qo, která vznikne průsečíkem plochy G f s rovinou x = x0. z = f(x, y (*o> yo - 0) Zatímco u funkcí jcdnč proměnné plyne z existence derivace v daném bodě její spojitost, u funkcí více proměnných toto tvrzení neplatí. Má-li funkce f \ K —> R parciální derivace v bodě [xo, yo], nemusí být v tomto bodě spojitá, jak ukazuje následující příklad. Příklad 3.5. Funkce definovaná předpisem /(*■ y) = 1 pro x = 0 nebo y — 0, 0 jinak má v bodě [0, 0] obě parciální derivace (rovny nule) a není zde spojitá, neboť v tomto bodě neexistuje limita (grafem funkce je podstavná rovina, z níž je „vyzdvižen" osový kříž). Skutečnost, že z existence parciálních derivací neplyne spojitost, je zcela přirozená. Parciální derivace totiž udávají informaci pouze o chování funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, v jiných směrech se funkce může chovat „velmi divoce". 28 Parciální derivace 3.2. Derivace vyšších řádů Definice 3.6. Nechť \xq, ynl 6 D(fx). Existuje-Ii parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné x v bodě [xo, yo], nazýváme tuto derivaci parciální derivací2. řádu podle x funkce / v bodě [x0, yo] a značíme ji fxx(x$, yo) nebo také §(*o,y0). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě [x0, yo], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce / v bodč [x0, y0] a značíme ji fxy(xQ, y0) nebo také |^(x0, y0). Obdobně definujeme parciální derivace 2. řádu fyx(xo, yo) a fyy(xa, yo). Parciální derivace rc-tého řádu (n ^ 3) definujeme jako parciální derivace derivací (« — 1)-ního řádu. Příklad 3.7. i) Vypočtěte derivace 2. řádu obou funkcí z příkladu 3.4 i). Řešení. a) V případě funkce z = aretg 7 jsme vypočetli zx = —-jf-r, z,, = -jttč-Odtud 9x V x2 + y2 y Podobně 9y V *2 + >>2 ) x2 + y2 ~ 2yz (x2 + y2)2 x2 + yz - 2x2 (x2 + y2)2 2xy (x2 + y2)2' y-1 lnx, ▲ 1 ii) Ukažte, že pro funkci u y/*2 + y2 + z' platí hjx + + k2z = 0. Uvedený příklad hraje důležitou roli ve fyzice; podrobněji viz příklad 5.9 ii). 3.2 Derivace vyšších řádů 29 Řešení. Při výpočtu parciálních derivací využijeme skutečnost, že funkce u závisí na proměnných x, y, z symetricky. Platí (x2 + y2 + z2'P _ (x2 + y2+z2)J -3.x2(xz + y2+z2)ž {x1 + y2 I z2) ä 1 3x2 + x2 + y2 + z2 (x2 + y2 + z2)2 ' Ze symetrické závislosti na zbývajících proměnných pak dostáváme - 1 ^ 3y2 a;2 + y2 + z2 (x2 + y2 + z2)2' 1 3z2 x2 + y2 + z2 (x2 + y2 + z2)2" Odtud nyní snadno ověříme platnost rovnice uxx + uyy + uzl = 0. Á Všimněte si, že u obou funkcí v části i) předcházejícího příkladu vyšla rovnost zxy = zyx. Následující věta ukazuje, že tyto rovnosti nejsou náhodné. Věta 3.8 (Schwarzova1). Nechť funkce f má v okolí bodu [xq, yo] parciální derivace fx, fy a smíšenou parciální derivaci fxy, která je v bodě [xq, yn] spojitá. Pak existuje také smíšená parciální derivace fyx(x(,, yo) a platí fxy(xo, yo) = fyAxo, yo)- (3-2) Důkaz- Provedeme za silnějšího předpokladu, kdy existují obě smíšené parciální derivace fxy a fyx v okolí bodu [jtn, yo] a jsou v tomto bodě spojité. Obecný případ viz \¥\. Označme ô-okolí bodu [xo, yo], v němž jsou tyto parciální derivace definovány, jako fy = (xq — ô, xq + S) x (y^ — S, yo + S). Pro 0 < h < S položme „„, f(xo + h,yo + h)-f(x0 + h,y0)-f(xo,y0 + h) + f(x0,y0) F(h) =-p- (3.3) adále označme ip(y) = f(x0 + h, y) - f(x0, y), ý(x) = f(x,yo + h)-f(x,y0). Funkci F pak můžeme psát ve tvaru F(h) = -íj [-[. Pak pro y ^ 0 je /A(0, y) — 0 a pro y = 0 je podle definice parciální derivace , (n „ .. /(/»,0)-/C0.0) ,. 0 • Ä - o /t (0, 0) = lim-— lim---= 0. Pro x^Qahv absolutní hodnotě dostatečně malá je f(x,h) — xh, tedy fí ~ ,. f(x,h)-f(x,0) xh — 0 fv(x, 0) = lim-= lim —-— = x h-*o h a-o h a konečně /v(0, 0) = hm-,-— hm - = 0. Jy h^0 h a-o/i 'Joseph Louis Lagrange (1736-1813), francouzský matematik. 3.3 Směrové derivace 31 Využitím těchto výsledků plyne z definice parciálních derivací 2. řádu /^(O, 0) = hm---= lim 0 = 0, /m(0, 0) = Hm />(»■«"-/>«>•«> _ ,ta *Z» _ !. Matematickou indukcí můžeme tvrzení Schwarzovy věty rozšířit pro derivace vyšších řádů. Věta 3.10. Má-li funkce f v bodě [xq, yn] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace az do řádu n, pak hodnota parciální derivace řádu n v libovolném bodě z tohoto okolí závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle proměnné x a kolikrát podle proměnné y, nikoliv na pořadí, v jakém se podle těchto proměnných derivovalo. 3.3. Směrové derivace Parciální derivace funkce / v boděx e W1 jsou obyčejné derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce / na přímku jdoucí bodem x a rovnoběžnou s í-tou souřadnicovou osou. Zobecněním parciálních derivací jsou směrové derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce na přímku jdoucí bodem x a mající směr daného vektoru u e V". To znamená, že vyšetřujeme funkci v'z následující příklad, část ii). iv) V příkladu 3.5 jsme ukázali, že z existence parciálních derivací funkce / v bodě [xq, yo] neplyne spojitost funkce. V části iii) následujícího příkladu ukážeme, že ani existence směrové derivace v bodě [xq, yo] ve směru libovolného vektoru «cV2 není postačující pro spojitost. To je na první pohled překvapující skutečnost. Uvědomíme-li si však, že směrové derivace popisují chování funkce /, blížímc-li sc k bodu [xq, yo] po přímkách, a definice limity (pomocí níž je definována spojitost v bodě [xo, yo]) zachycuje všechny způsoby „přiblížení" (např. po parabolách), je toto zcela přirozené. Příklad 3.13. i) Vypočtěte směrovou derivaci funkce f{x, y) = arctg(*2 + y2) v bodě [1, - 1] ve směru vektoru u = (1,2). Řešení Přímým dosazením do definice a využitím 1'Hospitalova pravidla dostáváme , „ „ ,. arctg[(l +ř)2 + (-1 +2f)2] -arctg2 /(i,2)(l. 1) = hm--------= ř^O t arctg(2 - 2r + 5r2) - aretg 2 -2+10/ 2 — lim-.-_ = |im- — — í->0 t /-»0 1 + (2 — 2ř + 5f2)2 5 ▲ ii) Ukažte, že pro funkci f{x,y) pro (*,>•) ý- [0,0], pro(.r, v) = [0,01 a vektory u = (1, 0), v = (0, 1) existují /„(0, 0), /,(0, 0), fu+u(0, 0), avšak přitom fu+v(0, 0)řfu{0,0) + fv(0, 0). Řešení Platí /, = A /, = fy Protože /(ř.0) = 0 = /(0, t), je /„(0,0) = = 0 = /„(0, 0). Pro derivaci >e směru vektoru u + v = (1, 1) dostáváme z definice směrové derivace fu+v(0, 0) = lim Í[/(0 + r, 0 + r) - /(0. 0)] = lim íl^í = 1. ř-*o / /-*o 2rJ Tedy 1 = /„+„((), 0) ^ /„(0,0) 4- /„(0,0) = 0. ▲ 3.3 Směrové derivace 33 iii) Ukažte, že funkce / definovaná předpisem [ 0, pro (*,?) = [0,0] má v bodě [0, 0] směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru u e V2, a přesto není v tomto bodě spojitá. Řešení. Je-li 0 ^ u — (u \, u2) e V2 libovolný, podle definice směrové derivace platí f„(0,0) = lim -[f(0 + tu\,0 + tu2) - /"(O, 0)1 = l-i-0 t ŕu\ ■ t2uk tu\ui - lim ——i-V = lim , } A - 0. t^0t(t%u\ + ŕu\) í--0 ř-*M8 + M4 Blížíme-li se k bodu [0, 0] po parabolách y = kx2, dostáváme X ' fc x fc lim —J-;—r = -7 . x^0x%+kAx% \+kA To však znamená, že lim /Yjt, y) neexistuje, tedy funkce / není v bodě [0, 0] (r,vWn,0) spojitá. A Definujeme-li směrové derivace 2. řádu vztahem fuv(x ) = hm-, platí analogické tvrzení jako věta o záměnnosti smíšených parciálních derivací. Věta 3.14, Nechť u, v € V", funkce f: IR" —> R má v bodě x* spojité směrové derivace fuv o. fvu- Pak jsou si tyto derivace rovny, tj. fuvU*) = fvuix*)- Poznámka 3.15. Předpokládejme, že funkce / má v bodě x* spojité parciální derivace 2. řádu, a označme f"(x*) — (fXixj)> U j — 1, • • •, « matici parciálních derivací druhého řádu funkce / v bodě x * (tato matice se někdy nazývá Hessova matice funkce / v bodě x*), pak pro libovolná u,veV existuje smíšená směrová derivace fUvix*) a platí fuvix*) = /„„(**) = (f"(x*)u, v) = (f"Qc*)v, u), kde {,) je obvyklý skalární součin v R". 34 Parciální derivace 3.4. Lagrangeova včta o střední hodnotě Jedním z důležitých tvrzení diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné je Lagrangeova věta o střední hodnotě. Ta říká, že pro diferencovatelnou funkci /: [a, b] R lze rozdíl f(b) — f (a) vyjádřit vc tvaru f(b) - f {a) = f'GXb - a), kde £ € (a, b). Její analogií pro funkce dvou proměnných jsou následující dvě tvrzení: první pro parciální derivace, kdy „body střední hodnoty" leží na hranici obdélníku určeného danými dvěma body, a druhé pro směrovou derivaci. Věta 3.16, Předpokládejme, že funkce f má parciální derivace fx a fy ve všech bodech nějakého obdélníku M C R2, a nechť [xq, yo], [*i, yi] C M. Pak existují čísla £, rj ležící mezi xq, x\, resp. yo, yi taková, že f{x\,y\) - f(x0, yo) = fx{l;, y\){x\ - x0) + fy(x0, >?)(yi - yo). Důkaz. Platí f(x\,y\) - f(x0, yo) = f(x],y\) - f(xQ, yi) + f(x0, yi) - f(x0, yo) = = y\){x\ - *o) + fy(xo, n)(yi - yo)- V poslední úpravě jsme aplikovali Lagrangeovu větu pro funkcejedné proměnné na funkce 7i ] leží na zbývajících dvou stranách obdélníku. Projdeme-li důkaz věty 3.16, snadno zformulujeme analogickou větu pro funkce n proměnných. Jsou-li x* — [x*,...,x*], x — [x\,...,xn] e M", existují body zi, - - -, z„ el" ležící na hranách n-rozměrného kvádru určeného body x* a x takové, že " df f(x) - fix*) = -^-(ZkKxk - xí). *=i ÓXk Aphkujeme-li Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci jedné proměnné na funkci '2+:;2 3.2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z b) z = 2 xy ln(x + y), (2x + y)2x+y, d) z e) z g) z = xyesin'">', v h) u = xz, i) z = arctg(x - y)2, j) u — sin (x2 + y2 + z2), k) u = xr, « z = 7l- (^)2 + arcsin^. 3.3. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu následujících funkcí v daných bodech: a) z = y2 + y Vl +x2 v [2, 5], b) z = ia(x + £) v [1,2], c) z = ftosy-y-™* y m 01 L' c l+sinjc+siny L ' J' 3.4. a) Vypočtěte uz v bodě [0, 0, f ], je-li u = ./sin2 x + sin2 y + sin2 z-b) Vypočtěte ux + uy + uz\ bodě [1,1,1], je-li u — ln(l + x + y2 + z3). 36 Parciální derivace 3.5. Ověřte rovnost zxy — zyx u funkcí: a) z = x1 — 2xy — 3y2, b) z — arccos 3.6. Najděte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí: a) z = xA + y4 - 4*y, g) z = b) * = h) z = ln *5p£± , c) z = ^ , i) z = ln(* + y2), d) z = , j) z = ln Jx1 + y2, e) z = x sin(x + y), k) z = arcsin , * , V* +y f) z = ^. D z = (l+x2F, * Mfc/y nepovažujte své studium za povinnost, ale za záviděníhodnou příležitost naučit se poznávat osvobozující účinky krásy ve sféře ducha, abyste z toho vy získali osobní potěšení, a společenství, k němuž budete později patřit, výhody. (A. Einstein) 37 Kapitola 4 Diferenciál funkce Diferenciálem funkce / jedné proměnné v bodě xq rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [xq, /(xq)]. V tomto případě existence diferenciálu neboli diferencovatelnost funkce je ekvivalentní existenci derivace v bodě xq. Připomeňme, že /: M —>• M je diferencovatelná v bodě xq, jestliže existuje reálné číslo A takové, že ,. f(xo + h)- f(x0)-Ah lim--= 0. h^O h U funkce n proměnných (n ^ 2) je totální diferenciál definován analogicky: je to přírůstek funkce na tečné nadrovině vedené ke grafu funkce bodem x$ e W. Přesnou definici pojmu tečná nadrovina uvedeme později; v podstatě je to nadro-vina (tj. afinní podprostor dimenze n — 1), která má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde tečnou nadrovinu sestrojujeme) společný právě jeden bod. Se zavedením těchto pojmů okamžitě vznikají tyto otázky: Kdy v daném bodě existuje tečná nadrovina ke grafu funkce neboli kdy je funkce diferencovatelná? Stačí k tomu pouhá existence parciálních derivací jako u funkce jedné proměnné? Odpovědi na tyto a další podobné otázky jsou obsahem této kapitoly. 4.1. Diferencovatelná funkce, diferenciál Nejdříve definujme pojem diferencovatelnosti a diferenciálu pro funkce dvou proměnných. 38 Diferenciál funkce Definice 4.1. Řekneme, že funkce /: R2 -» R definovaná v okolí bodu [xq, yo] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí f(xo + h,yo + k)-f{xo,yo)-(Ah + Bk) lim -' -= 0. (4.1) OUWO.O) jyfi + k2 Lineární funkce Ah + B k proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [x0, yo] a značí se d/(x0, y0)(h, k), příp. d/(x0, y0). Poznámka 4.2. i) Ekvivalentní zápis definice difcrcncovatelnosti funkce dvou proměnných je tento: existují A, B g M a funkce x: R2 —*■ R tak, že platí f(x0 + h,y0 + k)- f(x0, y0) = Ah + Bk + r(h, k), (4.2) kde x (h, k) lim -±±J= = 0. (4.3) (A,«->(0,0) V/l2 + k2 ii) Jmenovatel limity ve výrazu (4.1) je velikost vektoru (h, k) v eukleidovské metrice. V odstavci 2.1 jsme zdůraznili ekvivalentnost metrik p\, p2 a /w Proto nahradíme-li výraz \Jh2 + A:2 výrazem ■+- |A;| (velikost (A, k) v metrice /?]) nebo výrazem max{|/i|, \k\} (velikost (h, k) v metrice poo), dostaneme definici ekvivalentní s definicí 4.1. V předchozí kapitole jsme ukázali, že pro funkce dvou a více proměnných z existence parciálních ani směrových derivací neplyne spojitost. Následující dvě věty ukazují, že diferencovatelnost funkce je tou „správnou" vlastností, která implikuje spojitost a některé další vlastnosti funkce. Veta 4.3. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xq, yo], pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. Z diferencovatelnosti funkce / v bodě [xo, yo] plyne lim [f(x0 + h,y0 + k)-f(x0,y0)] = lim [Ah + Bk + x(h, k)\ = 0, (A,*)->(0,0) (A,*)->-(0,0) neboť podle poznámky 4.2 i) je lim r(h, k) = 0. Odtud (A,A)^(0,0) lim f(xo + h,y0 + k) = f(x0, yo), (h,k)->(0,0) funkce / je tedy spojitá v bodě [x0, yo]- □ 4.1 Diferencovatelná funkce, diferenciál 39 Poznámka 4.4. Opak této věty neplatí. Je-li funkce spojitá, nemusí být diferencovatelná, např. f (x, y) — \fx2 + y2 v bodě [0, 0]. Věta 4.5. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [jv'o, yo], pak má v tomto bodě parciální derivace a platí A = fx(x0, y0), B = fy(x0, y0), tj. d/Oo, yo) = fxixa, y0) h I fy(x0, y0) k. (4.4) Důkaz. Položme v (4.1) k — 0. Pak lim f^+h.yo)-f{xo.yo)-Ah = Qa pmtQ lim ft-*0 f(x0 + h, y0) - f(xo, yo) - Ah ii->o h .. f(xo + h,y0)-f(x0,yo) . , . . . n = bm-;--A = fx(x0, yo)-A-r 0, a->0 h tj. A = fx(xo, yo). Stejným obratem dokážeme rovnost fy(xo, yo) — B. □ Poznámka 4.6. i) Přírůstky h, k nezávisle proměnných x,yv definici diferenciálu se často značí dx, áy (především ve starší literatuře a v literatuře s fyzikálním zaměřením). ii) Je-li funkce / diferencovatelná v každém bodě množiny M, má v každém bodě této množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x, y, h, k. Označíme-li dx — x — x0 — h, áy = y — y0 = k, dostáváme, že diferenciál funkce /je df(x, y) = fAx, y) dx + fy{x, y) dy. iii) Diferenciál se používá k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Zanedbáme-li funkci t, z (4.2) plyne f(x, y) = f(x0, yo) + d/(*0, yo)- (4.5) Geometrický význam totálního diferenciálu. Rovina v R3 o rovnici z = Ax + By + C se nazývá tečnou rovinou ke grafu funkce ; = f(x, y) v bodě T = [x0, yo, f(x0, yo)], platí-li fix, y)-Ax-By~C lim —p===^== = 0. (x,y)^(x0,yo) J(x - Xq)2 + (y _ yo)2 Má-li tato rovina procházet bodem T, musí tento bod vyhovovat rovnici roviny, li f(xo, yo) = Ax0 + By0 + C, odkud z = A(x - x0) + B(y - y0) + f(x0, yo). 40 Diferenciál funkce Tato rovina je tečnou rovinou, jestliže existuje diferenciál funkce v bodě [x0, yo], tj. podle věty 4.5 je A = fx(x0, y0), B = fy(x0, y0). Rovnice tečné roviny má tvar z = f(x0, y0) + fx(xo, yo)(x - x0) + fy(xo, y0)(y - yo). (4.6) Odtud je vidět, že diferenciál funkce v daném bodě je přírůstek funkce na tečné rovině. Funkce r (h, k) z poznámky 4.2 i) určuje rozdíl mezi skutečným přírůstkem a přírůstkem na tečné rovině. Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximací funkce f(x, y) v okolí bodu [x0, y0]. Příklad 4.7. Z definice diferenciálu určete d f a funkci r pro f(x, y) = x2 + y2 v obecném bodě [x, y]. Řešení. Platí f(x + h, y + k)-f(x, y) = (x + h)2 + (y+k)2-x2-y2 = 2xh + 2yk + h2+ k2. Je tedy df(x, y)(h, k) = 2xh + 2yk a r(h, k) = h? + k2. A Příklad 4.8. i) Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte: a) 1,042-02; b) V(2,98)2 + (4,05)2. Řešení a) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x, y) = xy v bodě [1,2] s diferencemi dx = 0,04, dy = 0,02. Platí df(x,y) = yxy-ldx+xy\nxdy, tj. d/(l, 2) - 2dx + Ody - 2dx, a tedy podle (4.5) 1,042'02 = /(1,04; 2,02) = /(l, 2) + d/(l, 2) = 1,08. b) K výpočtu použijeme diferenciál funkce /(x, y) = s/x2 + y2 v bodě [3, 4] s diferencemi dx = -0,02, dy = 0,05. Platí xdx ydy d/(x,y) = ^==+ y y sjx1 + y2 s/x2 + y2 a dosazením do (4.5) dostáváme N/(2,98)2 + (4,05)2 = 5 + - (-3 • 0,02 + 4 • 0,05) = 5,028. Á 4.1 Diferencovatelná funkce, diferenciál 41 ii) Napište rovnici tečné roviny grafu funkce z = x2 + y1 v bodě [1,1, ?]. Řešení. Dosazením do funkčního předpisu najdeme z-ovou souřadnici dotykového bodu z — l2 + l2 ~ 2. Nyní přímým dosazením do vzorce pro tečnou rovinu dostáváme její rovnici z = 2 + 2(.v — 1) + 2(y — 1), tj. 2x + 2y - z - 2 = 0. A Jak již víme, ze samotné existence parciálních derivací funkce v bodě [x.q, yo] neplyne diferencovatelnost (viz příklad 3.5). Jsou-li však tyto derivace v tomto bodě spojité, je diferencovatelnost zaručena, jak ukazuje následující věta. Věta 4.9. Má-li funkce f v bodě \xq, ynl spojité parciální derivace 1. řádu, pak má v tomto bodě také diferenciál. Důkaz. Ze spojitosti parciálních derivací fx, fy v bodě [xn, yo] plyne jejich existence v jistém okolí tohoto bodu. Podle věty 3.16 platí lim (h.k)—(0,0) — lim f(xp + h, yp + k) - /(xo, yp) - fx(x0, yp)h - fy(x0, y0)k ^ Vh2 + k2 fx(x0+ůxh, yo+tyh+fyixu, yu + ů2k)k-fx(x0, yo)h-fy(x0, y0)k (h. k)-r(0,0) sjh? + k2 h = lim [fx(x0 + ůxh, y0 + k) - fx(x0, y0)] ■ -_ (A,*)-(0,0) V/i2 + k2 + („ä,o) ^(Xo' y«+ Ů2k) - ^ ■ tptp = 0, neboť ze spojitosti parciálních derivací plyne, že limity výrazů v hranatých závorkách jsou nulové, a platí Vh2 + k2 < 1, V/J2 + k2 % 1, tj. podle věty 2.5 je výsledná limita nulová. Dokázali jsme platnost (4.1). □ Příklady funkcí, které jsou, resp. nejsou diferencovatelné v daném bodč jsou uvedeny v příloze, viz příklady P.7, P.8, P.9. Obecně —- funkce n proměnných /: R" —* R je diferencovatelná v bodč x* e R", jestliže existuje a = (ax,..., a„) e V" takové, že pro h — (hx.....hn) e V" platí f(x* +h)- f(x*)-{a,h) lim -7-r-.-— 0, h-*0 11*11 42 Diferenciál funkce kde = Jh\ -I-----\- h2, a (a, h) = £ Je obvyklý skalární součin v W. Diferenciálem ;=i funkce / v bodě x* pak rozumíme lineární funkci definovanou předpisem n i—>• [a, h), tj. áf(x*)(h) = {a, h). Stejně jako ve větách 4.3 a 4.5, z existence diferenciálu v bodě x* plyne spojitost funkce a existence parciálních derivací v tomto bodě a pro vektor těchto parciálních derivací f{x*) platí fix*) = a, tj. = ať, « = 1,..., n. Na závěr tohoto odstavce ukážeme, že z diferencovatelnosti funkce plyne — kromě spojitosti a existence parciálních derivací — také existence směrové derivace ve směru libovolného vektoru. Ukážeme rovněž, jak lze pomocí diferenciálu tyto směrové derivace spočítat Věta 4.10. Předpokládejme, že funkce f:W —>■ R je diferencovatelná v bodě x* e R", a nechť u g V. Pak existuje směrová derivace fu (x*) a platí /«(**) = 0 / ř-»0 / = d/(x*)(«) + ||U|| lim = dfix*)(u) - ■ R má v bodě [x0, yo] spojité parciální derivace až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce / v bodě [x0, yo] rozumíme homogenní funkci m-tého stupně ď"f(x0,yoKh,k) = VfM ,/w Axo,yo)hjkm-j. ^ \jj óxJóym-J Poznámka 4.13. Pro případ m — 1 je vzorec pro d'"/ samozřejmě totožný se vztahem (4.4). Pro m = 2, 3 dostáváme diferenciály 2. a 3. řádu d2/(x0, y0) = fxAxo, yo)h2 + 2fxy(x0, y0)hk + fyy(.x0. yo)k2, d3f(xQ, yo) = = fxxx&Q, yo)h3 + 3/^y(x0, yo)h2k + 3fxyy(x0, y0)hkz + fyyy(x0, y0K'3. Pro případ n proměnných je diferenciál m-tého řádu homogenní funkce n proměnných h = = (h\,...,hn) ď"/(**)(A) = £ m! , ff (x*)/,f . ..ht. 7,...^„-yi!---y"!<---"v;': Tento vztah se často zapisuje pomocí formálního umocnění takto: (3 3 \m přičemž po „normálním" umocnění nahradíme součiny (£)V>-(£)V> členy —-(x )----y(x ). dx\x dx}n" 44 Diferenciál funkce Např. diferenciál 2. řádu funkce dvou proměnných lze pomocí formálního umocnění zapsat takto: / 9 d \2 d2/(*o.m> - y^+kjy-j /(*o.yo)-4.3. Kmenová funkce V tomto odstavci řešíme následující úlohu: Je dána dvojice funkcí dvou proměnných P{x,y), Q(x, y). Máme rozhodnout, zda existuje funkce H(x, y) taková, že Hx = P, Hy = Q. V kladném případě máme tuto funkci určit. Funkce H se nazývá kmenová funkce funkcí P, Q. Odpověď na otázku existence kmenové funkce dává následující věta. Věta 4.14. Nechť P, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené jednoduše souvislé' množině Q C M2, které mají na této množině spojité parciální derivace Py, Qx. Pak výraz P(x,y)dx 4- Q(x, y)dy je diferenciálem nějaké funkce, právě když platí py(x, y) = Qxix, y) pro každé [xjjefl. (4.7) Důkaz- Provedeme za silnějšího předpokladu, kdy množinou U je obdélník se stranami rovnoběžnými s osami x,y. Nechť platí (4.7) a [xq, yo] e ň je libovolné. Položme H{x, y)= í P(t, y) át + ľ Q(x0, t) át. Pak//,(*, = P(x,y)a Hy(x, y) = Q(x0, y) + í Py(t, y) dt = Q(x0, y) + í Qx(t, y) dt = jxq jxq = Q{xo,y) + Q{t,y)\'=xo = Q{x,y). Je-li výraz P dx + Qdy diferenciálem nějaké kmenové funkce H, pak P = = H x, Q — Wj. Ze spojitosti parciálních derivací Py, Qx plyne spojitost smíšených derivací Hxy a Hyx, které jsou si rovny (Schwarzova věta), a rovnost Hxy — Hyx je ekvivalentní rovnosti (4.7). □ 'Oblast £2 se nazývá jednoduše souvislá, jestliže libovolnou uzavřenou křivku ležící v ň lze spojitě deformovat v fi do bodu. 4.3 Kmenová funkce 45 Příklad 4.15. Rozhodněte, zda výraz (x2 — y2) dx + (5 — 2xy) dy je diferenciálem nějaké funkce; v případě že ano, určete tuto (kmenovou) funkci. Řešení. Nejprve ověříme, zda je uvedený výraz opravdu diferenciálem. Platí ^- (5 - 2xy) = -2y, ^ (x2 - y2) = -2y, dx dy tj. podle věty 4.14 je zadaný výraz diferenciálem jisté kmenové funkce H. Dále platí (x2 - y2) dx = y - y2x + R se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu je výraz P\ (x) dx\ + • • • + P„ (x) dxn diferenciálem jisté kmenové funkce n proměnných v bodě x = [x\,..., xn], právě když 3 3 — Pjix)= — Pi(x), i,j=l,...,n, irj-dxi ' axj Praktický postup při určování kmenové funkce v případě tří proměnných je ilustrován v následujícím příkladu. 46 Diferenciál funkce ■H(,x,y,z) =x + Cy(y, z) = x + z, tj. Cy(y,z) = z, Příklad 4.17. Rozhodněte, zda výraz (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz je diferenciálem jisté funkce H (x, y, z)- Pokud ano, tuto funkci určete. Řešení. Nejprve ověříme, zdaje daný výraz opravdu diferenciálem: 3 3 3 3 3 3 — (y + z) = l = —(*+z), — (x + y) = 1 = — (y + z), —(x + z) = l = —(x + y). dy dx dx dz dz dy Kmenovou funkci určíme takto: H(x, y,z) = J(y + z) dx = yx + zx + C(y, z), kde funkce C(y, z) opět hraje roli integrační konstanty. Derivováním podle y a z a porovnáním s funkcemi u dy, dz dostáváme 8 9y 0 — H(x, y,z)=x \ Cz(y, z)=x + y, tj. Cz(y, z) = y. dz Tím jsme dostali stejný problém jako v příkladu 4.15, kdy je třeba určit funkci C(z, y). jestliže známe obě její parciální derivace. Stejným postupem jako v příkladu 4.15 snadno zjistíme, že C(y, z) = yz + c, c e R. Zadaný výraz je diferenciálem funkce. H{x,y, z) = xy + yz+xz + c, c e K. A Poznámka 4.18. Skutečnost, zdaje výraz P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz (4.9) diferenciálem jisté funkce, hraje fundamentální roli v teorii křivkových integrálů a v jejich fyzikálních aplikacích. Funkce P, Q, R můžeme chápat jako souřadnice nějakého silového pole v prostoru— vektor F(jc, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y,z), R(x, y, z)) udává směr a velikost síly působící v bodč [x, y, z]. Toto pole se nazývá konzervativní nebo také potenciálové, jestliže se při pohybu v tomto poli po libovolné uzavřené křivce nevykoná žádná práce (tuto vlastnost má například pole gravitační). Lze ukázat, že pole F je konzervativní, právč když je výraz (4.9) diferenciálem jisté funkce H. Tato funkce se ve fyzikální terminologii nazývá potenciál silového pole. Cvičení 4.1. Určete diferenciál funkce v daném bodě, popř. v obecném bodě tam, kde není konkrétní bod specifikován: a) z = xy + [x0, y0] = [1, 1], e) z = V'x2 + y2, [x0, y0] = [3, 4], b) z = aretg \, [x0, yo] = [1, -1], f) z = aresin JL—, x ^/x£+yi [*o> yo] = [l- V3]. c) z = aretg y^, [*„, yo] = [>/3, 1], g) m = [•*o. yo, zo] = [1, 0,1], d) a = x'.[jco.yů.z0] = [2,l.l], h) u = (f)v 4.3 Kmenová funkce 47 4.2. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně: a) arctgif , c) vW+lW, e) — (1'03)" yn,qx.(i,05)4 b) arcsinf^f, d) ln(0,972 + 0,052), f) e0-053"0'02 g) O kolik cm3 se přibližně změní objem kužele s poloměrem podstavy r = 10 cm a výškou h — 10 cm, zvětšíme-li poloměr podstavy o 5 mm a výšku o 5 mm zmenšíme. h) O kolik přibližně musíme změnit výšku komolého jehlanu se čtvercovou základnou s délkami hran a ~ 2m, b — Im a. výškou « - lm, jestliže a zvětšíme o 7 cm a b zmenšíme o 7 cm, chceme-li, aby objem zůstal nezměněn. 4.3. Rozhodněte, zda funkce / je diferencovatelná v bodě 10, OJ: [x,y] jí [0,0], 0, [*, y] = [0, 0], a) fix, y) = yfixyi, b) /(*, y) = x u ^ Í^T^' L*-?] ŕ [0,0], c) /(-*, v) = { x +y [ 1, [x,y] = [0,0]. 4.4. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) f(x, y) = y/l - x2 - y2, [x0, yo, zol = [-^, ^, h) f(x, y)=x2+ xy + 2y2, [x0, yQ, zq] = [1, 1, 4], c) /(*, y) = arctg [x0, yQ, z0] = [1,-1, ?], d) /(*, y) = e^2, [x0, y0, z0] - [0, 0, ?]. 4.5. Na grafu funkce / najděte bod, v němž je tečná rovina (nadrovina) rovnoběžná s danou rovinou (nadrovinou): a) fix, y) = x3 + y\ p = \2x + 3y - z = 0, b) fix, y) = x2 — y2, p = ax + by — z — 0, c) fix, y) = x2 - y2, p = x + y + z = 0, d) fix, y) = x>, p =x -z =0, e) y, z) — x^Jz1 + y2, p = x + y — z — u —0, í) fix) = J x2 H-----\-x2, p = axX] H-----h anxn + xn+\ = 0. 48 Diferenciál funkce 4.6. Pomocí gradientu vypočtěte směrové derivace funkce / ve směru vektoru u v daném bodě: a) f(x,y)=xy, u = (1,2), [x0, y0] = [l, \\, b) /(*, y, z) = Jx2 + y2+z2, « = (L 0, 1), [x0, y0, z0] = [0, 1, 0]. 4.7. Vypočtěte diferenciály vyšších řádů zadaných funkcí (v obecném bodě): a) z = x ln(xy), d2z =?, d) z = ln(x + y), d"z =?, b) z = x3 + y3 - 3xy(* - y), d2z =?, e) z = í±Z, d"z =?, c) z = (x2 + y2) c*+v, d"z =?, f) w = xyz e*+>+ž, d"« =?. 4.8. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je: a) (x + lny)dx4- (f + siny)dy, c) ^±žf . b) xsin2ydx + x2cos2ydy, d) (y2 - 1) dx + (2xy + 3y) dy. 4.9. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je: a) (3x2 - 3yz + 2) dx + (3y2 - 3xz + In y + 1) dy + (3z2 - 3xy + 1) dz, h^ yzdx xz dy , xydz * Moudrost není produktem vzdělání, ale celoživotním úsilím. (A. Einstein) * 49 Kapitula 5 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Stejně jako u funkce jedné proměnné potřebujeme u funkcí více proměnných určit parciální derivace složené funkce. To je obsahem prvního odstavce, kde také ukážeme použití odvozených vzorců. Druhý odstavec této kapitoly je věnován Taylorovu vzorci pro funkci více proměnných. Podrobnější srovnání s funkcí jedné proměnné provedeme v každém odstavci zvlášť. 5.1. Parciální derivace složených funkcí Vzorce pro parciální derivace složených funkcí jsou jedním z nejdůležitějších nástrojů řešení rovnic matematické fyziky. Tyto rovnice jsou tzv. parciální diferenciální rovnice — to jsou rovnice, které obsahují parciální derivace neznámé funkce a jejichž řešení jsou funkce dvou či více proměnných. Odvozené vzorce umožňují transformovat tyto rovnice na jednodušší tvar, z něhož buď již umíme najít řešení, nebo alespoň můžeme, vyvodit řadu důležitých vlastností řešení rovnice. Na úvod připomeňme, jak se derivuje složená funkce jedné proměnné. Nechť funkce u — g(x) má derivaci v bodě xq. Označme «o — g(xo). Má-li funkce ;. = f(u) derivaci v bodě wn, pak složená funkce y = F (x) — f (g (x)) má derivaci v bodě x0 a platí: y'(x0) = f'(u0)g'(xQ). Nyní odvodíme podobné vztahy pro parciální derivace složené funkce dvou proměnných. Bude nás především zajímat případ, kdy vnější funkce / není explicitně zadána (obvykle je to hledané řešení parciální diferenciální rovnice). 50 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Věta 5.1. Nechť funkce u = u(x, y), v = v(x, y) mají parciální derivace prvního řádu v bode [x0, yol Označme uq — u(xq, yo), Vq = v(xo, yo)- Je-li funkce Z = f(u, v) diferencovatelná v bodě [u0, v0], pak složená funkce z = F(x, y) = — f(u(x, y), v(x, y)) má parciální derivace 1. řádu v bodě [x0, y0] a platí: dF df 3« a/ dv -r~(xo, yo) = ^-("o. v0) —(x0, yo) + —(u0, vo) — (x0, y0), dx du dx dv dx dF/ df du df dv -r-(*o, yo) = —("o, v0)—(x0, y0) + -r-(u0, v0)~(x0, yo). dy du dy dv dy (5.1) Zkráceně píšeme Zx = Zu <*x + Zv Vx, Zy = ZU Uy + Zv Vy (5.2) nebo také dz dz du dz dv dz dz du dz dv dx du dx dvdx' dy dudy dv dy Důkaz. Dokážeme pouze první vzorec v (5.1), druhý se dokáže zcela analogicky. Vyjdeme přímo z definice parciální derivace. dF F(x0 +1, yo) - F(xQ, yo) ^-(xn, yo) = lim---= ôx /-»-o t .. f(u(x0 + t, y0), v(x0 + t, y0)) - f(u(x0, yo), v(x0, y0)) .s — hm-----■-.-—— . (5.4) t^o t Označíme-li u(t) = u(xo + t, yo), v(t) = v(xa + t, y0), z diferencovatelnosti funkce / plyne existence funkce t splňující (4.3) takové, že f(u(t), v(t)) - f(u0, Vo) = = fu(uo, v0)(u(t) - uo) + fv(u0, v0)(v(t) - vo) + r(u(t) - u0, v(t) - v0). Dosazením tohoto vztahu do (5.4) dostáváme SF 1 -r~(xo, yo) = lim - [/„(«o- vo)(u(t) - w0) + /„("o. v0){v(t) - w0) + dx t^O t + r(u(t) - uo, v(t) - v0)] = fu(u0, v0) hm---h /-o t , v(x0 + t,y0) - v(x0,yo) , .. r(u(t)-u0,v(t)-v0) + fvim, vq) hm--1- hm-= í->o r r-+o t r(w(r) - u0, v(t) - vo) = /«("o. uo)«*(*o, y0) + fv(u0, vo)vx(x0, yo) + lim i-*o t 5.1 Parciální derivace složených funkcí 51 K dokončení důkazu nyní stačí ukázat, že poslední limita je nulová: v(u(t) - u0, v(t) - v0) lim-— r->0 t r(w(ŕ) - uo, v(t) - vo) = lim (_ <-o J(u(t)-u0p + (v(t)-vo)2 Juj(x0, y0) + vj(x0, y0) • lim —=L r(u(r) - m0, w(ř) - vo) _^ (t) - «0)2 + (v(t) - v0)2 V posledním výpočtu jsme využili faktu, že lim«(ř) = uq, lim v(t) = v0, neboť funkce u(t) = u(x0 -f t, y0), v(t) = v(xo + t, yo) jsou spojité v bodě t = 0 — to plyne z existencí parciálních derivací funkcí u, v v bodě t = 0 a pro funkci jedné proměnné plyne z existence derivace spojitost. □ Příklad 5.2. i) Je dána funkce z = e" sin v, kde « = a u - x + y. Vypočtěte z* a zy. Řešení. Protože vnitřní i vnější složky mají spojité parciální derivace v celém K2, má složená funkce parciální derivace v každém bodě tohoto prostoru. Dosazením do (5.2) dostáváme z.r = ZuUr + ZvVi = (e" sin v)y + (e" cos v), zy =zuuy+ zvvy = (e" sin v)x + (eH cos v). Zbývá dosadit za u a v, u=xyzv = x + ya dostaneme zx = exy(ysm(x+y)+cos(x+y)), zy = exy(x sin(x+y)+cos(x+y)). ▲ ii) Pomocí transformace do nových nezávisle proměnných u = x + y, v = x — y najděte všechny diferencovatelné funkce /: R2 ^ R splňující rovnost fx(x,y) + fy(x,y)=0. (5.5) Řešení. Označme z = f(x,y). Pak zx = zuux +zvvx — zu+ zv, zy — z„uy + + zvvy = zu - Zv Dosazením dostáváme zu + zv + zu — zv = 2zu = 0, tedy zu ~ 0. To znamená, že funkce z = z(u, v) nezávisí na proměnné u, a tedy zfu, v) = g{v), kde g je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Dosazením za v vidíme, že všechny diferencovatelné funkce dvou proměnných, které splňují (5.5), jsou tvaru f{x, y) = g(x — y), kde g je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. ▲ 52 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec iii) Proveďte totéž jako v předchozím příkladě zavedením polárních souřadnic

o]> pak složená funkce y/x2 + y2 ' y x1 + y1 J. 1 Parciální derivace složených, funkcí 53 z = F{x, y) = f{u{x, y), v(x, y)) má parciální derivace 2. řádu v bodě [xq, yo] a platí: Zxx = ZUUU2X + 2zuvUxVx + ZvyV] + ZUUXX + ZVVXX Zxy — Zuu UxUy + ZUvVyUx + ZvuUyVt + Zm,VyVx + ZUM^ + ZvVXy (5.7) ~ ZuuUy 4" 2ZUVU yVy ~f" Z^yV-y "I" ZHUyy "I" Z V • Funkce z a její parciální derivace mají argument (uo, i>0), funkce u, v a jejich parciální derivace mají argument (xq, yo). Důkaz. Dokážeme pouze rovnost pro zxx, důkaz zbývajících dvou vzorců je zcela analogický. Platí 3 3 0 3 Zxx - T-(zx) = -z-(zuux + zvvx) = — (zuux) + — (zvvx) = ax ax ax ax 3 3 = 7-(zu)Ux + ZUUXX + — {zv)Vx + ZVVXX = ax ax = {ZuuUx + ZuvVx)Ux + ZUUXX + (ZVUUX + ZvvVx)Vx + + zvvxx = zuuu\ 4- zuvvxux + zvvi>l + zvuuxvx + zuuxx + zvvxx — = Zutť*x + ZZuvUxVx + Zvvvj + ZUUXX + ZVVXX. K výpočtu ~zu a j^zv jsme využili skutečnosti, že zu = zu(u(x, y), v(x, y)) a zv — zv(u(x, y), v(x, y)) jsou opět složené funkce proměnných x, y, a proto můžeme k výpočtu jejich derivací využít vztahů (5.1), ve kterých místo z dosadíme zu, resp. zv. □ Poznámka 5.4. K zapamatování vzorců (5.7) můžeme použít formální umocnění, o kterém jsme sc již zmínili u výpočtu diferenciálů vyšších řádů (poznámka 4.13). Například pro výpočet zxx formálně 9 9 9 9 umocníme pravou stranu rovnosti zx — Zu^x + Zvvx- Dostaneme zfrux + 2zuzvuxvx + z^vx, a nahradíme-li druhé mocniny, resp. součin prvních derivací funkce z odpovídajícími druhými derivacemi, obdržíme zUuUx + 2zuvuxvx + zVvvx> což jsou právě první tři členy v (5.7). Příklad 5.5. i) Pomocí transformace do nových nezávisle proměnných u = x+ay, v — x—ay najděte obecné řešení tzv. vlnové rovnice a2Zxx ~Zyy=0 (tato rovnice popisuje např. chvění struny na hudebním nástroji, z(x, y) udává velikost výchylky struny ve vzdálenosti x od jednoho z bodů upevnění struny v čase t = y). 54 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Řešení. Využitím vzorečků pro parciální derivace 1. a 2. řádu dostáváme zx = zuux + zvvx — zu + zv, Zy — zuuy + zvvy = azu - azv, ZXX — Zlili "H 2zHi; + Z\i\}, Zyy — O Zuu 2ťl Zuv ~T" a Zvv ■ Dosazením a úpravou obdržíme rovnici zuv = 0, kterou řešíme takto: Ozna-číme-li zu(u, v) = w(u, v), pak řešením rovnice wv — 0 je libovolná funkce nezávisející na v, tedy w = w(u). Řešení rovnice zu — w(u) je tvaru z(m, v) = — f w(u) du + g(v) (podobně jako při hledání kmenové funkce je „integrační konstantou" funkce g(v) proměnné v, viz odst. 4.3). Označíme-li f(u) — = J w(u) du, dostáváme řešení rovnice ve tvaru z(u, v) = f{u) + g(v) a po dosazení za u a v z(x, y) = f(x + ay) + g(x - ay), kde /, g jsou libovolné funkce jedné proměnné mající derivaci 2. řádu. Je-li ještě zadána počáteční poloha a rychlost chvějící se struny, tj. je daná dvojice funkcí y y _ 2 1 X 1 zXx — y Zuu ^Zuv -ť zVv 7 ' ^xy — xyzUu T Zvv "f" Zu — Zv, yl yi yL Zyy — X Zuu ^ 7 Zuv ^~ 7 ^vv ^Zv T -yL y* y3 Dosadíme do rovnice a po úpravě dostáváme 2 2 2 zuu(x2y2 + *V - 2x2y2) + Zuv(2x2 - 2x2) + zvv(y + ^ + 2Íj) + 7 / X X X \ X X + zu(-2xy +xy + xy) + Zv{- + 2---) =4 — zvv 4- -z„ = 0, yy y yJ r y 5.1 Parciální derivace složených funkcí 55 odtud zvv + ^zv = 0. Řešením této rovnice je zv(u, v) = kde / je libovolná (diferencovatelná) funkce jedné proměnné, a odtud z(u, v) — = 2/{u)s/v + g(u), kde g je libovolná funkce jedné proměnné se spojitou druhou derivací, což po dosazení za u, v dává V .v Přesvědčte se zkouškou, že tato funkce je opravdu řešením dané rovnice. A iii) Transformujte tzv. Laplaceovu rovnici 1 v R2 do polárních souřadnic x = r cos - yp = —z* r sin

= r2zxx(cos2 (p + sin2 R a m-tice funkcí g, : R" —* R, které mají spojité parciální derivace 2. řádu. Označme uk = gkix\, ■ ■■, xn), k = 1,..., m. Pak složená funkce F(x\, ... , xn) — f(g\ {x\ ... , xn), .. ., gm (x\, ... , xn)) má spojité parciální derivace 2. řádu a platí d m ^ ^ g — FiX] ...,xn) = J2~-fiU].....Um)—gkiX],...,Xn), (5.8) dXi t~l k ' ^2 ^2 ^ ^ ^3 3^ --F(x[, ..., xn) — T]--f(u)—gk(x) — gi'x) + Y] — /(«)--gk'x), axjXj '—' dUkUi ox\ dXj áuk ox\Xi J k,l=\ J k=l J (5.9) kde i, j — 1, 2, ..., n a ve vzorci (5.9) je u = (u\ ..., un), x = (x\, ..., xn). Poznámka 5.8. t) Jsou-li funkce gj ve větě 5.7 lineární, pak všechny členy v druhé sumě v (5.9) jsou nulové (neboť druhá derivace lineární funkce je nulová). Metoda formálního vynásobení derivací prvního řádu a následná náhrada součinů prvních derivací odpovídajícími druhými derivacemi dává pak přímo vztahy pro druhou derivaci. Takto je tomu např. v příkladu 5.5 i). ii) Uvedli jsme si zde pouze vzorce pro parciální derivace složené funkce 1. a 2. řádu, které jsou potřeba v rovnicích matematické fyziky. Metodou stejnou jako v důkazu věty 5.3 lze odvodit vztahy pro třetí a vyšší derivace, nebudeme je zde však již uvádět, neboťjsou formálně poměrně složité. Příklad 5.9. i) Transformujte Laplaceovu rovnici v R3 UXX + Uyy + Uzz — 0 do sférických souřa Jnic x = reosep sin ů, y = r sin (psinů,z — r cos ů. Řešení. Mohli bychom postupovat podobně jako při řešení příkladu 5.5 ni), zde však pro ilustraci různých možných metod postupujeme odlišně. Vyjádříme nejprve r, ůx 1 x 1 + zv/7r+7' v/T^T^t*2 + y2 + z2) 'V*2 + y2 yz i -V*2 + y2 y/*-2 +: y r2^T7' z l + z2 Ůxx = 7~ 2 2 XAZ XI r2Jx2 + y2 r4v^+? r22)§ rV*2 +y2 r4-/*2 + y2 r2(.r2 + y2)Z 2z,/*2 + y2 Podle vzorců pro derivace složené funkce x y xz Ux =urrx+ Uv 2 2^ *2 + y2 ««+«VV+"zZ = "H* +r+Zi) + MW—y--+ / __* V ^ _y2Z2 ^ ^2 „2, \ ^ o "rv r4 y(Jcz+ yz)z (jcz + y7)7 y r(xz + y1) r2 \y/x2 + y2 Jx2 + y2 ) r2(x2 + V2)J i x2 + y2 + zz\ uv + ur[---^- + , 2 (-2^v + 2*v) + (2z 2z H, T 2z n, ô z \ r2V*2 + y2 r r r2Vx2 + y2 / 2 1 1 COtg!? r rl sinz ů rl rL ii) Určete řešení Laplaceovy rovnice v K3, které je sféricky symetrické, tj. závisí pouze na vzdálenosti od počátku. Řešení. Nechť funkce u závisí pouze na proměnné r = V-^ + v2 I z2 a nikoliv na proměnných

, ů jsou rovny nule a dostáváme rovnici 2 Urr + -Ur - 0. r Položíme-li ur = v, dostáváme dále rovnici vr + }v = 0 a po úpravě r2vr + 2rv = 0, což je Cí 1 ekvivalentní rovnici j^(f2v) = 0. Řešením této rovnice je např. v(r) = — 4j-, a tedy u = y, tj u(x, y, z) = •Jx2 +y2+zz je jedním z řešení Laplaceovy rovnice (srov. příklad 3.7 h)). 5.2. Taylorova věta Nejprve připomeňme, co to jc Taylorův polynom a Taylorova věta1 pro funkci jedné proměnné. Nechť /: M R, x0, x g R a h — x — x0. Taylorův polynom 1 Brook Taylor (1685-1731), anglický matematik. 5.2 Taylorova věta 59 (mnohočlen) stupně n e N funkce / se středem v bodě xq je polynom Tn(x; x0) = a0 + a\(x - x0) H-----h a„(x - x0)", ak =---, k\ k = 0,..., n. Koeficienty ak určíme z požadavku, aby polynom T„ měl v bodě x0 stejnou funkční hodnotu a hodnotu prvních n derivací jako funkce /. Taylorův polynom používáme k přibližnému výpočtu funkčních hodnot funkce / v okolí bodu jco- Taylorova věta udává velikost chyby, které se dopustíme, aproximujeme-li funkci Taylorovým polynomem. Obdobně je tomu u funkce více proměnných. Taylorův polynom funkce f:W —>- M je polynom více proměnných, který má s funkcí / v daném bodě x* = [x*,..., x*] G W stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu všech parciálních derivací až do řádu n, kde n je stupeň polynomu. Pro funkce dvou proměnných dostáváme toto tvrzení. Věta 5.10 (Taylorova). Nechť funkce f: M2 —> M má v hodě [xo, yo] cl nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + 1 včetně. Pak pro každý bod [x, y] z tohoto okolí platí f(x,y) = Tn(x,y) + Rn(x,y), (5.10) kde 9/ 3/ Tn(x, y) = f(x0, yo) + — (*o, y0)h + — (x0, y0)k + dx dyy 1 /92/ . 32/ 32/ A + yj—í(xq, y0)/i + 2^^(x0' yo)hk + (xo, yo)k j + + ••■ + -V (") d"f .(xo, y0)h-JkJ, n\j^ \jJdx"-JdyJ a kde h = x — xo, k = y — yo, ů e (0, 1). Poznámka 5.11. Vzorec (5.10) se nazývá Taylorův vzorec, polynom Tu Taylorův polynom a R„ zbytek v Taylorově vzorci. Taylorův vzorec lze zapsat pomocí diferenciálů takto: 1 o /(*. y) = /Oo, yo) + áf(xo, yo)(h, k) + -á-f(xo, yQ)(h, k) + ■ ■ ■ + + -dnf(x0, y0)(h, k) + —L--dn+lf(x0 + ůh, y0 + ůk){h, k). n\ (n + 1)! 60 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Důkaz věty 5.10. Zaveďme pomocnou funkci jedné proměnné F(í) — f(xo + th, yo + /*). Platí F(l) = F(x0 + h, y0 + k) = F(x, y), F(0) = f(x0, y0). Pomocí Taylorova vzorce pro funkci jedné proměnné dostáváme F(l) = F (0) + F'(0) + i-F"(0) + ■ • • + VW(°) + -—J-ľ-ľŕ"("+1>(??), 2! n! (n + 1)! kde # e (0, 1). Pro výpočet derivací funkce F využijeme vztahů pro parciální derivace složených funkcí. Dostáváme d 3 3 /r'(0) = —f(x0 + th, y0 + tk)\t=0 = —f(x0, y0)h + —f(xQ, y0)k, dt óx óy d2 d2 F"(0) = ^F(t)\l=0 = ^/C*o + th, y0 + f*)|í=0 = = fxxixo, yo)h2 + 2fxy(x0, y0)hk + fyy(x0, y0)k2 a analogicky obdržíme Stejně postupujeme i při výpočtu zbytku R„. □ Příklad 5.12. i) Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [x0, y0] = [1,1] pro funkci f{x,y) = i. Řešení. Vypočteme nejprve všechny potřebné parciální derivace f =- f =-- f -0 f --- f - — J x — ' Jy — n ' J xx — Jxy — t » J yy — ? • y y2 yl yi Podle věty 5.10 T2(x, y) = f (í, 1) + fx(l, l)(x - 1) + fy{\, l)(y - 1) + + \ifxxih D(* - l)2 + 2/^(1, 1)(* - l)(y - 1) + fyy{\, l)(y - l)2] - = 1 + (X - J) _ (y - 1) _ (X _ l)(y -I)-(y- l)2 = = -y2 -xy + 2x + 2y ~ 1. A 5.2 Taylorova věta 61 ii) Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně vypočtěte přibližně: a) 7(2,98)2 + (4,05)2; b) 1,047 02. Výsledek porovnejte s přibližnou hodnotou získanou pomocí diferenciálu z příkladu 4.8 ii). Řešení. a) Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce z = f(x,y) = -Jx2 + y2 v bodě [x0, yo] = [3, 4] a diferencemi h — —0,02, k = 0,05. Parciální derivace funkce z jsou _ x y _ y1 ZjC — ,—--- , Zy — xy x2 Z xy — ~~ ; ' ■>,-»/-> ' Zyy = {x2 + 3,2)3/2' ^ {X2 + 3,2)3/2' Taylorův polynom je roven 72(*. ľ) = /(3, 4) + /,(3, 4)(* - 3) + /y(3, 4)(y - 4) + + ^[/,,(3, 4)(* - 3)2 4- 2/,y(3, 4)(* - 3(y - 4) + 4-/ľľ(3,4)(>;-4)2] = = 5 + 1[3(* - 3) +4(>> - 4)] + 2^[16(x - 3)2 --24(x-3)(.y-4)+9(y-4)2]. Odtud 7(2,98)2 +(4,05)2 = 5 + ^(-0,06 4- 0,2) + + ^(16 • 0,0004 - 24 • 0,001 + 9 • 0,0025) = 5,0281332. V příkladu 4.8 ii) jsme pomocí diferenciálu dostali přibližný výsledek 7(2,98)24-(4,05)2= 5,028. b) V Taylorově vzorci pro funkci z = xy položme [xQ, y0] — [1,2], h — 0,04, k = 0,02. Nejprve vypočtěme všechny potřebné parciální derivace. Platí zx = yxy-\zÁl,2) = 2,zy=xy\nx, zv(l,2) = 0,zxx = y(y- \)xy 2, zxx{\,2) =2, zxy = xy~l + yxy~] \nx = xy~\l + ylnx), zxyd,2) = 1, zyy =xy\nxlnx = xy ln2x, zyy(l, 2) = 0. Pak T2(x, y) = l+2(x-l) + (x - l)2 + (x- l)(y - 1). 62 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Odtud 1 042,02 = i + 2 . 0,04 + 0,0016 + 0,0008 = 1,0824. V příkladu 4.8 ii) jsme pomocí diferenciálu obdrželi přibližný výsledek 1,042'02 = 1,08. ▲ iii) Mnohočlen P(x, y) = x3 + 3y3 + xy2 + 2x2 + xy + x - 2y napište jako polynom v proměnných u=x — l,v = y + 2. Řešení. Nechť r3(x,y) Taylorův polynom 3. stupně funkce P se středem xq = 1, y0 = -2. Pak ve zbytku Ä3(x, y) vystupují 4. derivace funkce P, kteréjsou však všechny nulové, neboť/5 je polynom 3. stupně. Tedy (x, y) = = P(x, y) a stačí určit koeficienty v T3 (x, y). Postupně dostáváme P(l, — 2) = = -20, Px = 3x2 + y2 + 4* + y + 1, P,(l, -2) - 10, Py = 9y2 + 2xy + + x- 2, Pyd, -2) = 31, Pxx = 6x + 4, Pxx(l, -2) = 10, Pxy = 2y + 1, Pxy(l, -2) = -3, Pyy = 18y + 2x, Pyy(l, -2) = -34, Pxxx = 6, Pxxy = 0, Pxyy = 2, Pjvv = 18. Odtud T3(x, y) = -14 + 10(jc - 1) + 31(y + 2) + 5(x - l)2 - 3(x - l)(y + 2) -- 17(y + 2)2 + (x - l)3 + (x - l)(y + 2)2 + 3(y + 2)3. Jestliže ve výsledku provedeme umocnění, po úpravě samozřejmě dostáváme polynom P. Tuto kontrolu výsledku necháváme čtenáři jako cvičení. ▲ Zformulujme na závčr kapitoly ještč Taylorův vzorec pro obecný případ funkcí n proměnných. Důkaz tohoto tvrzení neuvádíme, neboť je v podstatě stejný jako pro dvě proměnné. Věta 5.13. Nechť funkce f: R" -*■ R má v bodě x* = [x *,..., x*] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro h = [h\,..., h„] platí fix* + h) = fix*) + d/Cx*)(A) + U2f(.x*)(.h) + ■■■ + —dmf(.x*)(.h) + Rm(x), 2 ml kde /?„ Cil = (m + 1)! Ä«W = , * ,x.dm+'/(-t* + *A)(A), ů e (0,1) je zbytek v Taylorově vzorci a je k-tý diferenciál funkce f v bodě x*. 5.2 Taylorova věta 63 Cvičení 5.1. Využitím uvedené substituce najděte všechny funkce splňující danou rovnost: a) yzx — xzy = 0, u = x, v = s/x2 + y2, b) xzx + yzy = 0, u = x, v = £ , c) wA -(- í/y -(- í/z — 0, £ = x + y - 2z, n = x - 2y + z, X = z. 5.2. Diferenciální rovnice transformujte do nových proměnných u, v. V případech, kdy po transformaci vyjde jednoduchý výsledek, se pokuste najít jejich řešení: a) Zxx ~ yiyy - \Zy = 0, U = x - 2^/ý, v = x + b) y2zxx 4- x2zyy - 2xyzxy - xzx - yzy = 0, w = y/x2 + y2, v = xy, c) x2zxx - (x2 + y2)zxy + y2zyy = 0, u=x + y,v = \ + y-, d) zxx - 2zxy + zyy = 0, w — x -\- y, v — > e) xyzxx - (x2 + y2)zxy + xyzyy + yzx + xzy = 0, u = ~(x2 + y2), v = xy, f) *Z*J«: - yZyy =0, M — \/x + y/y, V = yfx - Jy, g) xzxx + yzxy -\-zx=0, u = x + y, v = -^, h) x7zxx - 2xyzxy + y2Zyy + xix + yzy = 0, u = xy, v = y, i) x2zxx - y2zyy = 0, u = xy, v = \ . 5.3. Ukažte, že daná transformace do nových proměnných nemění tvar rovnice Zxx + Zyy = 0, x = R nabývá v bodě x * e R" lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí ď(x*) bodu x* takové, že pro každé * e ď(x*) platí /(.v) ú f (x*) (f (x) ž f (x*)). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální minima a maxima budeme používat společný termín (ostré) lokálni extrémy. Příklad 6.2. i) Funkce f (x, y) = J x2 -f y2 má v bodě [x, y] — [0, OJ ostré lokálni minimum, neboť / (O, 0) = 0 a pro každé [x, y] ^ [0, 0] je f (x, y) > 0. (Grafem funkce je kuželová plocha, viz obr. P. 12.) 6.1 Lokální extrémy 65 ii) Funkce /: R2 ->■ R definovaná předpisem x1 + y2, pro [x, y] ŕ [0, 0], 1. pro [x, y] = ro, 01, má v bodě [0, 0] ostré lokální maximum, neboť pro [x, y] ^ [0, 0] dostatečně blízko počátku platí f(x,y) < /(0, 0) = 1. Uvedené příklady ilustrují skutečnost, že pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě funkce nemusí mít v tomto bodě parciální derivace, nemusí zde být dokonce ani spojitá. V následujícím textu odvodíme nutné a postačující podmínky pro existenci lokálního extrému v případě, že funkce, má v daném bodě parciální derivace. Podobně jako u funkce jedné proměnné je nutná podmínka formulována pomocí stacionárního bodu a postačující podmínka pomocí parciálních derivací 2. řádu. Definice 6.3. Nechť /: M" —> 1K. Řekneme, že bod x* e R" je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x* existují všechny parciální derivace funkce / a platí Následující věta, která prezentuje nutnou podmínku existence lokálního extrému, bývá v některé literatuře citována jako Fermatova věta1. Věta 6.4. Nechť funkce. /: K" ->• R má v hodě x* € W lokální extrém. Pak všechny parciální derivace funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule. Důkaz- Předpokládejme, žc některá z parciálních derivací funkce / v bodě x* je nenulová, tj. platí fM (x*) 0. To vzhledem k definici parciální derivace znamená, že funkce (/)(/) — /(je*+ŕeŕ), kdee, = (0.....0,1, 0,____0), jednička je na i-těm místě, má nenulovou derivaci v bodě t = 0, a tedy zde nemůže mít lokální extrém. To však znamená, že ani funkce / nemůže mít v bodě x* lokální extrém. □ Poznámka 6.5. Funkce /: Rn -> R může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Zdůrazněme, že stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému, jak ukazuje následující obrázek. Zde je znázorněn graf funkce f(x,y) = f(xu, yu) + + (x — xo)(y — yo)i která má stacionární bod [x0, y0], avšak v tomto bodě nemá lokální extrém (takový bod se nazývá sedlo ). 'Pierre de Fermat (1601-1665), francouzský matematik. — (x*) =0, í = 1, ..., n. r) X: (6.1) 66 Lokální a absolutní extrémy Z f(xQ, yo) / X V následující větě odvodíme postačující podmínku, aby funkce měla ve stacionárním bodě lokální extrém. Připomeňme situaci pro funkci jedné proměnné g: R ->■ R. Nechť r0 e R je stacionární bod této funkce. O tom, zda v tomto bodě je, nebo není extrém, rozhodneme podle hodnot vyšších derivací funkce g v f0. Speciálně je-li g"(to) > 0 (< 0), má funkce g v bodě to ostré lokální minimum (maximum). Toto tvrzení se dokáže pomocí Taylorova rozvoje funkce g v f0. Platí kde $ je číslo ležící mezi t a t0. Je-li nyní funkce g" spojitá, pak g"(tQ) > 0 (g"(to) < 0) implikuje #"(£) > 0 < 0) pro £ dostatečně blízká to, pak *"(£)(' - to)2 > 0 - ř0)2 < 0), a tedy g(t) > g(t0) (g(t) < g(t0)) pro ř dostatečně blízko to, tj. funkce g nabývá v /0 ostrého lokálního minima (maxima). Analogicky postupujeme u funkcí více proměnných. Zformulujme nejprve postačující podmínku pro existenci lokálního extrému pro funkci dvou proměnných. Věta 6.6. Nechť funkce f: R2 —»• R má v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [xo, yo] je její stacionární bod. Jestliže D(x0, yo) = fxx(xo, yo)fyy(xo, yo) - [fxy(xo, y0)]2 > 0, (6.2) 6.1 Lokální extrémy 67 pak má funkce f v [xo, yo] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(xo, Vo) > O, jde o minimum, je-li fxx(xQ, yo) < O, jde o maximum. Jestliže D(xq, yo) < O, pak v bodě [xq, yo] lokální extrém nenastává. Důkaz- Nechť D(xq, yo) ^ 0. Ze spojitosti parciálních derivací 2. řádu funkce / plyne spojitost funkce D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)]2 a funkce fxx v bodě [xo, yo]. Odtud plyne, že pro [x, y] dostatečně blízká bodu [x0, yo] platí sgn D(x, y) = sgn D(x0, yo), sgn fxx(x, y) = sgn fxx(x0, y0). Taylorův vzorec pro n = 1 se středem Lxo, yo] dává 1 2 /U, y) = /(-xo, yo) + ^[/^í0!' c2>(^ - *o) + + 2fxy(c\, c2)(x - x0)(y - y0) + fyy(c\, c2)(y - y0)2L (6.3) kde [c], c2] leží na úsečce spojující [xo, yo] a [x, y]. Označme A = fxx{cx,cz),B = fxy{ci,c2),C = fyy{cuc2), A = x - x0, k = y — y0 a uvažujme kvadratický polynom dvou proměnných P(h, k) = Ah2 + 2Bhk + C/t2. Pak vztah (6.3) můžeme psát ve tvaru fix, y) = /(xo, yo) + l-Pih,k). (6.4) Vyšetřeme nyní znaménko polynomu P(h, k). Uvažujme dva případy. 1. D(xq, yo) > 0. Pro k = 0 je P(h, 0) = Ah2, přičemž A ^ 0 (plyne ze vztahu - B2 > 0). Proto P (A, 0) > 0 pro A > 0, P(A, 0) < 0 pro A < 0. ProÁ; ^01zeP(A,Ä:) psát vc tvaru P (A, £) = /t2[A(|)2+2s£ + C]. Označme 0(0 = At2 + 2Bt + C, kde ř = 7 . k Jelikož AC — fi2 > 0, tj. Q má záporný diskriminant, je pro A > 0 polynom 2(ř) > 0 pro všechna t € IR a odtud P (A, fc) > 0 pro všechna A, k € R. Podobně v případě A < 0 je P (A, £) < 0. To podle (6.4) znamená, že pro A > 0 má funkce / v lx0, yoJ ostré lokální minimum a pro /l < 0 ostré lokální maximum. 68 Lokální a absolutní extrémy II. D(xq, yo) < O, tj. diskriminant polynomu Q{t) je kladný. To znamená, že existují t\,t2 e R taková, že Q(t{) > 0 a Q(t2) < 0. Položme [h\,k\] = = [at\, a], [h2, k2] = [at2, a], kde a ^ 0. Pak P{huh) = a2G(r,), P(A2, *2) = a2Q(t2), tj. protni, yi] = [xQ+h\, y0+k[],[x2, yi] = U'o+'t2, yo+^'2] platíyi) > > /(*o> yo), /O2, y2) < /(*o> yo)- Protože a 0 bylo libovolné, tj. [jci, yj, [*2> ^2] mohou být libovolně blízko [xo, yo], v tomto bodě extrém nenastává. □ Příklad 6.7. Určete lokální extrémy funkce z = x3 + y3 — 3xy. Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x, y, a proto jsou její parciální derivace spojité v celém R2. Lokální extrémy proto mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic zx = 3x2 - 3 y = 0, zy = 3y2 - 3x = 0. Z první rovnice plyne y = x2 a dosazením do druhé rovnice dostáváme x4 - x = x(x - l)(x2 + x + 1) = 0, odtudxj = 0, x2 = 1 (kvadratický trojčlenx2+x + l má záporný diskriminant, aje proto vždy kladný). Existují tedy dva stacionární body Pi = [0, 0], P2 = [1, 1]. Dále platí zxx — 6x, zvl, = 6y, z.ry = -3. Odtud dostáváme D(x, y) = 36xy - 9, tj. D(P0 = -9 < 0, D(P2) = 36 - 9 = 27 > 0. Podle věty 6.6 v bodě P\ extrém nenastává a v bodě P2 nastává ostré lokální minimum, neboť zxx (P\) = 6 > 0. ▲ Poznámka 6.8. V případě, že ve stacionárním bodě |xo, yo] platí D(xo, yo) = 0, o existenci extrému v tomto bodě nelze na základě druhých derivací rozhodnout. Pro funkce jedné proměnné máme k dispozici tvrzení, které říká, že funkce / má ve stacionárním bodě xq, v němž f"(x0) — 0, lokální extrém nebo inflexní bod podle toho, je-li první nenulová derivace v xo sudého, nebo lichého řádu. U funkcí více proměnných není však aparát vyšších derivací v praktických případech příliš vhodný. V některých příkladech lze o existenci lokálního extrému rozhodnout vyšetřením lokálního chování funkce v okolí bodu [x0, yo], bez počítání druhých derivací. Tento postup je ilustrován na následujících dvou příkladech. 6.1 Lokální extrémy 69 Příklad 6.9. i) Určete lokální extrémy funkce f(x, y) — x 4 + y4 2xy - y2. Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic Zx = 4x* - 2x - 2y Odečtením rovnic dostáváme x3 0, zy = 4y3 - 2x - 2y = 0. (6.5) y3 — 0, odtud x — y a dosazením do jedné z rovnic v (6.5) dostáváme tři stacionární body P\ — [0, 0], Pr = fl, 1], = = 1-1,-1]. Dále D(x, y) = fxxfyy - [fxy]2 - (12x2 - 2)(12y2 - 2) - 4. Protože D(P2) = D(P3) = 96 > 0 a /„(l, 1) - fxx(-l, -1) = 10 > 0, má funkce / v obou těchto stacionárních bodech ostré lokální minimum. Ve stacionárním bodě P\ je však D(P\) = 0, proto o existenci extrému v tomto bodě nelze takto rozhodnout. Zde postupujeme následujícím způsobem: Funkci / můžeme upravit na tvar f(x, y) = x4 + y4 - (x + y)2. Odtud f(x, -x) = 2x4 > 0 pro x ^ 0. Na druhé straně /(x, 0) - x4 - x2 = x2(l - x2) < 0 pro x e (-1, 0) U U (0,1). V libovolném okolí bodu 10, 0] tedy funkce / nabývá jak kladných, tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že / (0, 0) = 0, znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává. ii) Určete lokální extrémy funkce z = f (x, y) = xy ln(x2 + y2). Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic zx = y ln(x* + y") + xy Zy—x ln(x2 + y") + xy 2x _ x2 + y2 y 2y xz + y2 = x ln(x2 + y2) + ln(x2 + y2) + 2x^ x2 + y2 2/ x2 + y2 0, 0. Jsou možné čtyři případy: a) [x, y] = [0, 0], v tomto bodě však není funkce definována; b) x = 0, pak ln y2 = 0, tj. y = ±1, označme Ph2 = [0, ±1]; c) y = 0, lnx2 — 0 , tj. x — ±1, označme P34 = [±1,0]; d) „2 ln(x2 + y2) + 2x^ x2 + y2 = 0, ln(x2 + y2) + 2yz = 0, x* + y' odtud x2 = y2. Soustavě rovnic vyhovuje čtveřice bodů P$-g — \±.-j=, O tom, v kterém z těchto stacionárních bodů nastává extrém, rozhodneme vyšetřením znaménka funkce /. Funkce / nabývá nulové hodnoty na souřadných 70 Lokální a absolutní extrémy osách (v počátku má limitu rovnu 0 — viz příklad 2.10 v)) a v bodech kružnice x2 + y2 = 1. Uvnitř jednotkové kružnice je funkce v I. a III. kvadrantu záporná, ve II. a IV. je kladná. Vně jednotkové knižnice je tomu naopak (načrtněte si obrázek). Odtud je zřejmé, že v bodech P\i2 — [0, ±1], 7*3,4 = [±1, 0] extrém nenastává, neboť funkční hodnota je zde nulová a v libovolném okolí tohoto bodu nabývá funkce jak kladných, tak záporných hodnot. Dále je vidět, že v bodě [-^=, (ležícím uvnitř jednotkové kružnice) je lokální minimum, neboť na hranici množiny, která je tvořena souřadnými osami a jednotkovou kružnicí a kde leží tento bod, je funkce nulová a uvnitř této množiny je funkce / záporná. Pak nutně v jediném stacionárním bodě uvnitř této množiny musí být lokální minimum. Stejnou úvahou zjistíme, že lokální minimum je i v bodě [—-j^, d ve zbývajících dvou bodech je lokální maximum. Graf funkce z = xy ln(x2 + y2) a její vrstevnice jsou znázorněny v příloze, viz P.13. Na tomto znázornění je dobře vidět charakter jednotlivých stacionárních bodů. Poznámka 6.10. Je-li funkce / diferencovatelná v bodě [xo, yo] a /x(xq, yo) — — 0 = fy{xo, yo)> pak tečná rovina ke grafu funkce / v bodě [x0, y0] je vodorovná. Je-li výraz D(x0, yo) > 0 a fxx(xo, yo) > 0 (< 0), pak je v bodě [x0, yo] lokální minimum (maximum), tj. v okolí tohoto bodu leží graf funkce nad (pod) tečnou rovinou. Projdeme-li důkaz věty 6.6, snadno zjistíme, že i v případě, kdy [xq, yn] není stacionární bod, jsou podmínky D(xo, yo) > 0, fxx(x0, yo) > 0 (< 0) dostatečné pro to, aby graf funkce / v okolí bodu ležel nad (pod) tečnou rovinou v tomto bodě. Příklad 6.11. Rozhodněte, zda graf funkce f(x, y) = x3 -f y3 — 2xy leží v okolí bodu [1,1] nad, nebo pod tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Řešení. Přímým výpočtem určíme parciální derivace funkce / v bodě [1, 1]: fx = 1, fy = 1, fxx — 6, fxy = -2, fyy = 6. Podle (4.6) má tečná rovina ke grafu funkce v bodě [1,1] rovnici z = x + y — 2. Vzhledem k tomu, že D{\, 1) = 34 - 4 = 32 > 0, leží podle předchozí poznámky graf funkce v okolí bodu [1,1] nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. A Pro funkce tří a více proměnných je situace podobná jako pro dvě proměnné. O existenci extrému ve stacionárním bodě „rozhoduje" kvadratický polynom n proměnných v Taylorově rozvoji. Pouze rozhodnout, kdy tento polynom nemění své znaménko, je poněkud složitější. K tomu připomeňme nejprve některé pojmy z lineární algebry. 6.1 Lokální extrémy 71 Definice 6.12. NechťA = (a-,j),i, j = \..., n je symetrická matice, h e R".Řekneme, n že kvadratická forma P(h) = (Ah,h) — aijhihj určená maticí A je pozitivně '•.7 = 1 f negativně) semidefinitní, jestliže Pih) ^ 0> ú 0) pru každé řiel", (6.6) Jestliže v (6.6) nastane rovnost pouze pro h — 0, řekneme, že forma P je pozitivně (negativně) definitní. Jestliže existují h, h e R" taková, že P(h) < 0 a P(h) > 0, řekneme, že kvadratická forma P je indefinitní. Často místo o definitnosti, resp. indefinitnosti kvadratické formy P mluvíme o definitnosti, resp. indefinitnosti matice A. V následujících úvahách pro funkci f: W —>- R symbolem /' značíme n-rozměrný vektor, jehož komponenty jsou parciální derivace |p, a symbol /" značí n x n matici, jejíž prvky jsou parciální derivace 2. řádu funkce /, tj. if")ij = axJXj. 7 — 1,..., «■ Věta 6.13. Nechť x* e R" y'é stacionární bod funkce f a předpokládejme, že f má v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu. Položme A = (ai;) = = f"(x*),tj.atJ=fXiXj{x*). i) Je-li kvadratická forma P{h) = (Ah,h) pozitivně (negativně) definitní, má funkce f v bodě x* ojřre lokální minimum (maximum). ii) kvadratická forma P indefinitní, v bodě x* extrém nenastává. iii) Má-li funkce f v bodě x* lokální minimum (maximum), je kvadratická forma P pozitivně (negativně) semidefinitní. Důkaz. Vzhledem k tomu, že důkaz prvních dvou tvrzení je zcela stejný jako pro dvě proměnné, dokážeme pouze tvrzení iii). Předpokládejme, že funkce / má v x* např. lokální minimum a kvadratická forma P není pozitivně semidefinitní, tj. existuje h e R" takové, že P(h) < 0. Protože pro pevné h € R" je kvadratická forma P spojitou funkcí koeficientů této formy a\j, existuje £ > 0 takové, že je-li \aij — bij\ < e, i, j = 1,... ,n a B = (bij), platí (Bh, h) < 0. To vzhledem ke spojitosti derivací druhého řádu funkce / znamená, že {f"(x)h, h) < 0, jc-li x dostatečně blízko x*, tj. pro x splňující x 6 ^(x*), kde 8 > 0 je vhodné reálné číslo. Nyní nechť [a„] je libovolná posloupnost kladných reálných čísel konvergujících k nule a položme xn — x* + anh. Pak xn —> x*, tedy pro dostatečně velká n je x„ e ffs(x*) a z Taylorova vzorce pro n = 1 dostáváme fixn) - fix*) = (f'(x*), 0, y > 0, z. > 0. Řešení. Nejprve určíme stacionární body, tj. derivujeme a řešíme soustavu rovnic = 0 = 0 7y3 - 2xz2 = 0, = 1 - y1 4x2 u'y _ y_ 2x z2 y2 1 _ 2z 2 uz y 4x2 - y2 = 0, y =0. Z první rovnice plyne y = ± 2x, a protože hledáme pouze kladné řešení, uvažujeme pouze případ y = 2x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 2x(4x2 — z2) = 0, odtud z = 2x (případ z = — 2x opět neuvažujeme). Dosazením do třetí rovnice obdržíme 8x3 — 2x — 0 6.2 Absolutní extrémy 73 a tato rovnice má kladné řešení x = \, tedy na množině x > 0, y > 0, z > 0 má soustava rovnic jediné řešení B = [j, 1, 1]. Vypočteme druhé derivace y2 _J_ŕ^! -1 í. Uxx ~ 2x*' "yy ~ 2x + y3 • M« " y + j • _ 2jc2 ' Uxz ~~ Uyz ~ y2 a v bodě B = [|, 1, 1] : ií^r = 4, Myy = 3, u7Z = 6, = 2, = 0, uyz = —2. Dále použijeme větu 6.13. Pro bod B = [j, 1, l] je d2w = 4(dx)2 + 3(dy)2 + 6{ázf + 2 dxdy - 2 dydz. Tato forma je pozitivně definitní, neboť matice této formy je a její všechny tři hlavní minory jsou kladné, jak zjistíme snadným výpočtem. Celkově má daná funkce u v prvním oktantu jediný lokální extrém v bodě B = \\, 1, 1], kde nastává ostré lokální minimum. ▲ 6.2. Absolutní extrémy Definice 6.17. Nechť /: R" ->- R, M C ®{f). Řekneme, že bod x* e M je bodem absolutního minima (maxima) funkce / na M, jestliže f (x*) ^ f(x) (/(**) ^ f(x)) pro každé x e M. Jsou-li nerovnosti pro x 7^ x* ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech. Místo termínu absolutní extrém se často používá pojem globální extrém. Připomeňme, že spojitá funkce jedné proměnné na uzavřeném a ohraničeném intervalu nabývá své nej větší a nejmenší hodnoty buď v bodě lokálního extrému ležícím uvnitř intervalu, nebo v jednom z krajních bodů. Pro funkce více proměnných je situace podobná. Věta 6.18. Nechť M C M" je kompaktní množina (tj. uzavřená a ohraničená) a funkce f: M —* R je spojitá na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů bud' v bodech lokálního extrému ležících uvnitř M, nebo v některém hraničním bodě. 74 Lokální a absolutní extrémy Důkaz- Tvrzení o existenci absolutních extrémů plyne ihned z Weierstrassovy věty (věta 2.25). Zbývající tvrzení jc triviální, neboť jestliže bod absolutního extrému není hraničním bodem (tj. je vnitřním bodem M), musí být i lokálním extrémem. □ Předchozí věta dává praktický návod jak hledat absolutní extrémy diferencovatelných funkcí (s takovými se v praktických situacích setkáváme nejčastěji) na kompaktních množinách. Najdeme stacionární body ležící uvnitř množiny a pak vyšetříme danou funkci na hranici množiny. Vyšetření funkce na hranici množiny M c K" je obecně poměrně složitý problém a pojednává o něm devátá kapitola. Pro funkce dvou proměnných je však situace poměrně jednoduchá. V tomto případě jsou velmi často hranice nebo její části tvořeny grafy funkcí jedné proměnné. Vyšetřit funkci na hranici pak znamená dosadit rovnici křivky, která tvoří část hranice, do funkce, jejíž extrémy hledáme, a vyšetřovat extrémy vzniklé funkce jedné proměnné. Tento postup je nejlépe srozumitelný na následujících příkladech. Příklad 6.19. i) Určete nejmenší a největší hodnotu funkce z = f(x, y) = xy—x2 — y2+x + y v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce y — \ v bodě [2, 2]. Řešení. Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce y — \- Platí y' = — ^, tj. rovnice tečny je y — 2 = — j{x — 2) = — x + 2. Tedy množinou M, na níž hledáme absolutní extrémy, je množina M = {[x, y] G M2 : x ^ 0, y ^ 0, y = 4 - x). Určíme stacionární body funkce z zx = y — 2x + 1 = 0, zy = x — 2y + 1 = 0, odkud dostáváme stacionární bod [x, y] = [1, 1] € M. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M, která se skládá z úseček I. y = 0, x e [0,4], II. x = 0, y e [0,4], III. y = 4 - x, x e [0,4]. I. y — 0, x € [0, 4]. Dosazením dostáváme u — f (x, 0) = —x2 + x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x e [0, 4]. Platí m'(x) ——2x+l =0, odtud x = ^.Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou u(^) — j, w(0) = 0, «(4) = 12. II. x = 0, y e [0, 4]. Dosazením dostáváme v = /(0, y) = — y2 + y a stejně jako v části I v(0) - 0, w(4) - -12, u(±) - \. 6.2 Absolutní extrémy 75 III. y = 4 - x, x £ [0, 4]. Dosazením dostáváme w = f(x,4 - x) — = x(4 - x) - x1 - (4 - y)2 + x: + 4 - x = -3x2 + I2x - 12. Platí ■w'(x) = -6x + 12 = 0, odtud x = 2, w(2) = 0. V krajních bodech u>(0) = -12, ut(4) = -12. Porovnáním funkčních hodnot funkce / na hranici (tj. hodnot funkcí u,v,w v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce / v jediném stacionárním bodě [1,1] vidíme, že Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce / na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [x, y] = [4, 0] se stýkají části hranice I a III, a tedy funkce m z I musí pro x = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce w z III v x ■= 4. V našem případě je u (4) = — 12 = v> (4). Podobně v bodě [0, 0] se stýkají části I a II a v bodě [0, 41 části II a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť «(0) = 0 = u(0) a w(0) = u(4) — —12. Doporučujeme čtenáři tuto kontrolu vždy provést, neboť značně minimalizuje možnost šíření numerické chyby ve výpočtu. Á ii) Určete nejmenší a největší hodnotu funkce z = (2x2+3y2)e x y namnožině M = {[x, y] e R2 : x2 + y2 ^ 4}. Řešení. Nejprve určíme stacionární body ležící uvnitř množiny M, kterou je kruh o poloměru 2. Vypočteme parciální derivace Zx = 4xe~x2-y2 - 2x(2x2 + 3y2)c^2-y2 = -2*e-*2-y2 [2x2 + 3y2 - 2], Zy = 6yerx2-y7 - 2y(2xz + 3y2)e~x2-y2 = -2yt~x2~yl [2x2 + 3y2 - 3] /min = -12 pro [x, y] = [0, 4] a [x, y] = [4, 0], /max = 1 pro [x, y] = [1, 1]. a položíme je rovny nule: xe~x2-y2 [2x2 + 3y2 ye-*2-y2 [2X2 + 3y2 - 2] - 0, - 3] = 0. Odtud dostá vámc 4 možnosti: A) x = 0 = y =» /(0, 0) - 0. B) x = 0, 3y2 = 3 ==?■ y = ±1, /(0, ±1) = 3c"1. 76 Lokální a absolutní extrémy C) y = O, 2x2 = 2 =9- x = ±1, f(±l, 0) = 2e_1. D) 2x2 + 3y2 - 2 = O a 2x2 + 3y2 - 3 = O — tento systém nemá řešení. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M. Tu si rozdělíme na dvě části, horní a dolní půlkružnici. I. y = JÄ^x2, x e 1-2, 2J. w = /(*, s/Ä^x2) = (2x2-\-3(4-x2))e~4 = = (12—x2)q~a. Najdeme nej větší anejmenší hodnotu funkce u na intervalu [—2, 2]. Těchto extremálních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu [—2, 2], nebo v některém z krajních bodů x — ±2. Platí u1 = -2xe"4 = 0 x = 0. Odtud «(0) = e-4, u(±2) = 8e~4. II. y = — a/4 — x1, x e [—2, 2]. Zde je situace zcela stejná jako pro I, neboť f(x,-y) = f(x,y). Porovnáním všech vypočtených hodnot vidíme, že /max = 3e~1, pro [x, y] = [0, ±1], /min = 0, Wo[x,y] = [0,0]. Graf vyšetřované funkce je znázorněn v příloze, příklad P.14; zde lze ověřit, že všechny stacionární body leží uvnitř kruhu M. k iii) Je dán drát délky /, tento drát je rozdělen na tři části. Z jedné je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze zbylé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby plocha omezená tčmito obrazci byla minimální, resp. maximální. Řešení. Označíme-li x délku strany čtverce, y poloměr kruhu a z délku strany trojúhelníka, platí 4x + 2ny + 3z = l, odtud z — '-4x~27íy. Pro součet obsahů čtverce, kruhu a trojúhelníka platí a/3 1 P = x2 + Tty2 + —z2 = x2 + Tty2 +--(/ - 4x - 2txy)2 4 12a/3 a hledáme absolutní extrémy této funkce na množině M — {[x, y] : x, y ^ 0, 4x + 2izy ^ /,}. Nejprve vypočteme parciální derivace a stacionární body: 8 4jt Px - 2x--—(/-4x-27ty) =0, Py = 2iiy--—(l-4x-2ity) = 0. 12v3 12a/3 Odtud _ / _ / X_4+tc + 3a/3" 'V ~ 8 + 2ti + 6a/3 6.2 Absolutní extrémy 77 a funkční hodnota v tomto stacionárním bodě je l2 P(x,y) = 4(4 + Tt + 3V3) ' Nyní vyšetřeme funkci P na hranici množiny M. I. y = 0, x € [0, |], označme = P(x, 0) = x2 + ^(Z - 4x)2. Pak = li?!' = = 2* - Ti^ - 4*) = °- ti- ' = ^> Pto = 4l4+lv5)- TT. x = 0, y e [0, ±], označme ý(y) = P(0, y) = ttj,2 + ^(Z - 27tý)2. Platí *(0) = = £,fW = 2ny-^(Z-2Ky) =0 =► III. y = x e [0, £], označme o>(x) = = x2 + - 4x)2. i 4+7t ' ťw(0) = £, tw(9 = «'(*) = 2x - lil-Ax) = 0 => * = ' ťu(jc) = 4(4+7T)' Porovnáním všech vypočtených hodnot zjistíme, že největší obsah dostaneme, jestliže celý drát stočíme do kružnice, tj. Z2 Pmax = — pro [x,y\ = 4n Z 0, — 2k a nejmenší obsah P^ = P(x,y) = 4(4+^+3^ > jestliže jej rozdělíme takto: 4Z čast na čtverec 4x =-— , 4 + ti + 3V3 TtZ část na kruh 2kj — část na trojúhelník 3z = 4 + TX + 3\/3 3V3Z 4+ Jt + 3^/3 Na závěr této kapitoly si ještě ukažme metodu, jak lze řešit úlohy na absolutní extrémy v některých speciálních případech, např. umíme-li sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, kde tyto extrémy hledáme, je „dostatečně jednoduchá". Celý postup je nejlépe srozumitelný na příkladech. 78 Lokálni a absolutní extrémy Příklad 6.20. i) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f (x, y) — x2-na množině M: x2 + y2 ^ 1. -4x4-y2-4y+ 10 Řešeni Platí/(x, y) = (x — 2)2 4- (y — 2)2 + 2. Protože konstanta 2 nemá vliv na to, v kterém bodě nastává absolutní minimum a maximum (má vliv pouze na hodnotu těchto extrémů), stačí najít absolutní extrémy funkce g(x, y) — — (x — 2)2 + (y — 2)2. Tato funkce však udává druhou mocninu vzdálenosti bodu [x, y] od bodu [2, 2]. Úlohu proto můžeme přeformulovat takto: V jednotkovém kruhu najděte bod, který je nejblíže a nejdále od bodu [2, 2]. Geometricky je nyní řešení úlohy zřejmé. Sestrojíme přímku y = x spojující počátek s bodem [2, 2]. Průsečíky teto přímky s kružnicí x2 + y2 = 1 jsou řešením naší úlohy, tj. 2x2 = 1, odkud x = ±-j=. Minimum nastává v bodě [ J=, J=] a maximum v bodě [— — a extremální hodnoty jsou /min — = 11— 4\/2, /max = 11+ 4\/2. Všimněme si také, že průsečíky přímky y = x s jednotkovou kružnicí jsou body, kde jednotková kružnice a vrstevnice funkce / — soustředné knižnice se středem [2, 2] — mají společnou tečnu. y na množině ii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) — x M: x2 + y2 ^ 1. Řešení. Vrstevnice funkce / jsou přímky načrtnuté na vedlejším obrázku. Nutnou podmínkou (a zde i dostatečnou) pro to, aby hodnota c e E byla hodnotou absolutního maxima, resp. minima funkce / je, že přímka x — y — c je tečnou ke knižnici x2 + y2 = 1. Vskutku, pokud přímka x — y = c kružnici protne, znamená to, že pro č dostatečně blízká c protne kružnici i přímka x — y = c. To však znamená, že funkce x — y nabývá na M hodnot jak větších než c (pro č > c), tak menších než c (pro č < c). Jestliže přímka x — y = c kružnici vůbec neprotne, znamená to, žc tyto body neleží v M, a tedy nepřipadají v úvahu. Zbývá tedy pouze možnost, že přímka x — y = c je tečnou. Z obrázku je nyní zřejmé, že maximum nastane v bodě — ^=], jeho hodnota je -s/2, a minimum je v bodě [ — -^=], jeho hodnota je —*/2. 6.2 Absolutní extrémy 79 iii) Najděte nejmenší a nej větší hodnotu funkce / (x, y) = xy na množině tvaru M: \x\ + \y\ ú 1. t y Řešení. Množina M a vrstevnice funkce / jsou načrtnuty na vedlejším obrázku (' tevnicemi jsou grafy funkcí xy = c, tj. r noosé hyperboly y = Stejnou úval jako v předchozím příkladu zjistíme, funkce nabývá absolutního maxima /ma3 = i v bodech [±i, ±i] a absolutního nima /min = -\ v bodech [±±, ^\\ Cvičení 6.1. Najděte lokální extrémy funkcí: a) z — x2 + y2 - xy - 2x + y, f) z b) z = xy(4 -x - y), g) z c) z = 4(x - y) - x2 - y2, h) u d) z = xy + f + f , i) m e) z = x2 + xy + y2 - ln x - j) z — lny, k) u 1) u = x\x\.....x"(l — x\ — 2x2 — • • • — nxn), x\, x\,..., x„ > 0, m) u=xl +%+ * + + + £,xl,...,xll>0. 6.2. Udejte příklad funkce /: R2 —> E2 splňující uvedené podmínky: a) fx(l, 1) = 0 = fy(l, 1), ale v bodě [1,1] nenastáva lokálni extrém; b) / má v bodě [0, 1] ostré lokálni minimum a v bodě [1,0] ostré lokálni maximum; c) / má v bodě [—1,0] ostré lokálni minimum, v bodě [0, 0] sedlo a v bodě [1,0] ostré lokálni maximum. 6.3. Pomocí vrstevnic funkce / určete její nejmenší a největší hodnotu na množině M: a) f(x,y)=x + y,M: |x| £ 1, |y| ^ 1, b) f(x, y) =x2 -2x + y2 - 2y + 3, M: x ^ 0, y ^ 0, x + y ^ 1, c) f(x,y) = \x\ + \y\,M: (x - l)2 4- (y - l)2 g 1, d) /(x, y, z) =x + y + z, M: x2 4-y2 < 1,0 < z < 1, e) /(x, y, z) =x2 + y2,M: x2 + y2 + z2 ^ 1. /rs-ov-ttou že c mi-▲ — x — 2y + ln y/x2 + y2 4- 3 arctg £ = y a/1 4- x 4- Xa/1 4- y, = x3 4- y2 + z2 + 12xy 4-2z, = x 4- £ 4- y 4- f, x, y, z > 0, = x2 4- xy 4- y2 4- ^ 4- , x y — xyz(12 — x — 2y — 3z), 80 Lokální a absolutní extrémy 6.4. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce / na množině M: a) f{x, y) = x1 + 2xy + 2y2 — 3x — 5y, M je trojúhelník určený body A = [0, 2], B = [3,0], C = [0,-1], b) f (x,y) = x2 + y2 + 3xy + 2, M je omezená grafy funkcí y = |x|ay — 2, c) /(x, y) = x2+y2 —xy—x—y, M je trojúhelník určený body A — 1—1,0], 5 = íl, 21, C = [3,0], d) f (x, y) = x2 + y2 — xy — 2, M = {[x, y] : x2 + y2 < 1, y ^ |x| - 1}, e) f (x, y) = 2x2 + 4y2 na M = {[x, y] : x2 + y2 ^ 9], f) f (x, y) = x2 + y2 - 2x + 2y + 2 na M = {\x, y] : x2 + y2 ^ 1}. 6.5. Určete absolutní extrémy funkce / na množině M: a) /(x, y) = sin x sin y sinfx + y), M: 0 ^ x, y < Tt, b) f(x,y) =x2 -xy + y2,M: \x\ + \y\ < 1, c) f(x,y,z)=x+2y + 3z,M: x2 + y2 ú z ^ 1, d) /(x,.....x„) = M: a M2 je dáno předpisem [x,y]^[f(x,y),g(x,y)]. Pak řekneme, že zobrazení F je určeno funkcemi f,g, tyto funkce nazýváme složky nebo také souřadnicové funkce zobrazení F a píšeme F = [f, g]. Příklad 7.2. Vypište složky zobrazení pro stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic, otočení o úhel

■ [x cos (p — y sin (p, x sin

0 takové, že u = ax, v — ay. Z podmínky na vzdálenost bodů [x, y] a [u, v] od počátku dostáváme y/x1 + y2\/u2 + v2 = o((x2 + y2) = 1, odtud a = (x2 + y2)-1. Toto zobrazení je proto tvaru F ľ x y [x, y] i—, . lxz + yz x2 + y^J ▲ Příklad 7.3. Zobrazení množiny komplexních čísel do sebe lze chápat také jako zobrazení z R2 do R2. Například zobrazení, které komplexnímu číslu z = x + iy priradí jeho druhou mocninu z2, definuje zobrazení [x,y]^> [x2-y2,2xy], neboťz2 = (x + iy)2 = x2 — y2 + 2ixy. Dennice 7.4. Řekneme, že zobrazení F = [/, g] z R2 do R2 je spojité v budě [xo, yo], jsou-li funkce /, g spojité v [xo, yo]- Řekneme, že F je diferencovatelné v bodě [xo, yo], jestliže každá z funkcí /, g je diferencovatelná v bodě [xo, yo]. Zobrazení d F (xo, yo): M2 —>■ M2 dané předpisem [h, k] Ä [d/(x0, yo)(h, k), dg(x0yo)(h, k)] = = [fx(xo. yo)h + fy(xo. yo)k, gx(xo, yo)h + gy(xo, yo)k\ nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě [xo, yo] a značíme dŕ"(xo, yo) Podle této definice je tedy diferenciál zobrazení F lineárnízobrazení z R2 do R2. Protože z lineárni algebry vime, že každé lineárni zobrazení mezi konečně dimenzionálními prostory lze reprezentovat vhodnou maticí, dostáváme se k následující definici. 7.1 Zobrazení z K2 do K2 83 Definice 7.5. Nechť zobrazení ľ — [f, g] z R2 do R2 je diferencovatelné v bodě [xq, yo]- Matici typu 2x2 F'(xo,yo) = (fA(X0'yO\ M**'**) (7.1) nazýváme Jacobiho1 matice zobrazení F v bodě [xq, yn], determinant této matice nazýváme jacobián zobrazení F v bodě [xq, yo]. Nejprve odvodíme vzorec pro diferenciál složeného zobrazení. Je zcela analogický vztahu pro derivaci složené funkce jedné proměnné, stačí „zapomenout", že místo zobrazení mezi jednodimenzionálními prostory se jedná o vícerozměrná zobrazení. Věta 7.6. Nechť F = [f\, fi\ G = [g\.gi\ jsou zobrazení z R2 do R2. Pak pro Jacobiho matici složeného zobrazení H — F o G platí H'(x, y) = F'(u. v)G'(x, y), (7.2) kde [u, v] = G{x, y), tj. u = g\(x, y), v = g2(x, y). Pro jejich jacobiány dostáváme det//'(*, y) = detF'(M) u)detG'(*, y). Důkaz. Nechť/i], h2 jsou souřadnicové funkce zobrazení //, tj. h\(x, y) = f\(g\(x, y),g2(x, y)), h2(x, y) = f2(.g\(x, y), g2(x, y)). (7.3) Aplikací věty 5.1 dostáváme 3 3 3 3 9 —hi(x,y) = —Mu, v) —g\(x,y) + —Mu, v) —gi{x,y) (7.4) 8x du dx av ax a podle definice 7.5 F (u, v) — , G (x, y) = „ Vynásobíme-li tyto dvě matice, vidíme, že prvek nacházející se vlevo nahoře je právě roven ^~{x, y), kde h\ je dáno v (7.3). Stejným způsobem ověříme, že i ostatní prvky součinu matic F' ■ G' jsou totožné s výrazy pro prvky matice H získané pomocí (7.2), čímž je rovnost (7.2) dokázána. Vzorec pro jacobiány plyne z faktu, že determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů. □ V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné jsme vyšetřovali lokální vlastnosti funkce (tj. v okolí daného bodu) pomocí derivace funkce v tomto bodě (což je pro funkci jedné proměnné v podstatě ekvivalentní diferenciálu této funkce, neboťfunkce /: R -* R je v nějakém bodě diferencovatelná, právě když zde existuje konečná derivace /'). Podobně budeme postupovat v případě zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí. 'Carl Jacobi (1804-1851), německý matematik. 84 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Věta 7.7. Předpokládejme, že složky zobrazení F — [/, g]: M? —>■ R2 mají v bodě [xo, yo] spojité parciální derivace prvního řádu a Jacobiho matice F'(xo, yo) je regulárni, tj. det F'(xq, yo) ^ 0. Pak existuje okolíbodu [xo, yo]. v němž je zobrazení F prosté, a pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F~l v bodě [uq, vq] = F(xo, yo) platí (F-l)'(u0, vo) = [F'(x0, yo)]"' ■ (7.5) Důkaz- Tvrzení zde nebudeme dokazovat se všemi podrobnostmi (detailní důkaz je proveden v [Ri]). Zdůrazněme zde pouze hlavní myšlenku důkazu. Diferenciál dF(xo, yo) zobrazení F: R2 —>- R2 je nejlepší lineární aproximace F v okolí bodu [xq, yo] - Je-li zobrazení dF(xo, yo) prosté — to nastane, právě když je jeho matice F'(xq, yo) regulární — je v jistém okolí bodu [*o, yo] prosté i samo zobrazení F. Vztah (7.5) dokážeme takto: Z definice inverzního zobrazení je F~l(F(x,y)) = — [x, y]. Položme [u, v] — F(x, y). Zc vztahu pro Jacobiho matici složeného zobrazení plyne (F~l)'(u, v) F'(x, y) = E —jednotková matice (neboť Jacobiho matice identického zobrazení je jednotková matice) a odtud (F~])'(u, v) — [F'(x, y)]_1. □ Příklad 7.8. i) Rozhodněte, zda zobrazení F — [f, g]: K2 ->• E2 se souřadnicovými funkcemi f (x, y) — xy, g(x, y) — ^ je proste v okolí bodu [x, y] — [2, 1]. Pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě [u, v] — F(2. I). Důkaz- Jacobiho matice zobrazení F je F\x,y) = (^y\ f^y]) = (\ \8*(x,y) gy(x,y)J yy a pro bod [x, y] — [2, l] je det F'(2, 1) = —4, tedy F je prosté v jistém okolí bodu [2, 1]. Pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F"1 v bodě [2,2] = F(2, l) platí (F-')'(2,2) = [F'(2,1)]-1 = (| _fj -i ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F: R2 -> R2, které je složením kruhové inverze, jejíž řídicí kružnice je jednotková, a otočení o úhel § v kladném smyslu, přičemž nejprve se provádí kruhová inverze. Řešení. Kruhová inverze přiřadí bodu [x, y] bod [x2± 2» xi+y2 ] a otočení o úhel \ v kladném smyslu přiřadí bodu [x, y] bod [—y, x], viz příklad 7.2. Složené zobrazení tedy přiřadí bodu [x, y] bod [— xi* 1, Jacobiho matice tohoto zobrazení je F'(x, y) = l _fl_ ( x 1 _a_ 1 x \ 1 \ y~-x~ (xi+?)2/ 7.2 Zobrazení z R" do ľ 85 Poznámka 7.9. i) Jacobiho matici inverzního zobrazení v příkladu 7.8 i) můžeme vypočíst také přímo — prostřednictvím explicitního vyjádření inverzního zobrazení k F. Vypočteme-li z rovnic w — xy, v = í proměnné x a y pomocí u a v, dostáváme — /lľ X — ±\/uv, v = ±,/-, V v a vzhledem k tomu, že hledáme inverzní zobrazení v okolí bodu [2, 1]. bereme v obou rovnicích +. Pak fu-i^r \ í&x £'x\ nv« V* | (F ') (m,w) = I 8 1 = * ! Vir)' Dosadíme-li sem [u, n] = F'(2, 1) = [2, 2], dostáváme vskutku stejný výsledek jako v příkladu 7.8. ii) Ze skutečnosti, že det F'(xo, yo) = 0pro nějaké zobrazení F: E2 -» E2, ještě neplyne, že F «em' prosté v okolí bodu [xn, yo], tj. podmínka detF'(xo> yo) 7^= 0 je pouze dostatečná, nikoliv nutná pro to, aby zobrazení F bylo prosté v okolí bodu [xq, yo]. Například zobrazení F dané předpisem [x, y] [x3, y3] zobrazuje prostě R2 na R2, přestože det F'(0, 0) = 0. 7.2. Zobrazení z M" do Rm Pro zobrazení mezi prostory dimenzí vyšších než dvě je situace zcela analogická. Jsou-li n, m e N a /1_____fm : R" R, pak přiřazení [X],----X„] I-► [/l(xi----,X„)----,/mUl.....X„)| definuje zobrazení F: K" -» R"1. Funkce fi,..., fm se nazývají složky nebo souřadnicové funkce zobrazení F. Jsou-li všechny složky spojité v bodě x*, řekneme, že F je spojité v bodě x*. Jsou-li f\,..., fn diferencovatelné v bodě x* e R", řekneme, že zobrazení F jc diferencovatelné v bodě x*. Jeho diferenciál dF(x*) definujeme jako lineární zobrazení z R" do M'" dané předpisem H P* A = [Ai.....ň„] 1—► [d/i(x*)(/ť),...,d/m(x*)(fc)], kde d/i (x*),..., d/m(x*) jsou diferenciály souřadnicových funkcí v bodě x*, tj. dfk(x*)(h) = d/*(x*)(/u,. ..,/!„) = y; §^(x*)ä/. 1=1dXr 86 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Matice tohoto lineárního zobrazení (jc to matice typu m x n) F'(x*) = (7.6) se nazýva Jacobiho matice nebo také derivace zobrazení F a v prípade « = m se její determinant nazývá jacobián zobrazení F v bodě x*. V některé starší literatuře sejacobián značí -(x ) nebo -(x*). D(xi,...,x„) d(x\,...,xn) Věta 7.10. Nechť zobrazení G: R" Rm je diferencovatelnév boděx* e W a zobrazení F: Km —»■ y« diferencovatelné v bodě y* = G(x*). Pak složené zobrazení H — - F o G: W -> y'e diferencovatelné v bodě x* a platí H'(x*) = F'(y*)G'(x') = F'(G(x*))G'(x*). (7.7) 7c-// n = m a det G'(js*) ^ 0, existuje okolí bodu x*, v němž je zobrazení G prosté, tj. existuje zde inverznízobrazeníG~l a pro jeho Jacobiho matici v bodě y* = G{x*) platí (G-[)'{y*) = [G'(x*)]-1. (7.8) Poznamka7.il. Vzorce (7.7) a (7.8) pro Jacobiho matici složeného zobrazení a Jacobiho matici inverzního zobrazení jsou formálně zcela stejné jako vzorce pro derivaci složené a inverzní funkce jedné proměnné, zde však musíme dávat pozor na pořadí obou činitelů, neboťnásobení matic není komutativní operace. Matice F' je typu k x m, G' je typu m x n, násobení těchto matic je tedy možné pouze v pořadí uvedeném v (7.7) (tímto způsobem sc také pořadí činitelů nejlépe pamatuje). Příklad 7.12. i) Vypočtěte Jacobiho matici zobrazení F: R3 sférické souřadnice které bodu [x,y, z] přiřadí jeho [x,y,z] i Řešení. Podle (7.6) platí F'(x,y,z) = x1- + y1- + zz, aretg -, aretg x' + y2 + z2 x- + y2 + z2 y/x2 + y2 Ljxi + y2 + zi ~ aretg 1 ar & x ly arctSÍ dz i aretg l { A. arct„ \Z*2+y2 dz ^6 Z y/x2+y2+z2 y x2+y2 ■s/x2+y2+z2 x y/x2+y- +z* yi 0 yjx2+y2 \(.x2+y2+z2)s/x2+? a2+y2+^2)^/I2+F (*2+y2+z2) 7 7.2 Zobrazení z R" do R' 87 ii) Jak jsme již poznamenali v příkladu 7.3, zobrazení F: C -> C množiny komplexních čísel do sebe můžeme chápat jako zobrazení z K2 do R2, které komplexnímu číslu z — x + iy přiřadí číslo F (z) — f (x, y) + ig(x, y), kde /, g jsou reálne funkce dvou proměnných. Podobně jako v reálném oboru definujeme derivaci komplexní funkce F v čísle zo — xq + iyo vztahem _,, , ,. f (z) - f (zo) F (zo) = lim -, z~>zo z - zo přičemž limita komplexní funkce v tomto vztahu se chápe zcela analogicky jako v reálném oboru a znamená, že ke každému e > 0 existuje S > 0 takové, že pro všechna z splňující 0 < \z — zo\ < S platí - F (zo) zo < e. Dokažte toto tvrzení: Nechť funkce /, g jsou diferencovatelné v bodě [xo. yo]- Pak komplexní funkce F má v bodě zo = xo+iyo derivaci, právě když platí tzv. Cauchyovy--Riemannovy1 podmínky df dg df dg —(xo, yo) = t-(*o. yo), t~(xo< yo) = -t-(xo- yo)- dx dy dy ox Řešení. Označme F'(zo) = A + \B. Z diferencovatelnosti funkcí /, g v bodě [xo, yo] plyne 0 = lim —--F (zo) = z->zo z — zo f(x,y) + ig(x,y)-[f(x0,yo) + ig(xo,yo)] — hm -■--(A + iB) = (x,y)-r(xtí,yo) (X - Xo) + i(y - yo) ,. f(x, y) - f(x0,yo) - A(x - x0) + B(y - y0) = lim---h (j;..v)->(a:o.J'o) (X - Xo) + i(y ~ yo) .. 8(x,y) - g(xo,yo) ~ B(x-xo) - A(y - yo) +1 lim -= (x,y)-+(x0,yo) (x - xo) + i(y - yo) (fx(x0, yo) - A)(x - xo) + (fy(xo, yo) + B)(y - yo) — lim - =--h (x,y)-*(x0,yo) yj(x- Xq)2 \ (y ~ yo)2 4- i lim (8x(*o, yo) - B)(x - x0) + (gy(xo, yo) - A)(y - yo) (x.y)^íxa.yo) J (x - x0)2 + (y - yo)2 Odtud fx(x0, yo) = A = gy(x0, yo), fy(xo, yo) = -B = -gx(xo, yo). 'Augustin Louis Cauchy (1789-1857), francouzský matematik, Bernhard Riemann (1826 až 1866), německý matematik, oba jsou považováni za spolutvůrce modemf matematiky. 88 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 7.3. Diferenciální operátory matematické fyziky V odstavci 4.1 jsme uvedli, že ve fyzikální terminologii a také v některých odvětvích matematiky, např. v numerických metodách, se vektor parciálních derivací /' funkce / nazývá gradient funkce a značí se grad /. Zobrazení F: R3 K3 se ve fyzikální terminologii nazývá vektorové pole. Lze je chápat jako zobrazení, které bodu o souřadnicích [x, y, z] přiřadí vektor s počátečním bodem v počátku a koncovým bodem F{x, y, z) = [ Pix, y, z), Qix, y, z), R(x, y, z)], kde P, Q, R jsou souřadnicové funkce. Důležitými fyzikálními charakteristikami vektorových polí jsou tzv. divergence vektorového pole div F(x, z, y) = Px(x, y, z) + Qy(x, y, z) + Rz(x, y, z) a rotace vektorového pole rot Fix, z, y) = = [Ryix, y, z) - Qzix, y. z), Pzix, y, z) - RAx, y, z), Qxix, y. z) - Pyix, y, z)\ (tedy divergence je skalární veličina a rotace je vektorová veličina). Příklad 7.13. Vypočtěte divergenci a rotaci gravitačního pole vytvořené hmotným bodem o jednotkové hmotnosti umístěným v počátku souřadné soustavy. Řešení. Z fyziky je známo, že dva hmotné body o hmotnostech m\, m.2 se navzájem přitahují silou, jejíž velikost je \F\ = *m^., kde k = 6,67 • 10~11 Nm2/kg2 je Newtonova gravitační konstanta a d je vzdálenost bodů. Bod [x, y, z] s jednotkovou hmotností bude přitahován do počátku silou, jejíž směr je opačný než směr vektoru s počátkem v [0, 0, 0] a koncem v [x, y, z] a jejíž velikost |F| jc rovna ic(x2 + y2 + z2)"1. Tedy Fix, y, z) = —oi[x, y, z] a hodnotu skaláru a určíme z podmínky pro velikost F, tj. asjx1 + yz + z2 = kíx2 + y2 + z2)"1, a tedy a = k(x2 + y2 + z2H. Odtud Fix, y, z) = [Pix, y, z), Qix, y, z), Rix, y, z)] = k j^-^-, -^-j , kde r = Jx2 + y2 4- z2. Nyní vypočteme všechny parciální derivace funkcí P, Q, R potřebné k určení div F a rot F. 1 3x2\ ( 1 3y2\ / 1 3z2 odtud snadno ověříme, že pro [x,;, z] ^ [0, 0, 0] je div F = 0. Podobně vypočteme 3xy 3xz 3yz Py = Qx=K—f, PZ = Rx=k—, Qz = Ry — K'-^-, rs rJ r a tedy i rol F = 0. 7.3 Diferenciální operátory matematické fyziky 89 Manipulace s diferenciálními výrazy obsahujícími operátory rotace a divergence se podstatně usnadňuje zavedením tzv. Hamiltonova nabla operátoru V1. Tento symbol je formálně definován jako vektorový operátor předpisem \dx By dzj tj. jako operátor, který funkci /: R3 ->■ R přiřazuje vektorové pole '3/ 3/ ar , 9x 9.V dzj' Toto je alternativní označení pro vektorové pole /', které diferencovatelné funkci / přiřazuje její derivaci. Operátor V lze s výhodou použít i při formalizaci operátorů divergence a rotace. Uvažujme nejprve případ divergenčního operátoru. Formálně můžeme aplikaci operátoru divergence na pole F zapsat takto: lid 3 9 \ \ dP BQ dR dtv F = (V. F) = ((-.-.-),(/», G. i?)) = ^ + ^ + ^. (7.9) Podobně můžeme formalizovat operátor rotace rot pomocí vektorového součinu takto: '9/? ňQ 9P oR 9Q 8P' rot F = V x F = . 9y dz dz dx dx 9y Připomeňme, že vektorový součin u x v dvou vektorů u — (u\, wi, «3), v — (vy, V2, v3) je definován jako vektor kolmý na lineární prostor generovaný dvojicí vektorů u. v, orientovaný podle pravidla pravé ruky, o délce II" * v\\ = ||«|| • IMI sin9», kde

(t, ■ C předpisem z = rév K{.r,- R a F, G: K3 R3. 1. div(/F) = 0, £ > 0, s následující vlastností: K libovolnému x e (xo - á, x0 + á) existuje v intervalu (yo - s, y0 + e) právě jedno y takové, že F(x, y) — 0. Označme tuto hodnotu y — /(x). Pak o takto definované funkci f(x), x e (xn - 5, xn + Ô), říkáme, že je zadaná implicitně rovnicí F(x, y) — 0 v okolí bodu (xo, yo)- Jinými slovy, funkce y — f (x) je v okolí bodu [xo, yo] zadána implicitně1 rovnicí F(x, y) = 0, jestliže existuje S > 0 takové, že F(x, f (x)) — 0 pro x ě (jfo — 0 jsou reálná čísla, jejichž přesnou hodnotu určíme později, a označme I = [xo — b, xo + 8]. Uvažujme prostor funkcí P = {g e C(I) : g(x0) = y0, \g(x) - y0| = e pro x e /}. To znamená, že P je prostor spojitých funkcí na / Jejichž grafy procházejí bodem [x0, yo] a leží v 8-e obdélníku kolem bodu [x0. yo]. Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence p(/, g) = max \ f(x) — g(x)\. Označme d = Fy(xo, yo) ^ 0 x€l a definujme na P zobrazení T: P ->• C(I) předpisem »W Ä ,M ~ Najdeme-li pevný bod / e P zobrazení T, je tento bod hledanou implicitně zadanou funkcí /. Vskutku, je-li f(x) = T(f)(x) = f{x) - d~lF(x, f(x)), je d~lF(x, f{x)) = 0 pro x e /, což podle definice 8.1. znamená, že funkce / je implicitně zadána rovností F(x, y) = 0. 8.1 Implicitne zadaná funkce jedné proměnné 95 Určíme nyní konstanty á a e tak, aby zobrazení T bylo kontrakcí a zobrazovalo prostor P do sebe (což jsou spolu s úplností prostoru P předpoklady Banachovy věty). Nechť /, g 6 P. Využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkci ľ dostáváme \T(f)(x)-T(g)(x)\ = maxI/W-íT'FOt, /(x)) - g(x) + d~x F (x, g{x))\ = /(x) - g(x) - \f(x)-g(x)\ Fy(x,í;)(f(x)-g(x)) d kde £ = £(x) leží mezi f(x) a g(x). Protože funkce Fy je spojitá v bodě [x0, yo] a Fy(xo, yo) = existují ř, <5i > 0 taková, že |1 — d~xFy{x, y)| < ^ pro x e (x0 - 8X, x0 + ái), y € (y0 - e, y0 + e). Je-li S ú 8U pro takto zvolená s, Si platí p(T(f), T(g)) = max |/(x) - #(x)| • 1 Fy{X,H) úl-m 0 tak, že pro x e (xq — 82, x0 + 82) platí |T(/)(x)-y0| <£. Položme 5 = min{<5i, 52}, pak pro takto určená e, S je T kontraktivní zobrazení P do sebe, což jsme potřebovali dokázat. □ Poznámka 8.3. i) Uvědomme si, že rovností F(x, y) = 0 může být v dostatečně velkém okolí bodu [x0, yo] zadána jedna či více spojitých nebo nespojitých funkcí. Tuto skutečnost ilustruje následující příklad. Uvažujme rovnici y(y — 1) — 0. Touto rovnicí je v okolí bodu [0, 0] určena spojitá funkce y = 0 a kromě ní také nespojitá funkce 0, pro x e Q, 1, pro x e R \ 1 96 Funkce zadaná implicitně ii) Podmínka Fy(xQ, yo) / 0 je pouze dostatečnou, nikoliv nutnou podmínkou pro existenci implicitně zadané funkce, V případě rovnice yJ -Oje 0, a přesto je rovnicí v okolí počátku implicitně určena 21 x = iKy) Fy(0, 0) = 3yVo funkce y = j/x. iii) Na zadávající rovnici F(x,y) = 0 se můžeme dívat také jako na rovnici definující funkci x — ý(y) proměnné y. Snadno se vidí na základě věty 8.2, že dostatečnou podmínkou pro existenci takto implicitně zadané funkce x = Ý (y) v okolí bodu [*o, yo\ jc Fx(x0, y0) ŕ ■£ 0. Na vedlejším obrázku je vidět, že rovnicí x1 + y2 - 1 =0 je v okolí bodu [1,0] implicitně určena funkce x ~ ý(y) — y/l — y2. Derivaci implicitně zadané funkce vypočteme podle následující věty. Věta 8.4. Nechť jsou splněny předpoklady věty 8.2 a funkce F má na R spojité parciální derivace 1. řádu. Pak má funkce f, která je implicitně určena v okolí bodu [x0, y0] rovnicí F(x, y) = 0, derivaci v bodě xq a platí Px(x0, y0) f'(xo) = - Fy(x0, yo)' (8.1) Důkaz. Nechť / je funkce, která je implicitně určená v okolí bodu [xo. voj rovnicí F(x, y) = 0, tj. existuje ô > 0 takové, že pro x e (*o — 8, x0 + 8) platí F(x, f'(x)) = 0. Důkaz existence derivace implicitně zadané funkce / zde nebudeme provádět (lze jej s podrobnostmi nalézt např. v [N]), zde se zaměříme pouze na odvození vzorce pro /'. Derivováním rovnosti F(x, f(x)) podle x dostáváme FAx, f(x)) + FAx, f(x))f'(x) = 0, odkud /"CO = Fx(x, f(x)) Fy{x, f(x)) 8.1 Implicitně zadaná funkce jedné proměnné 97 Dosadíme-li za x = xo, pak ze skutečnosti, že /(xo) = yo. plyne dokazované tvrzení. □ Příklad 8.5. i) Určete rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí x3 + y3 — 2xy = 0 v bodě ľl, 11 (viz úvodní komentář). Řešení. Označme F(x, y) = x3 -1- y3 — 2xy. Platí Fy(x, y) = 3y2 — 2x, r\,(l, 1) = 1 0, jsou tedy splněny všechny předpoklady věty, tj. rovností x3 + y3 — 2xy = Oje v jistém okolí bodu [1,1] určena implicitně funkce jedné proměnné y = /(x), pro jejíž derivaci v bodě x = 1 dostáváme F,(l,l) 3x2-2y F,(l,l) 3y2-2x [Jt,y]=[i,i] Rovnice tečny t je y — 1 = -(x - 1) =>■ x + y — 2 = 0. Normála je přímka kolmá k tečně, a vzhledem k tomu, že pro směrnice k\, k2 dvou navzájem kolmých přímek platí k\k2 = —1, rovnice normály «je y — 1 — x — - 1 => y = x. k ii) Určete, ve kterých bodech křivky x2 + y2 — xy — 1 = 0 je tečna rovnoběžná s osou x, resp. y. Řešení. Stejně jako v předchozím příkladu zjistíme, že ve všech bodech, kde ^[x2 + y2 — xy — 1] = 2y —x ^ 0, je rovnicí x2 + y2 —xy — 1 = Oimplicitně určena jistá funkce proměnné x. Pro její derivaci platí 2x - y y = 2y — x Tečna je rovnoběžná s osou x v bodech, kde y' = 0, musí proto platit 2x — y = 0. Protože hledaný bod leží na křivce x2 + y2 - xy - 1 = 0, dostáváme systém rovnic y = 2x, x2 + y2-xy-1 =0. Dosazením z první rovnice do druhé snadno najdeme řešení x = ±3-, y = = 4-^, tedy tečna ke křivce je vodorovná v bodech [i3^, i^p]-Při určení bodů, kde je tečna rovnoběžná s osou y, postupujeme podobně. Tečna může být svislá pouze v bodech, kde je jmenovatel zlomku vyjadřující y' nulový. (Ke stejnému výsledku dojdeme, jestliže se na rovnici x2 + y2—xy — — 1=0 díváme jako na rovnici určující implicitně x jako funkci proměnné y.) Obdržíme systém rovnic 2y - x = 0, x2 + y2 - xy - 1 = 0, 98 Funkce zadaná implicitně jehož řešením je dvojice bodů [±^p, ± 3 ]> v nichž jc tečna ke křivce svislá. ▲ Poznámka 8.6. i) Při výpočtu derivace funkce zadané rovnicí F(x, y) — 0 využíváme často místo vzorce (8.1) postupu uvedeného při jeho odvození. Rovnici F(x, y) = 0 derivujeme podle x a na y se díváme jako na funkci proměnné x. Pak dostáváme FAx,y)+y'Fy(x,y)=0 (8.2) a z této rovnice vypočteme y'. ii) Postup z předchozí poznámky je vhodný i při výpočtu vyšších derivací funkce implicitně zadané rovnicí F(x, y) = 0. Derivujeme-li rovnici (8.2) ještě jednou podle x, dostáváme /*«(*. y) + (Fxy(x, y) + Fyx{x, y)) + Fyy(x, y)y') + Fy(x, y)y" - 0 a z této rovnice vypočteme y". Dalším derivováním poslední rovnice odvodíme vztah pro y'" atd. iii) Je-li c reálná konstanta, je rovnicí F(x, y) — c = 0 určena vrstevnice funkce F na úrovni c — viz definice 1.4. Směrnice tečny k vrstevnici v bodě Uo, yoľ (pokud je funkce F diferencovatelná a tečna existuje) má rovnici Fx(xi),yo). , t- 3'-vo = -—-Ax-xq) Fy(xo, y0) a odtud Fx(x0, yQ)(x — x0) + Fy(x0, yo)(y - yo) = 0. To znamená, že vektor u — (Fx(xq, y0), Fy(xo, yo)) je normálový vektor ke křivce F(x, y) — c — 0 v bodě Uo, Vol- Příklad 8.7. i) Rozhodněte, zda křivka x3 + y3 - 2xy = 0 leží v okolí bodu [1,1] pod tečnou, nebo nad tečnou. Řešeni. Rovnici tečny jsme vypočítali v příkladu 8.5 i) podle vzorce o derivaci funkce dané implicitně. Nyní postupujme jako při odvození tohoto vzorce. Derivujeme-li rovnici x3 + + y3 — 2xy = 0 podle x a uvážíme-li, že y je funkce proměnné x, dostáváme 3x2 + 3y2y' — 2y — 2xy' = 0. Dalším derivováním podle x obdržíme bx + + 6y(y')2 + 3y2y" - 2/ - 2y' - 2.ry" = 0 a odtud „ = 4/ - 6x - 6y(y')2 •V 3y2 - 2x 8.2 Implicitně zadaná funkce více proměnných 99 Dosadíme-li do tohoto vztahu za x, y a y' ( hodnota y' je určena při výpočtu tečny), dostaneme /'(l) = -16, což znamená, že křivka leží v okolí bodu TI, 11 pod tečnou (neboť implicitně určená funkce je v bodě x = 1 konkávni). ▲ ii) Najděte lokální extrémy funkce zadané implicitně rovností ln v*2 + y2 = arctg - . (8.3) x Řešení. Derivováním rovnosti implicitně zadávající y jako funkci proměnné x dostáváme x + yy' 1 y'x — y Odtud + y2 i + 4 x2 . / / _, / x + y * + yy = yx-y y =-. Z podmínky y' = 0 máme x = — y a dosazením do (8.3) dostáváme ln V2x2 = = arctg(—1) a odtud x = ±e */V2, y = q=e 4/v2. Nyní vypočteme y" v nalezených stacionárních bodech. Derivujeme-li rovnici x + yy' = y'x - y „implicitně" podle x (jiná možnost, vedoucí samozřejmě ke stejnému výsledku, jc derivovat podle x zlomek ~~), dostáváme 1 + (y')2 4- yy" — y"-* 4- y' — y'-Odtud x - y _ TI _ Tt Dosadíme-li do této rovnosti, vidíme, že /'(—e 4 /v2) < 0, y"(e 7 /V2) > _ii > 0, tedy v bodě x = — e 4 /V2 má implicitně zadaná funkce lokální maxi- mum a v bodě x = e 4 /V2 lokální minimum. Geometricky se o správnosti výpočtu můžeme přesvědčit náčrtkem křivky, přejdeme-li v (8.3) k polárním souřadnicím x — rcos yo> Zo] 6 M, popř. zda v okolí tohoto bodu je plocha pod, nebo nad tečnou rovinou. Lze li z rovnice F(x, y, z) =0 vypočítat proměnnou z, můžeme použít postup ze čtvrté kapitoly. Pokud toto není možné, zcela analogicky jako pro funkci dvou proměnných můžeme odvodit podmínku, kdy je množina M v okolí bodu [xq, yo, yu] totožná s grafem nějaké funkce dvou proměnných z — f(x,y), tj. v okolí bodu On, y0, z0] platí F(x, y, f(x, y)) = 0 a f(x0, y0) = Zo- Pokud taková funkce existuje, řekneme, že je v okolí bodu [x0, yo, zo] implicitně zadána rovnicí F(x, y, z) — 0. Zcela analogická je situace, kdy je rovnicí F(x\, ...,xn,y) — 0 v okolí bodu [x*,y] — [x*,...,x*,y] implicitně určena funkce n proměnných y = = f(x\,..,, xn). Přistoupíme proto k formulaci existenčního tvrzení přímo pro tento obecný případ. Důkaz tvrzení neuvádíme, protože je v podstatě totožný s případem, kdy x je skalární proměnná. Věta 8.8. Nechť funkce F: R"+1 -> R, M = {[x, y] = [x,, ..., xn, y] e Mn+1, F(x, y) = 0}, bod [x*, y*] G M a funkce F je spojitá na množině R = {[x, y] = = [xi.....x„, yj : \xi — x'\ < a,i = 1.....n, |y — y*| < a}. Dále předpokládejme, že F má spojitou parciální derivaci Fy v bodě [x*, y*] a |y(x*, y*) ^ 0. Pakexistuje okolíbodu [x*, y*], vněmžje rovnicíF(x, y) = F(x\ ..., x„, y) = 0 implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = f (x) = f(x\, ..., xn). Má-li navíc funkce F v bodě U*, y*J spojité parciální derivace j^F, má implicitně určená funkce f v bodě x* = [x*... ,x*] parciální derivace a platí Příklad 8.9. i) Určete rovnici tečné roviny v bodě [1,0, 1] k ploše určené rovnici x3 + y3 + + z3 — 3xyz — x — y — z — 0. Řešení. Určíme parciální derivace implicitně zadané funkce z = z(x, y). Derivovaním zadávající rovnice podle x a podle y (uvážíme přitom, že z je funkcí proměnných x a y) dostáváme M. dXj (x*) = - 3x2 + 3z2zx - 3yz 3y2 + 3z2zy - 3xz 3xyzx - 1 3xyzy — 1 z, =0, Zy = 0, odtud 3x2 — 3yz — 1 3xy + 1 - 3z2 ' Zy = 3y2 - 3xz - 1 3xy + 1 - 3z2 ' 8.2 Implicitně zadaná funkce více proměnných 101 Dosazením x = 1, y — 0, z. = 1 dostáváme z.t(l,0) = —1, ^(1,0) = 2, a tedy tečná rovina k dané ploše v bodě [1,0,1] má podle (4.6) rovnici z — 1 — — (x — 1) + 2y, po úpravě x — 2y + z — 2 = 0. ▲ ii) Rozhodněte, zda plocha v E3 daná rovnicí * + y2 + z3 + z — 4 = 0 leží v okolí bodu [ 1, 1, 1 ] pod tečnou rovinou, nebo nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Řešení. Postupem popsaným ve větě 8.8 určíme parciální derivace v bodě [1,11 funkce z = z(x, y). Dostáváme ___1_ 2y Zx~ l + 3z2' Zy~ l+3z2' _ 6z2z _ 2 + 6z)z _ _ 6zxzyz Zxx — ~ ' I ô i Z\y — : ; ~ 7T i Zxy — i , i ■> ' ^yy i , o i ' ^xy — 1,-52' 1 + 3z2 1 + 3z2 1 + 2>z tedy v bodě 11,1, 1J platí zx = -\> zy = -\. zXx = zxy — -fg, zyy = = —|. Tečná rovina v bodě LI, 1, 1 j má rovnici z — 1 = — \(x — 1) — \{y— 1). Nyní použijeme tvrzení uvedené v poznámce 6.10. Platí D(l, 1) = zxx(l, lKv,(l, 1) - z2xy{h D = (-£) (-D -(£) = # > 0 a z^(l, 1) = — ^. Proto plocha určená rovnicí x + y2 + z3 + z — 4 = 0 leží v okolí bodu [1, 1, 1] pod tečnou rovinou v tomto bodě. ▲ iii) Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - xz - jlyz = 1. Řešení. Derivováním zadávající rovnosti podle * a y dostáváme 2x + 2zzx - z — xzx - V2yzx = 0, 2y + 2zzy — xzy — \Í2z — V2yzy = 0, odtud _ z-2x _ V2z - 2y (8.4) Iz-x- V2y ' y 2z-x- V2y ' Stacionární body určíme z podmínky zx — 0 = zy, tj. z = 2x = V2y, tedy y = v^2.r. Dosazením do zadávající rovnice obdržíme dvojici stacionárních bodů P\ —\\, VŤ., 2], F2 = [-1, -\/2, -2]. V těchto bodech je Fz ^ 0, tedy 102 Funkce zadaná implicitně v jejich okolí je implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Derivováním (8.4) vypočteme parciální derivace 2. řádu ve stacionárních bodech _ 2 _ _ o Zxx — l^- i Zxv — 0, Zv\ — 2z — x — V2y yy 2z — x — \Í2y V obou bodech Ply2 je D = zXxZyy — zxy = 1 > 0, tj. v těchto bodech nastávají lokální extrémy, a to maximum v bodě P\ (neboť zxx = —2) a minimum v bodě Pi {Zxx = 2). ▲ Podobným způsobem jako v poznámce 8.6 iii) lze dokázat následující tvrzení. Věta 8.10. Předpokládejme, ze funkce F; W —y R má spojité parciální derivace v bodě x* = [ip ..., x*] € R" a alespoň jedna z těchto parciálních derivací je nenulová. Pak lze k (n \)-rozměrnéploše určené rovnicí F(x) = F(x\, ..., xn) = 0 v boděx* sestrojit tečnou nadrovinu a tato nadrovina má rovnici A dF V— (**)(*,•-*D = 0. (8-5) Ve vektorovém zapisuje uvedený vztah {F\x*),x -x*} = 0, ((.,.) značí skalární součin v R"), tedy vektor F'(x*) = ($£(**). • ■ •. $£(**)) Jc normálovým vektorem v bodě x* k ploše F(x) = 0. Příklad 8.11. Určete rovnici tečné nadroviny v bodě [1, 1,,.., 1] k (n — l)-rozměrné ploše dané rovnicí x\ + *f H-----h x" — n = 0. Řešení. Platí ^ xt^j = ^xk~X ■ Odtud dosazením do (8.5) dostávame rovnici tečné nadroviny n(n 4- 1) p: 2^ k(xk - 1) = 0, tj. x\ + 2x2 H-----1- nx„ =---. *=1 Poznámka 8.12. Derivace vyšších řádů funkce y = f{x\, ..., xn) zadané implicitně rovnicí F(x\, ..., xn, y) — 0 vypočteme úplně stejně jako pro dvě proměnné. Například »2 parciální derivaci g-^jr f(x) vypočteme tak, že rovnici F(x\,... ,x„, y) = 0 derivujeme nejprve podle x,- a pak podle x j (přitom vždy bereme v úvahu, že y je funkcí vektorové proměnné x = [x\,..., xn]). 8.3 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 103 8.3. Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí V tomto odstavci se zabýváme nejobecnějším případem. Nechťje dáno m funkcí Fj,n+m proměnných x = \x\,..., x„], y = ÍVi, • ■ ■, Vml, í = 1.....m a uvažujme systém rovnic Fi(x\, ...,x„,yi,:..,ym) = 0, : (8.6) Fm(x\ ■ yi. .ym) = 0. Na m-tici funkcí F\,...,Fm se můžeme dívat jako na zobrazení z Rn+m Rm, které označíme &. Pak F\, ...,Fm jsou složky tohoto zobrazení, tj. & = [F\,..., Fm]. Podobně jako v předchozích dvou odstavcích označme M = {[x,y] e K"+m : &(x, y) = - 0} a nechť [x*, y*] e M. Jestliže existuje okolí bodu [x*, y*] € 0i\x\y*\) = á(x*) x &{y*) a zobrazení^: W1 M" takové, že pro každé [x, y] e ď ([x*, y*]) je množina bodu [x, y] € M totožná s množinou bodů [x, (x)], x € ď(x*), řekneme, že zobrazení<ě je v okolí bodu [x*, y*] implicitně určeno rovnicí č? (x, y) = 0. Hledáme podmínky pro existenci implicitně zadaného zobrazení. Jinými slovy, chceme v okolí bodu [x*, y*] ze systému rovnic (8.6) jednoznačně určit proměnné yi,..., ym v závislosti na x\,..., x„, neboli hledáme podmínky, za kterých systém rovnic (8.6) určuje v okolí bodu \x*, y*l e M nějaké spojité zobrazení (š: Rm -> W. Současně odvodíme vzorce pro Jacobiho matici tohoto implicitně určeného zobrazení. Čtenáři doporučujeme při čtení výsledků tohoto odstavce dosadit m = n — 1 (tj. všechny matice a vektory se redukují na skalární hodnoty) a porovnat je s tvrzeními z odstavce 8.1. Takto zjistíme, že když „zapomeneme", že x, y jsou vektorové proměnné, je tvrzení věty 8.13 stejné jako ve větách 8.2, 8.4. Věta 8.13. Nechť & — [F\,..., Fm]je spojité zobrazení na množině R = {[x, y] e R"+ffl : [x, y] e 60{x*) x ffa(y*)}, nechť matice ^Fm(x,y)/ je regulární v bodě [x*, y*] a její prvky jsou spojité v tomto bodě. Pak existuje okolí ď([x*, y*]) = Ů{x*) x ď(y*) bodu [x*, y*] takové, že rovnici J?(x, y) = 0 je v tomto okolí bodu [x*, y*] implicitně určeno jediné spojité zobrazení 'S': $(x*) —»■ á(y*), tj. pro x e &(x*) je &{x, &(x)) = 0. Jsou-li navíc v bodě [x*, y*] spojité prvky matice ISTRIÍ*. Fi(x,y)\ &xíx,y) = •■dx FAx,y) 104 Funkce zadaná implicitně pak jsou prvky Jacobiho matice implicitně určeného zobrazení'šř spojité v x* a platí <$\x*) = -[&y{x\y*)YX Km, m < n, fr.W -> R, i = 1,.... m jsou složky tohoto zobrazení a označme M = &~x(0) = {x — [x\, x„] e W : J*"(x) — 0}, tj. M je množina řešení systému rovnic f\(x\,.. .,xn) - 0, fm(x\, ...,*„) = 0. Jako model uvažujme dvojici rovnic x2 + y2 + z2 — i = 0, x + y + z = 0. Z ge-urnetrického významu je zřejmé, že množinou M v R3 určenou touto dvojicí rovnic je kružnice, která je průsečíkem sféry x2 + y2 + z2 = 1 s rovinou x + y + z = 0. Je-li [x*, y*, z*] e M, pak je přirozené nazvat směrový vektor tečny ke kružnici v bode [•**, y*, Z*] tečným prostorem k M v bodě [x*, y*, z*] a ortogonální doplněk k tomuto jednorozměrnému podprostoru normálovým prostorem. Je zřejmé, že normálový prostor k M v [x*, y*, z*] je lineární podprostor v K3, který je generován normálovými vektory ke kulové ploše a k rovině. Z tohoto pohledu je přirozená následující definice. Definice 8.14. Nechť & = [/,,..., fm]: Rn -> Rm, m < n, M C R" jsou stejné jako výše a x* — [x*,...,x*] e M. Dále předpokládejme, že funkce /,, í = 1,..., w, mají na M spojité parciální derivace a Jacobiho matice ._&'(x*) zobrazení & v bodě x* má hodnost m. Prostor Jt"(x*))> nazýváme normálový prostot k M v bodě x* a jeho ortogonální doplněk f7u(x*) — \_jY(x*ýý- se nazývá tečný prostor k M v bodě x*. Poznámka 8.15. i) V literatuře věnované diferenciální geometrii a globální analýze (viz např. [S]) bývá tečný prostor k podmnožinám v Rn definován poněkud odlišně, pro množiny zadané systémem rovnic při splnění předpokladů z předchozí definice jc však tento objekt totožný s námi definovaným tečným prostorem. Podrobněji o této problematice pojednává skriptum [N] a monografie [S]. ii) Předpoklad na hodnost matice &'(x*) v definici 8.14 nelze vypustit. Uvažujme v E2 množinu M = {[x, y] : f (x, y) = x2 — y2 = 0, y 2i 0}. Pak evidentne M je tvořena 5.3 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 105 dvojicí polopfímek y ± x = 0 a v počátku (kde /r(0, 0) = 0 = fy(0, 0)) tečnu nelze sestrojit, neboť křivka zde má „hrot". Příklad 8.16. i) Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [xo, yo. ZoL Zo > 0 k prostorové křivce, kteráje průsečíkem kulové plochy x2+y2+z2 = 4 s válcovou plochou x2+y2—2x = 0 (tzv. Vivianiho křivka1). Řešení. Normálové vektory k jednotlivým plochám v bodě [xo, yo, zo] jsou n\ = = (2xo, 2yo, 2zo) pro kouli a n2 = (2xq — 2, 2yo, 0) pro válec. Normálový prostor ke křivce je generován těmito dvěma vektory (všimněte si, že v bodě [2,0,0] jsou lineárně závislé — načrtněte si obrázek). Jejich vektorový součin u = 4(-yozo> zoUo _ 1). Vo) je směrovým vektorem tečny, která má tedy rovnici t: [x,y,z] = [xo, yo, zo] + + a(-yoZo, zoUo - 1). W), a e K. A ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F: R2 —>■ E2, u = u(x, y), t; = v(x, y), které je v okolí bodu [x*, y*, «*, v*] = [1, 0, 1, 0] určeno implicitně dvojící rovnic x2 + y2 + u2 + u2 - 2 = 0, xu- yv + cuv - 2 = 0. (8.7) Řešení. Označme M množinu bodů v R4, které vyhovují zadávající dvojici rovnic. Přímým dosazením snadno ověříme, že vskutku [x*, y*, u*, v*] e M a derivováním systému rovnic podle x (s tím, že u, v jsou funkce proměnných x, y) dostáváme (po jednoduché úpravě) uux + Wx = -x. (x + vcu")ux + (-y + ucu")vx - -«, odtud pomocí Cramerova pravidla (toto je pro lineární 2x2 systémy většinou nej-rychlejší metoda řešení) —x v —u — y + ueuv u v x + vďv -y + uď" u —x x + veuv —u u v x + ue»» _ y + ueuv Analogicky parciálním derivovaním systému (8.7) podle y obdržíme systém dvou lineárních rovnic pro neznámé uy, vy, jehož řešením je (opět podle Cramerova pravidla) -y v v - y + «e"u u v X + vďv -y + uď" U -y x + veuv v u v X + VQUV - y + uďv 1 Vincenzo Viviani (1622-1703), italský matematik, žák G. Galileiho. 106 Funkce zadaná implicitně Dosazením bodu [x*, y*, w*, v*] do těchto vyjádření vidíme, že systém (8.7) definuje implicitně v okolí bodu [**, y*, u*, i>*] opravdu zobrazení^: [x, y] i—>■ [w,i>] (neboť jmenovatel všech zlomků je nenulový) a platí = — 1, vx — 0, uy = 0, uy = 0, tedy detžf'(jt*,y*) =0. A Cvičení 8.1. a) Najděte body křivky x + 2xy — y2 — 8 = 0, v nichž nejsou splněny předpoklady věty 8.2 o existenci implicitní funkce y = f(x). b) Najděte body parabolické válcové plochy z1 — 2px = 0, kde p > 0, v nichž nejsou splněny předpoklady věty 8.8 o existenci implicitní funkce z = f(x, y). c) Ve kterých bodech jednodílného hyperboloidu ^ + |j — ^ — 1 nejsou splněny předpoklady věty 8.8 o existenci implicitní funkce z = f(x, y)? 8.2. Vypočtěte y' funkce y = /(jc) zadanou implicitně rovnicí: a) x — y2 = ln y, b) jc^ = yx, kde x > 0, y > 0. 8.3. Určete rovnici tečny ke kuželosečce: a) 3jc2 + 7xy + 5y2 + 4x + 5y + 1 = 0 procházející počátkem, b) lx2 — 2y2 — 14 kolmou k přímce p: 2x + 4y — 3 = 0. 8.4. Na elipse o rovnici x1 + 3y2 - 2x + 6y — 8 = 0 najděte body, v nichž je normála rovnoběžná s osou y. 8.5. Vypočtěte, y" funkce y = f (x) zadané implicitně rovnicí y — c sin y = x, c e (0,1). 8.6. a) Určete rovnici tečné roviny a normály k ploše ^ — 3y + 2z2 = 0 v bodě T = [2,1,-1]. b) K elipsoidu x2 + 2y2 -f 3z2 = 21 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou a: x + 4y + 6z = 0. c) K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2 + z2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou p": x — y + 2z = 0. 8.7. Určete parciální derivace 1. a 2. řádu funkce z — z(x, y) dané implicitně rovnicí: a) x + y + z = e'(Wz\ b) z = v^^tg J—^ - sfx2 - y2 8.3 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 107 8.8. Najděte stacionární body funkce y = y(x) dané implicitně rovnicí 3x2 + + 2xy — y1 — 3y + x — | - Oa zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy. 8.9. Najděte stacionární body funkce z = f(x, y) a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy: a) x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z - 10 = 0, b) 2x2 + 2y7 + z2 + 8xz - z + 8 = 0. Nic na světě nemůže nahradit vytrvalost. Nenahradí ji ani talent; nic není běžnější než neúspěšný člověk s talentem. Ani genialita; nedoceněný génius je téměř příslovečný Pouze vytrvalost a odhodlání jsou všemocné. (C. Coolidge) 108 Kapitola 9 Vázané extrémy V úvodu kapitoly 6 jsme zdůraznili, že vyšetřování extrémů funkcí je jednou z nejdů-ležitějších částí diferenciálního počtu. V předchozích dvou kapitolách jsme si připravili aparát k tomu, abychom mohli vyšetřovat tzv. vázané extrémy. Je to vlastně v jistém smyslu speciální případ lokálních extrémů, avšak metody uvedené v kapitole 6 zde nejsou vhodné. V prvním odstavci vysvětlíme tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů, kde extrémy původní funkce vyšetřujeme pomocí přiřazené, tzv. Lagrangeovy funkce. Ve druhém odstavci studujeme vázané extrémy pomocí nerovností mezi průměry čísel. 9.1. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Začněme následující úlohou. Určete absolutní minimum a maximum funkce u = f (x, y, z) na množině M: x2 + + y2 4- z2 ^ 1, x, y, z > 0 (konkrétní tvar funkce / není v tuto chvíli podstatný). Vyšetřujeme-li při řešení úlohy funkci / na části hranice tvořené kulovou plochou, vyjádříme z = \/l — x2 — y2 a funkci f(x, y, Jl — x2 — y2) vyšetřujeme na množině M: x2 + y2 < 1, x, y > 0, tj. najdeme stacionární body uvnitř M a vyšetříme funkci na hranici množiny M. Provést toto na části hranice tvořené čtvrtkružnicí znamená vyjádřit y = s/l — x2 a dosadit do /, tj. vyšetřovat funkci /(x, Vl — xz, 0) pro x £ 10, 1 ]. Tímto postupem převedeme původní problém vyšetření funkce na hranici na studium extrémů funkce jedné proměnné. Je zřejmé, že tato metoda je nepraktická zejména při větším počtu proměnných. V tomto odstavci si popíšeme tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů, která řešení úlohy podstatně usnadní. Definice 9.1. Nechť / je funkce n proměnných, M C !%(f), x* = [x*...., x*] € M. Existuje-li okolí Ů{x*) bodu x* takové, že pro všechna x e M D á{x*) platí /(*) = /(-**)> (/(*) = f(x*))> říkáme, že funkce / má v bodě A lokálni minimum (maximum) vzhledem k množině M. Jsou-li nerovnosti pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých lokálních extrémech vzhledem k M. 9.1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů 109 V této kapitole se zabýváme případem, kdy množina M je zadána systémem rovností glOi------x„) = 0 g2(x\,... ,x„) = 0 (9.1) gmiX\.....X„) = 0, kde 1 ú m < n. V tomto případě se často místo termín lokální extrém vzhledem k M používá termínu lokální extrém vázaný podmínkami (9.1) nebo prosté vázaný lokální extrém. Nejprve zformulujme nutnou podmínku pro existenci vázaného extrému. Věta 9.2. Nechť funkce n proměnných f,g\,...,gm< 1 = m < n> mají spojité parciální derivace 1. řádu v otevřené množině U C K" a nechť v každém bodě množiny U má matice 9ai ' ' * dxn (9.2) 9&n 9&L ,3xi • ■ • dxn I hodnost m. Bud'M množina všech bodů [x\,... ,xn], které vyhovují rovnicím (9.1). Má-li funkce f v bodě a = [a \, ..., an ] e M lokální extrém vzhledem k M, existují reálná čísla k\.....km tak. že jsou splněny rovnosti ^(a)-ý>^-(«) = 0, j-l,...,n. (9.3) Poznámka 9.3. i) Dříve než přistoupíme k důkazu tvrzení, objasněme si význam rovnosti (9.3). Zprvu uvažujme nejjednodušší případ n — 2, m — 1. Pak M je křivka v K2 zadaná rovnicí g(x. y) = 0 (píšeme x, y, [x*, y*] a g místo x\,X2, a a g\). Rovnost (9.3) můžeme psát ve tvaru rovnosti dvou dvojrozměrných vektorů (/*(**. y). fy{x\ y*)) = k(gx{x*, /), gy(x\ y*)). Když si uvědomíme, že vektor (gx(x*, y*), gy(x*, y*)) je normálovým vektorem ke křivce g(x, y) - 0 v bodě [x*, y*] a vektor (fx(x*, y*), fy{x*, y*)) je normálovým vektorem k vrstevnici funkce / na úrovni c = f (x*, y*), vztah (9.3) říká, že vektory (fx(x*. y*), fy(x*, y*)) a (foU*. y*), gyOc*. y*)) jsou lineárně závislé. Jinými slovy, křivky g(x, y) = 0 a f(x,y) = /(**, y*) mají společnou tečnu v bodě [x*, y*]. Tato skutečnost je v plném souladu s úvahami, které jsme použili při řešení příkladů 6.19. ii) V obecném případě nechť /', g'k jsou vektory parciálních derivací funkcí /, gk, k = = 1,..., m, anechťA/je množina určená systémem (9.1). Pak v souladu s terminologií z kapitoly o implicitních funkcích vztah (9.3) říká, že f (a) 6 JVmÍcí)-, VA&JVmí.ú) je normálový prostor k M v bodě a. 110 Vázané extrémy iii) Funkce m L(x, l) = L(x\, ...,xn,\\----,,\m) = f(x\,... ,x„) - ^kkgkixi ...,x») k=l se nazývá Lagrangeova funkce a konstanty A,* Lagrangeovy multiplikátory. Princip metody Lagrangeových multiplikátorů spočívá v tom, že do Lagrangeovy funkce jsou „zabudovány" vazebné podmínky a místo vyšetřování funkce / na M vyšetřujeme Lagrangeovu funkci L bez omezujících podmínek. Metodu multiplikátorů lze použít i v případě, kdy množina M je zadána nikoliv jen systémem rovností, ale i systémem nerovností. Důkaz věty 9.2. Předpokládejme nejprve, že funkce gk jsou afinní, tj. gk(x) = {Uk,x)+pk, kdeu/c e Rn,f3k e = 1,..., m. Předpokládejme, že neexistuje m-tice multiplikátorů, pro něž platí (9.3), pak /'(a) i Lin{gj (a).....g'm(a)}. To znamená, že existuje h e K", h e Lin{g'[(a), ..., g'm(a)}-L (-1 značí ortogonální doplněk) takové, že (f (a), h) ^ 0. Položme y = a 4- ah. Vzhledem k tomu, že funkce gk jsou afinní a h e Lin{g{ (u), ..., gm(a)}X = = Lin{«i,..., Um}"1, je g* (y) = {uk,a+ah) + Pk = gk(a) + oi{uk,h) = 0, tedy y e M. Z diferencovatelnosti funkce / dostáváme f (y) = f (a) + «(/'(fl), h) + r (ah) = f (a) + a kde lim íteM. Odtud a a Je-li nyní např. (f'(a), h) > 0, limitním přechodem pro a —»■ 0 vidíme, že pro |a| dostatečně malá je f (y) > f (a) pro a > 0 a f (y) < f (a) pro a < 0. To je ve sporu s tím, že / má v bodě a lokálni extrém vzhledem k M. Nyní vyšetřeme obecný případ, kdy funkce gk nejsou afinní. Pak bod y sestrojený v předchozí části důkazu jíž nemusí být prvkem množiny M, proto místo tohoto bodu musíme uvažovat jiný bod. Geometricky je jeho nalezení naznačeno na následujícím ob rázku. Označme v\,..., v„-m bázi prostoru Lin{g', (a).....g'm (a)]1 a uvažujme systém rovnic (f'(a),h) + t (aA) gk(a +ah + r) = 0, k = l,...,m, {vk,r}=0, k = l,...,n-m, (9.4) 9.1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů kde r e W. Pak jsou vzhledem k nezávislosti vektorů g'k(a) a výběru vektorů m splněny předpoklady věty 8.8 a systém rovnic 9.4 určuje implicitně v okolí bodu [a, r] = [0, 0] € Rxl" funkci/- = r{a): M K". Podle věty 8.8 pro její derivaci podle a dostáváme r'ioc)\a=Q = 0, což podle 1'Hospitalova pravidla znamená, že r(a) r (a) lim = 0. (9.5) a->0 ty Nyní položme y — a + ah + r (a). Podobně jako v první části důkazu platí f(y) = f (a) + (f(a), ah + r (a)) + r(ah) = - f (a) + a , r(a) xiah) (/'(a), h) + (/"'(«), —) +- a stejnou úvahou jako výše v libovolném okolí bodu a najdeme y, ý e M taková, že /(y)/(a)-spor. □ Definice 9.4, Nechť množina M c R" je dána systémem rovnic (9.1). Řekneme, že bod a e M je stacionární bod funkce f na M, jestliže existují Lagrangeovy multiplikátory A,i.....km takové, že platí (9.3). Věta 9.2 říká, že v případě diferencovatelných funkcí /a^ lokální extrém vzhledem k množině M může nastat pouze ve stacionárním bodě. O tom, zda ve stacionárním hodě nastává, nebo nenastává, lokální extrém rozhodneme pomocí vlastností matice drurtých derivací Lagrangeovy funkce L"(x, X). Věta 9.5. Nechť funkce f agk,k= 1,..., m, mají spojité parciální derivace druhého řádu v bodě a, který je stacionárním bodem f na M, a k\, ..., Xm jsou příslušné Lagrangeovy multiplikátory, tj. Ľ (a, k) = 0. Dále nechť matice (9.2) má pro x — a hodnost m. Jestliže pro každé 0 ^ h e Linfgj (a), ..., g'^a)}1- platí (L"{á)h,h) > 0(< 0), (9.6) má funkce f v bodě a ostré lokální minimum (maximum) vzhledem k M. Jestliže existují h,h e Línígí (a),g^ia)}1- taková, že (L"(a)h,h) > 0, (Ľ'(fl)Ä.Ä) < 0, (9.7) v bodě a lokální extrém vzhledem k M nenastává. Důkaz. Především si všimněme, že pro x e M je f(x) = L(x), tj. x* e M je lokálním extrémem / vzhledem k M, právě když je lokálním extrémem Lagrangeovy funkce L. Podobnějako v důkazu věty 9.2 můžeme body y £ M vyjádřit ve tvaru y = a+ah+r(a), 112 Vázané extrémy kde h e Lin{g\ (a),..., g'm(a)}x a r: R ->■ R" splňuje (9.5). Pomocí Taylorova vzorce dostáváme /(y) = L(y) = L(a) + (Ľ{a), ah + r (a)) + l-(L"(ä)(ah + r (a), (ah + r (a)) = = /(fl) + ^(a)(Ä+^),A + ^), (9.8) kde ä leží na úsečce spojující a a y (využili jsme faktu, že a je stacionárni bod, tj. Ľ (a) = 0). Předpokládejme, že platí (9.6), pak vzhledem ke spojitosti druhých derivací funkce L stejné nerovnosti platí i pro « místo a, je-li |a| dostatečně malé Limitním přechodem pro a 0 v (9.8) dostáváme pro |a| dostatečně malé, sgn[/(y)-/(a)] = sgn > 0, a maximum, platí-li opačná nerovnost. Nyní předpokládejme, že existují h,h e Lin{g'j(a), ..., g'm(a)}x taková, že platí (9.7). Položme yi = a + ah + r(a), y2 = a + ah + r(a). Stejným způsobem jako v předchozí části důkazu lze ukázat, že pro |a| dostatečně malá platí f(y\) > f (a) a f(yi) < f(a), tj- v bodě a lokální extrém / vzhledem k M nenastává. □ Nyní si tvrzení posledních dvou vět shrňme do praktického návodu hledání vázaných extrémů funkcí se spojitými druhými derivacemi. m 1. Vytvoříme Lagrangeovufunkci L(x, k) = f(x) — J2 kugk(x). 2. Určíme stacionární body / vzhledem k M, tj. určime x\,..., xn a \\, ..., Xm jako řešení systému n + m rovnic — L(x,k) = 0, i = 1,..gj(x) =0, j = 1,..., w. dXi Nechť a e M je takto vypočtený stacionární bod / vzhledem k M a \\,..., km jsou příslušející multiplikátory. 3. Ze systému m lineárních rovnic — (a)hi H-----h —(a)h„ = 0, d*i ax„ -—(o)h\ H----+ -—(a)h„ = 0 pro proměnné /ii, ..., hn vypočteme m proměnných v závislosti na n — m zbývajících. Takto vypočtené vektory del" jsou prvky tečného prostoru k M v bodě a, ^m(o) = — Lin{gí(a),..., g'm(a)}±. Tento výpočet je možný, neboť podle předpokladu má 9. 1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů 113 matice (9.2) hodnost m. Pro určitost předpokládejme, že jsme vypočetli h\,... ,hm v závislosti na hm+\, ..., hn. 4. Určíme druhý diferenciál Lagrangeovy funkce vzhledem k proměnným x ve stacionárním bodě a " d2L d2L{a,k) - Y\ (a)AiA; = (L"(a)h,h), /—' 3x,3xr J ',7 = 1 za Ai,..., Xm dosadíme příslušející multiplikátory z. zzh\,... ,hm vyjádření z předchozího bodu. 5. Vyšetříme deflnitnost vzniklé kvadratické formy n — m proměnných (je to vlastně restrikce kvadratické formy d2L(a, X) na tečný prostor i^vř(a)). Je-li tato forma pozitivně (negativně) definitní, nastává v bodě a ostré lokální minimum (maximum), a je-li indefinitní, v bodě a vázaný extrém nenastává. Příklad 9.6. 2 2 2 i) Najděte lokální extrémy funkce u = ^ + |j + ^j, u > £ > c, na množině A/: x2 + + y2 + z2 = l. Řešení. Nejprve sestavíme Lagrangeovu funkci úlohy a určíme stacionární body. 2 2 2 L(x, y, z, k) = X-r + + ~ - k(x2 + y2 + z2 - 1). aL bL cl Derivováním a přidáním vazebné podmínky dostáváme Z prvních tří rovnic plyne, že vždy dvě ze souřadnic x,y,z musí být nulové (neboť pouze jeden z výrazů v závorkách může vždy být nulový). Dostáváme šestici stacionárních bodů a příslušejících multiplikátorů 7*1,2 = [±1, 0, 0], A|,2 = ^> 7*3,4 = [0, ±1, 0], 1.3,4 = , P5<6 = [0, 0, ±1], k56 = c!2. Určíme druhý diferenciál funkce Ĺ (použijeme obvyklý zápis s dx, dy, dz místo h\, &2, h3) d2L(x, y, z, k) = 2^ - AJ(dx)2 + 2^ - ^(dy)2 + 2^ - A^(dz)2 a diferencováním vazebné podmínky dostáváme 2x dx + 2y dy + 2z d z = 0. Odsud plyne, že v bodech Fi.ijedx = 0, v bodech P^jedy = Oav Fsójedz = 0. Využitím zx a- 2kx = 0 0 2y = - 2kz = 0 x2 + y2 + z2 = 1. - X z[-2-k -0, = 0, = 0, 114 Vázané extrémy P\.l ■■ d2L = 2( J2 i a2 Pí,*: d2L =*( 1 ~ é5 P5,6: d2L této skutečnosti vyšetřeme definitnost formy d2L na tečném prostoru v bodech fi_6 ke kouli x2 + y2 + z2 = 1. (d*)2 + 2(?"Ž)(dZ)2' Protože a > & > c, je kvadratická forma v bodech Pj^ pozitivně definitní, v bodech />5,6 negativně definitní a v bodech P^^ indefinitní. To znamená, že v je ostré lokální minimum (rovno 4j), v P^^ je ostré lokální maximum (rovno ^)av bodech P34 extrém nenastává. Á ii) Odvoďte vzorec pro vzdálenost bodu x* — [x*,..., x*] od roviny a\x\ + ■ ■ -+anxn — = b v prostoru E". Řešení. Označme a = [a\,..., an], x = [x\,..., xn]. Pak můžeme úlohu zapsat ve vektorovém tvaru y/(x — x*, x — x*) ->• min, (a,x)=ů. Je-li x bodem minima této úlohy, je také bodem minima úlohy ^ U - x*, x — x*) mín, (a,x)=b (tato úvaha nám usnadní derivování). Lagrangeova funkce této úlohy je 1 1 " f " \ Ĺ(x,k) = -(x - x*, x - x*) - k({a, x) - b) = - x*kÝ - X\Y^akXk - b J. Derivováním dostáváme (používáme pro stručnost vektorový zápis) Lx = x — x* — ka = 0, (a, x) = b. Z první rovnice x = x* + ka a dosazením do druhé rovnice (a, x* + ka) = b, odtud , (b-(a,x*)) ._b-(a,x') k~ \\a\\2 =*x x ~ ||fl||2 tedy |fc-{a,x*)| Ife-flixí-----<3f„x*| y (x — x*, x — x*) = což je vzorec dobře známý z lineární algebry. 1 + • • ■ + a2 9.1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů 115 iii) Určete obsah elipsy, která vznikne při řezu elipsoidu ^ + p- + = 1 rovinou Ax + By + Cz = 0 (obsah elipsy je P = Jtpq, kde p, q jsou délky poloos elipsy). Řešení. K určení obsahu elipsy potřebujeme určit délky jejích poloos. To jsou vzdálenosti bodů ležících zároveň na elipsoidu i v řezné rovině, které mají nejmenší, resp. největší vzdálenost od počátku. Vzdálenost bodu [x, y, z] od počátku je dána vztahem s/x2 + y2 + z2. Místo této funkce budeme hledat extrémy funkce u = x2 + y2 + z2, která se snáze derivuje, a vypočtený výsledek odmocníme. Řešíme tedy úlohu 2 2 2 u = x2 + y2 + z2 -* max(min), í_ + 2L + L = 1, Ax + By + Cy = 0. a1 bl cL Lagrangeova funkce úlohy je L{x, y, z, X, p.) = x2 + y2 + z2 - A — + 4- -r - 1 - + tfy 4- Cy). Jejím derivováním a připojením vazebných podmínek dostáváme systém rovnic 2Xx , „ „ 2A.y - „ 2Az 2.r - — - p A = 0, 2y - -j- - iiB = 0, 2z--r - mC = 0, 62 c2 x1 y2 z2 -? + 7T + ^ = l. + 5y + Cz = 0. a- o" Vynásobíme-li první rovnici x, druhou y, třetí z a sečteme je, pak využitím vazebných podmínek dostáváme rovnost x2 + y2 + Z2 = A., tedy iímax = Amax a = lmin Vyjádříme-li z prvních tří rovníc x,y,z a dosadíme do rovnice roviny, obdržíme rovnici ( Al 82 + c2 \ - 0 Ml2(i+^)+2(i+^)+2(i+^)r" Protože /i jí 0 (jinak x = y^z~0 & tento bod neleží na elipsoidu), z této rovnice vynásobením jmenovateli zlomků dostáváme W.-4)íi-4)+W.-*)ŕi-4W(i-4)íi-Ä]=o b2 / \ c2 / V «2 / V c2 7 V a2) v ^2 Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru kvadratické rovnice A.2 4- /i i X + K2, kde a2b2c2(A2 + B2 + C2) *2 A2a2 + B2b2 + C2c2 Koeficient K, můžeme také vyjádřit explicitně, jeho hodnota však není podstatná, neboť rovnici nemusíme řešit. Nepotřebujeme totiž znát kořeny rovnice A. 12, nýbrž pouze jejich součin Ai A2 — ve skutečnosti nepotřebujeme znát délky poloos, stačí nám znát jejich součin. Tento součin je roven absolutnímu členu Ki v kvadratické rovnici. 116 Vázané extrémy Protože jsme hledali extrémy funkce x2 + y2 + z2 místo funkce y/x2 + y2 + z2, je hledaná plocha elipsy S — Tz-^Xikj — Tty/Wž — tiabc I A2 + tí1 + C2 A2a2 + B2b2 + C2c2 9.2. Vázané extrémy a nerovnosti V tomto odstavci si ukážeme, jak lze v některých speciálních (ale poměrně často se vyskytujících) případech hledat vázané extrémy, aniž by bylo nutné použít aparát Lagran-geových multiplikátorů, I když je tento postup poněkud vzdálený od metod diferenciálního počtu, uvádíme jej zde pro jeho výbornou praktickou použitelnost. Čtenáři doporučujeme všechny úlohy tohoto odstavce vyřešit pro srovnání také metodou Lagrangeových multiplikátorů. Nejprve připomeňme pojem kvadratického, aritmetického, geometrického a harmonického průměru n-tice čísel. Nechťx\,..., x„ jsou kladná reálná čísla, označme £n(x\,x2.....xn) = fi/n(X\,X2, ...,xn) = jx2 + x2 + ---+x2 n x\ +X2-Í-----Yxn n $n(X\,X2,..., Xn) = $X\ X2 . ..Xn, n Jř%l(X\,X2.....xn) = -L + J. + ...+ .!_■ X[ ' xz ' xr, Věta 9.7. Nechť x = [x\,..., xn]je n-tice kladných čísel. Plutí nerovnosti přičemž rovnosti nastávají, právě, kdyžx\ = x2 = ■ ■ ■ = x„. Důkaz. Viz skriptum [H-K-Š]. □ Kromě nerovností mezi průměry je účinným nástrojem i tzv. Cauchyova nerovnost. Věta 9.8. Pro libovolné dvě n-tice reálných čísel x = (x\,..., x„), y = (yi,..., yn) platí k=l U=l / U=l přičemž rovnost nastane, právě když existuje reálné t takové, že yu = txk, k = 1, .. ., n. tj. právě když vektory x a y jsou lineárně závislé. Důkaz. Viz skriptum [H-K-S]. □ 9.2 Vázané extrémy a nerovnosti 117 Příklad 9.9. i) Mezi všemi trojúhelníky s konstantním obvodem o určete ten, který má nej větší obsah. Řešení. Vyjdeme z Heronova vzorce pro obsah trojúhelníka ľ = As(s - a)(s - b)s - č), kde a,b,c jsou strany trojúhelníka a. s — (a + b + c)/2 — o/2 je tzv. poloperimetr. Označíme-li x =s — a,y = s — b,z = s-ca uvážíme-li, že najít maximum funkce P _ 1 2 je totéž jako najít maximum funkce P = s 5 P J, můžeme úlohu formulovat takto: _ o P(x, y, z) = l/xyz ->■ max, x + y + z = - . Využitím nerovnosti mezi algebraickým a geometrickým průměrem dostáváme P(x, y,z)ú(x + y + z)/3 = o/6, přičemž rovnost nastává, právě když x = y = z = o/2. Máme tedy systém rovnic o o o s — a — — , s — b — — , s — c — — , 6 6 6 jehož řešením je a = b = c = o/3. Tedy mezi všemi trojúhelníky s daným obvodem o má největší obsah rovnostranný 2 trojúhelník a tento maximální obsah je Fmax = . ▲ ii) Mezi všemi trojicemi kladných čísel x, y, z s konstantním součtem a najděte ta, pro která je součet převrácených hodnot minimální. Řešení. Z nerovnosti mezi harmonickým a aritmetickým průměrem dostáváme 3 ^ x + y + z _ u x ' y ' z přičemž rovnost nastane právě když x = y = z = a/3. Odtud \ + + \ 't x+y+z = = £ , tedy součet převrácených hodnot je minimální, jsou-li všechna tři čísla stejná a rovna |. A iii) Na elipsoidu ^ + |j + ^ — 1 najděte bod v prvním oktantu s vlastností, že objem čtyřstěnu tvořeného souřadnými stěnami a tečnou rovinou k elipsoidu v tomto bodě je minimální. Řešení. Nejprve připomeňme, že objem čtyřstěnu vypočteme podle vzorce V = = Ixoyozo, kde [*o> 0, 0], [0, yo, 0], [0, 0, zq] jsou průsečíky tečné roviny se souřadnými osami (sestrojíme-li trojboký hranol se základnou tvořenou trojúhelníkem s vrcholy [0,0,0], [xq,0,0], [0, yo, 0] a výškou zo, jeho objem je jxoyozo a je trojnásobkem objemu daného čtyřstěnu). Vyjádřením proměnné z z rovnice elipsoidu nebo 118 Vázané extrémy pomocí derivace implicitní funkce snadno ověříme, že rovnice tečné roviny k elipsoidu v bodě [x, ý, ž] je c b2 a Odtud dostáváme, že úseky vyťaté tečnou rovinou na souřadných osách jsou xq = y (položíme y — 0 — z v (9.9)), zq — y , zo — y • Řešíme tedy úlohu \a2b2c2 x2 y2 z2 V----► min, + -r + — = 1, 6 xyz a1 bL cL která je, pokud jde o extremální bod, ekvivalentní úloze v = (6vri= 37=#F--x, ^ + g + d. Vabc\abc a2 b2 c- Z nerovnosti mezi kvadratickým a geometrickým průměrem dostáváme, že V je maximální, jestliže ^ = | = |, což vzhledem k vazebné podmínce nastane, když x — V5a, y — V3b, z — a/3c, a pro tyto hodnoty dostáváme minimální objem w . _ abc A 18V3 ' iv) Na elipsoidu x2 + ^ + T ~ * najdětebod, kterýjenejblížeroviněx + y + z = 2a/Í4. Řešení. Pro vzdálenost bodu [xo, yo, zo] od roviny ax + by + cz = d platí vzorec (viz příklad 9.6 ii)) d _ |«xq + byp + czp - d | Va2 + fc2 + c2 Protože elipsoid leží pod rovinou x + y + z — 2>/l4, budeme řešit úlohu x + y + z-2vT4 . 2 y2 . z 2 xA+J— + ^- = \, (9.10) V3 '49 která je (pokud jde o bod, v němž je dosaženo minima) ekvivalentní úloze 9 y2 z2 x + y + z -»■ max, x + — + — = 1. Tuto úlohu vyřešíme pomocí Cauchyovy nerovnosti. Platí x + y + z = x + 2^ + ?>^<)jx2+^- + ~- VI +4 + 9 = Vl4, přičemž rovnost nastává, právě když jsou vektory (x, ^, |), (1, 2, 3) lineárně závislé, tj. existuje t € R takové, že x = r, ^ = 2r, | = 3r. Vezmeme-li v úvahu vazebnou podmínku x2+^ + ^ = 1,dostáváme? = ±-^=,tj.(hledanýbodležív/. kvadrantu) 1 4 9 7Í4' y VTi' * VT4 a dosazením do (9.10) dostáváme d^ = Jj. 9.2 Vázané extrémy a nerovnosti 119 Ca v y viceni 9.1. Určete vázané extrémy funkce / na množině určené rovnostmi: a) f(x, y, z) = xyzz3, x + 2y + 3z = a, a, x, y, z > 0, b) f(x,y,z) = sin x sin y sin z, x + y + z = § , e) f (x, y, z) - xyz, x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0, d) f (x, y, z) = xy + yz, x2 + y2 = 2, y + z = 2, x, y, z > 0, e) f(xi,...,x„)=x* + ---+x*,% + --- + % = l,ai > 0, i = l,...,n, f) /(jci.....jc„) = p-lxi+..-+p-nxn = l,aŕ,/Ji.*i > 0,i = g) /(xi, ..., x„) = x"1 ■ ■ ■ x"\ xi H-----h xn = l,oŕ; > 0, / = 1, . , n. 9.2. a) Do elipsoidu íj + ^ + % = 1 vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem určete. 2 2 b) Do úseče eliptického paraboloidu ^ = ^ + ^2, z S c vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem určete. c) Do kužele s poloměrem podstavy r a výškou /i vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem určete. d) Mezi všemi čtyřbokými hranoly s konstantním povrchem P najděte ten, který má největší objem. Tento objem určete. 2 2 e) Na elipse ~ + = 1 najděte bod s vlastností, že normála sestrojená v tomto bodě má největší vzdálenost od počátku. f) Na elipsoidu v prostom jsou dány dva body A — [«i, aj, «3], B — [b\, bj, 63]. Určete bod C na elipsoidu tak, aby vzniklý trojúhelník měl maximální obsah. 9.3. Řešte extremální úlohy: a) jlkll2 ->• min, {«, x) = a, {v, x) = fí,x,u,v e W,0 ale po osách x a y dostáváme lim/(jc,0) = 1, lim/(0, y) = 1. x—»0 y->0 Protože hodnota limity závisí na cestě, po které se k bodu [0, 0] blížíme, limita lim f{x, y) neexistuje. (x,y)^(0,0) Příklad P.3. Funkce tt \ xy fix, y) = x2 + y2 nemá v bodě [0, 0] limitu: pokud se k limitnímu bodu blížíme po přímkách y = kx, dostáváme výsledek závisející na konstantě k lim - ,Xy , = i k ,,. (0,0) x2 + y2 1 4- &2 y—^-^ 122 Příloha Příklad P.4. Funkce /(*. y) 2 x y [x, y] ŕ [O, 0], O, [x,y] = [O, 0] nemá v bodě [0, 0] limitu. V tomto případě jsou všechny limity po přímkách y = kxk bodu [0, 0] rovny 0, avšak po parabolách y — kx2 hodnota limity záleží na konstantě k (viz poznámka 2.12). Příloha 123 Příklad P.5. Funkce /(*. y) = x2 + y2 - 9 není definovaná na množině K = {[x, y] : x2 + y2 — 9}, což je kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem r = 3, a nemá v žádném bodě této množiny limitu. Nechť [xq, yn] e Ar. Jestliže se k bodu [xq, yn] blížíme po libovolné cestě L\ ležící vně kružnice K, pak dostáváme 2 2 lim —---= — = +oo. (jt.y)-Kx0,yo) X2 + y2 - 9 0+ Jestliže se k bodu [0, 0] blížíme po libovolné cestě L2 ležící uvnitř této kružnice, dostáváme 2 2 lim —z--—- = — = —oo. o*,v) >(*0,ľo) x2 + y2 - 9 0- Odtud plyne, že limita lim f(x,y) neexistuje. Existují pouze limity po cestách ležících uvnitř a vně kružnice K. P 2. Parciální derivace a diferenciál Příklad P.6. Funkce f(x, y) 3 3 x2+y2 0 pro (x,y)r (0, 0), pro (x, y) = (0, 0) má v bodě [0,0] parciální derivace 1. řádu /r(0,0) = 0, fy(0, 0) = 0 a smíšené parciální derivace fxy(0, 0) = 1 a fyx(0, 0) = — 1. To znamená, že smíšené 124 Príloha parciální derivace této funkce v bodě [0, 0] nejsou záměnné (nejsou splněny předpoklady Schwarzovy věty, viz věta 3.8). Příklad P.7. Funkce f(x, y) = cos y - \x\ není diferencovatelná v bodech [0, y], protože v těchto bodech neexistuje parciální derivace podle x. Příloha 125 Příklad P.8. Funkce /(•*. y) = y/\xy\ je diferencovatelná vťs výjimkou bodů osového kříže, tj. bodů [x, y], kde x — 0 nebo y = 0. Příklad P.9. Funkce f(x, y) = 4 — x2 — y2 je diferencovatelná v celém M2, tj. v každém bodě existuje její tečná rovina. Na obrázku je znázorněna tečná rovina Z = 17 — 6x — 4_yk této funkci v bodě [3,2]. 126 Příloha P3. Taylorova věta Příklad P.10. Funkce / (x, y) = sin x sin y je diferencovatelná v R2, její graf je znázorněn na obr. a). Její Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [0, 0] je T2(x, y) = xy a je znázorněn na obr. b). obr. a) obr. b) P 4. Lokální a absolutní extrémy Příklad P.ll. Funkce f(x, y) = xye ~T' má lokální minima v bodech [-1, 1], [1,-1] a lokální maxima v bodech [1,1] a [—1, —1]. Její graf je na obr. c), vrstevnice této funkce na obr. d). obr. c) obr. d) Příloha 127 Příklad P.12. Funkce f{x, y) = v7*2 + y2 má v bodě. [0, 0] ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě neexistují parciální derivace. i i Příklad P.13. Funkce f(x,y) ~xyln(x2 + y2) má lokální minimum v bodech \-r=, -4=1 a -Ťj=l a lokální maximum v bo- LV5ě V2ěJ LV2ě V2Í-I dech ^] a ^] (viz příklad 6.9 ii)). Graf této funkce je znázorněn na obr. e), vrstevnice na obr. f). obr. e) obr. f) 128 Příloha Příklad P.14. Funkce f{x'2) má ve všech bodech kružnice x2 + y2 = 1 stacionární body, které jsou neostrými lokálními maximy, a má ostré lokální minimum v bodě [0, 01. Funkce f(x,y) = (2x2 + 3y2)e-(x2+y2) má ostré lokální minimum v bodě [0, 0], ostré lokální maximum v bodě [0, ±1] a sedlové body v bodech [±1,0]. Absolutní extrém této funkce na kruhu M = = {[x, y] e M2 : x2 + y2 ^ 4} byl řešen v příkladu 6.19 ii). Následující příklad ilustruje situaci, kdy je matice druhých derivací dané funkce ve stacionárním bodě pouze semidefinitní. V tomto případě je/"(0, 0) — 0. Proto zde může i nemusí nastat lokální extrém, viz poznámka 6.14. Příloha 129 Příklad P.15. Funkce f(x,y)=x'+y2 má diferenciál v bodě [0, 0] roven nule (d/(0, 0) — 0) a přitom je tento [0, 0] sedlovým bodem, tj. extrém v něm nenastává, viz obr. g). Funkce f(x, y)=x2 + / má rovněž diferenciál v bodě [0, 0] roven nule a přitom v tomto bodě nastává lokální minimum, viz obr. h). obr. g) obr. h) Příklad P.16. Funkce f{x,y) = x - y nabývá na množině M: x2 + y2 ^ 1 absolutního maxima /max = \fl v bodě — -j=] a absolutního minima = = -V2 v bodě [-^5- -jí] (viz příklad 6.20 ii)). Na obr. i) je prostorový pohled, na obr. j) jsou znázorněny vrstevnice (osa x je zde svislá, y vodorovná). obr. i) obr. j) 130 Příloha Příklad P.17. Funkce f(x, y) = 2x2 + 4_y7 nabývá na množině M: x2 + y2 _ 9 absolutního maxima /max — 36 v bodech [0, ±3] a absolutního minima /m;n = 0 v bodě [0, 0]. Na obr. k) je prostorový pohled, na obr. 1) jsou znázorněny vrstevnice. obr. k) obr. 1) 131 Výsledky cvičení Obrázky ke cvičením kapitoly 1 jsou uvedeny na závěr. KAPITOLA 2 2.1 a) Ke V/l € M. 3 8 > 0 takové, že pro V[x, y], pro něž 0 < |x + 1| < 8, 0 < \y - 2| < 5, platí /(x, y) > A. b) Ke V/l e R 3á > 0, S e K taková, že pro Vx > b, \y - l\ < 8 je /(.f,y) < A. 2.2 a) V2, b) 2, c) ln 2, d) 0, e) 0. 2.3 a) neexistuje, b) neexistuje, c) 0, d) 1, e) 0, f) 2, g) 0, h) 2. 2.4 a) 0, b) e, c) neexistuje, d) 0, e) co, f) 1. 2.6 a) / je spojitá v R2 \ [0, OJ, b) {[x, y] : x = -y), c) {[x, y] : x = —y}, d) {[x, y] : x = 0 nebo y = 0), [x, y] : x = ku, y = Arit, Ä 6 N}, f) {[x, y] : x2 + y2 = 1}. [x, y| : x = -y nebo x = 0}, b) {[x, yl : y = y}, [x,y]:x=0, y = 0), d) {[x, y] : y = 0), [x, y, z] : x = 0 nebo y = 0 nebo z = 0}, f) {[x, y, z] = [<3, b, c]}. 2.8 a) je spojitá, b) není spojitá. KAPITOLA 3 3.1 a) zx = 3x2 + 4xy + 3y2 + 4, zy = 2x2 + bxy - 5, c) zx — siníx + 2y) + x cos(x + 2y), zy — 2x cos(x + 2y), d) zx = - cos - cos - + sin - sin -, zv = — t- cos - cos ^ - - •* A y j xx y s yL y xx j e) 2.7 a) c) e) + -r=%=Ť> M; = -Vl -*2-y2, Ví-*2-?2 132 Výsledky f) zx = -±e \Zy = \ S) Zj£ = 1+4' zv = T5ľ7' h) 2a- = J+p, = "t+yT' ;\__2* sin j: 2 „ _ cos*2 l> Zx — y ,i.y— yl 1 j) ÍJ£ = ly = I*^WW' k) wx = 2xe*2(1-y-z), Wy = wz = -e*2*1"?"*), 0 z* — TTT3> 2y = — xz+y2 ' y x'+y2 ' C^y^V*2-?2' ^ U2+y2)V^2-y2' 3.2 a) zx = yxxy(l + lny), zy = x*-v+1 lnx, b) *Jt =--7-ľ^Tt-—' Zy - ^/xy-xlyHl+Jxy)' y y[^y-x2y2{\ +Jx~y)' c) Zjt = -i(})íln3,Zy = ^(I)íln3, d) s, = y[ln(* + y) + jfj], Zy = Jc[In(jc + y) + e) z, = 2(2* + y)2*+?[ln(2x + y) + l],zy = (2* + y)2x+y[\xx(2x + y) + 1], f) 7 — _i_ jxy-x-y___L jxy-x-y ' x2 y xy+x+y' *"> y2 y Jty+Jt+y' g) ^ = ^'"^(l + Jtxy cos ka-y), Zy = xesin,Tj::>,(l + Ttxy cos Ttxy), h) ux — ^x1 , My = 7;a: 1 ln x, mz = - 4*1 ln x, ^ ÍAr — l+(x-y)4'^ — 1+U-y)4' j) ik = íii = ^=2coS(x2 + y2 + z2), k) ux = yV1-1, My = xrzyz~x lnx, uz — xyZyz \nx lny. 3.3 a) Zx = 2VŠ, Zy = 10 + jš, b) zx = 0,zy = ±, c) zx = 1, Zy = -1. 3.4 a) ^, b) f. 3.6 a) z„ = 12x2 - 8y2, zxy - -16xy, zyy = 12y2 - 8x2, t>) SjCÍ — 0> ZXy = 1 — yT> Zyy — -p, c) Z« — 0, ZXy — — y7> Zyy = HW - 3*y2 _ y(2*2-y2) _ x(x2-2y2) W) £xx — (i Zry — s , Zyy — 5 , (x2+y2)Z U2+y2)2 (x2+y2)2 e) Zxx = 2cos(x + y) — x sin(x 4- y), z^y = cos(x 4- y) — x sin (x + y), Zyy = —x sin (x + y), f\ _ _2sinj:2+4j2 cosx1 _ 2xs'mx2 _ 2 cos*2 l) *-xx — y » Zj:y — yl , Zyy — y% , g) Zxx = x^[(lnx + i±^)2 4- i - £], z,y = x^>[ln2* + ^ lnx + i]. zyv = jcC+y) ln2x, Výsledky 133 m, = 2x 7 - 2y 7 - 2^W) (x*+y*)l (x2+y2)1 y2(A:2-l-y2)3 n — 1 _ 2y _ 2(x-y2) l) Zxx — TI+W' z*y ~ (x+y2)2' zyy ~ (x+yW ■\ _ y2-x2 _ 2xy _ x2-y2 }) ZXX - {xl+ylÝ > Zxy - {xl+yl)l' Zyy - (xl+y1Ý ' V-i 7 — __Í£M_ 7 _ (*2-y2)sgny _ 2*|y| K' íxx ~ JxT+yTp'íxy~ (x2+y2)2 ' Zyy ~ (x2+y2Ý' D z« = 2.v(l+x2)y-2(-x2+2x2y+l),z.tľ = 2x(l+x2)^1Ll+>'ln(l+JC2)], Zyy = (í+x2)Mn2(l+x2). KAPITOLA 4 4.1 a) 2áx, b) ^dx-jdy, c) | dx - \ dy, d) dx + 21n2dy-21n2dz, e)fdx + fdy, f) ůf = &ůx -\úy, g) d/ = -2dx+dz, h) áu = l{zý[ä£-Sz -£lnj]. 4.2 a) f+0,035, b) f - ^f, c) 2,95, d) -0,06, e) 1, f) 1,13, g) dV^^cm3, h) dh = 1 cm. 4.3 a) Není diferencovatelná, např. pro u = (1, 1) neexistuje směrová derivace /„(0,0). b) Není diferencovatelná, neboť/(í.i)ffj. 0) neexistuje. c) Ano, d f (0,0) =0. 4.4 a) x + y + z = \/3, b) 3x + 5y - z = 4, c) zo =-f. *+ ;y - 2z = f, d)zo = l>z = l- 4.5 a) [2,1), 12. -1J. b, [-7=5=;, -^-j], c) (-1/2.1/2]. d) [1.1], e) [Ji. J,, -J,], [-V2. -Jj. i], f) tečna existuje <í^s>- a2 + • • • + a2 — 1; pak Ui.....x„J = l-fli.....-aj. 4.6 a) /(I,2)(1, 1) = 3, b) /(1,0,i)(0, 1, 0) = 0. 4.7 a) d2z = ^ + ^-^, b) d2z = 6(x - y)(dx)2 + 12(y - x) dxdy + 6(x - y)(dy)2, c) dnz = = ť+y £ (")[n2+2j2-2nj-n+x2+y2+2xi+2{n-j)y](dxy(dy)n~>, d) d"z = (dx + dy)", e) d"z = j^+t Ž(-D7'(")[(« - j)x + jyKd*)'(dy)"-', 134 Výsledky f) dnu = n\cJ<+>+* £ (j+/)^/,)(?+ŕ)(dx)i (dyy (dz)k ■ !+./+jt=/l '''''' 4.8 a) i- + x ln y -cos y 4- C, b) ^ sin 2y 4- C, c) /r2 4-y2 4-C, d) xy2 - x + §y2 4-C. 4.9 a) x3 4- y3 4- z3 — 3xyz 4- 2x 4- y ln y 4- z, b) arctg xyz. KAPITOLA 5 5.1 a) z(x, y) = /(v*2 + y2), b) z(x, y) = /(f), c) h(x, y, z) = /(x + y - 2z, x - 2y + z). 5.2 a) z,^ = 0, z(x, y) = /(x - 2Jy) + g(x + 2Jy), b) zvv = 0, z(x, y) = /(,/?+?) + xyg(JxTTyI), C) M (4 - MV)ZUU - 2Z„ = 0, d) Zvv + 2u3z„ = 0, e) (h2 - v2)zuv - vzu = 0, f) (m2 - u2)zH[) + 4uz„ - 4uzv = 0, g) UZuu - XZuv + zu = 0, h) vzvv + zv = 0, z(x, y) = /(xy) ln y 4- g(xy), i) z,„, = ^z„, z(x, y) = VJÔ'/í^rCJcy). 5.4 a) r2(x, y) = f + f [(x - I) 4- (y - i)] - f [(x - I)2 + + 2(x-I)(y-i) + (y-I)2], b) r2(x,y) = f +x-f, c) T2(x, y) = 1 - £ + ^, d) 72(x, y) = f - \{x - 1) 4- \{y - 1) 4- |(x - l)2 - i (y - l)2, e) T2(x, y) = x - x(y - 1), f) 72(*. y) - ^ + 2[(x " D + (y - i)] - - D(y - D, g) T2(x, ylZ) = l + (x-l) + (x-l)(y - 1) - (x - l)(z - 1). 5 5 al s+O 0297 hí i 4- 2-v^ -H- 4- zVš-4^-' *2., KAPITOLA 6 61 a) Zmin = -1 v bodě [1,0], b) Zmax = v [f ■ f ]' ve stacionárních bodech [0, 0], [0, 4], [4, 0] extrém nenastáva, C) Zmax = 16 V [2, -2], d) zniin - 30 v [5, 2], e) Zmin = 3 4-ln3 v [1,1], f) V jediném stacionárním bodě [1,1] extrém nenastává, g) Zmin — -^yf v [_3' ~3J' Výsledky 135 h) Mmi„ =-6913 v [24,-144,-1], Í) "min = 4 v [\, 1, l], j) Zmm — 3V3a2 V 3y|], k) "max = f'V [3, §, 1], O "max = (^2)" V X, = ■ ■ ■ = Xn = -j^, m) k™ = (n + 1)2^ vjci = 2^. x2 = 2^,..., x„ = 2^. 6.3 a) /roin = -2 v [-1, -1], /max = 2 v [1, 1], b) /mm=!v[i,i],/max = 3v[0,0], C) /mm = 2 - V2 v [1 - -*=, 1 - -L], fWK = 2 + V2 v [1 + ^, 1 + ^], d) /mi„ = -V2 v [-^, 0], /max = x/2 4- 1 v ^. 1], e) /mi„ = 0 v [0, O, OJ, /max = 1 v bodech [x, y, 0], kde x2 + y2 = 1. 6.4 a) /max = 7 v [0, -1J. /min = -4 v [1, 1], b) /max = 22 v [2, 2], /min = -2 v [-2, 2], c) /MI = 6v[3,0],/ini11 = -lv[l,l], d) /max = -2" V /min = -2 V [0, 0], e) = 0 v [0, 0], /max = 36 v bodech [0, ±3] (viz Príklad P. 17), f) /min = 3 - 2V2 v bodě [j*, - -*=], /max = 3 + 2V2 v bodě [-j., a; /max — g v L 3 ' 3 J * •'nun — 8 LT' TJ' b) /max - 1 v [±1, 0] a [0, ±1], fnún = 0 v [0, 0], c) / = 3 4- ^ v [J5. -L 1], /min = -i v [-1. -I, i], d) čísla a, x\, x2, ..., xn,b tvoří geom. posl. s kvocientem q = "tyb/a. 6.6 a) ä/3, b) l/Ä. 6.7 a) ostré lok.min., b) neostré lok.min., c) extrém nenastává. KAPITOLA 7 7.1 a) (F'1)'(1,0) = (J ^ , b) (F-l)'(-2,4) = c) (F~y(l,2) = n 0 7.2 a) [x, y] ^ ', ZÍ£!^m-±£)], b) [x, y] h-^> [-^,-4==], L «Jx2+y2 *Jx2+y2 J O [x, y, zl p^py, ZV^z, o" L aA2+)>2 -v/V+y2 136 Výsledky d) [x, y, z] ^ kde r = v^ + ^ + rs Ä = yj$ + g + g. 7.3 r f (r, p) = tf (r, — 8.8 ymin = -0,5 v x = 0, ymax = -2 v x = 0,5. 8.9 a) z,™ = -2 v [1, -1], zmax = 6 v [1, -1], b) zmi„ = 1 v [-2, 0], zmax = - f v [J* 0]. KAPITOLA 9 9-1 a) /max a6 b) /max 8 V Ló • 6 ' 6.1' ^) /min ~~ 3ví U' V6' v6j' LV6' 76' 76-1' L 76' 76' 76-1' /max _ 1 r 1 12-11-12 1 -i r 2 1 Íl ~ 376 l 76' 76' 76-1'L 76' 76' TóJ'LTô' 76' 76-1' d) /max = 2v[l, 1, 1], e) /min í n \ ~ ^ f n \ — 1 = ( E "ľ2) p™ *i = ( E aŕ) • \fc=l 7 \fc=l 7 f) /min = (Ž ->Mä) pro*i = ^1 (Í V"*/3*) > g) /max nastává pro x, = a//E a*. Výsledky 137 2e. 2h. 2c VŠ' VŠ' n/3 b) Délky hran hranolu a, b, f, Vmax = 2 3 9.2 a) Délky hran hranolu: ^,J^,Vm = ^aŔC. c) Výška hranolu vhr = 5/1, hrana základny a — ^R, Vmax = jjR2h. d)a = ŕ = c = v/f Vmax = ^. f) Normála k elipsoidu v hledaném bodě musí být kolmá na přímku spojující zadané dva body. 9.3 a) /r \\av-pu\\ mn 2(||u||2||u||2-(»,W2)' b) Nechť B = (u\,..., k„_i), je matice sestavená z vektoru u\t..., un-\, a = {al,...,a„ ,), = ((fi7^)"'*, a) pro x = B(BrB)~loi. 1/2 >' x2 + 4y2 -1 yffifo. i '//yyfl x -1/2 1.1 a) 1.1 b) 1.1 c) 138 Výsledky Výsledky 139 140 Literatura