SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY A VEKTORY
1. Náhodná veličina Hustota náhodné veličiny X je funkce f (x), která splňuje
P(a < X < b) = í f (x) dx.
J a
Distribuční funkce je funkce F (x) definovaná vztahem
F (x) = P (X < x).
Vztah hustoty a distribuční funkce je
F(x) = f  f (s) ds
J — OG
f (x) = £F(x).
Užitečný fakt je
P(a < X < b) = F (b) - F (a).
To lze vidět jednak geometricky (obsah plochy pod grafem), jednak ze skutečnosti, že F (x) je primitivní funkce k f (x).
2. náhodný vektor
Sdružená hustota náhodného vektoru (X, Y) je funkce f (x, y), která splňuje
d ľb
í-a í-o
P (a < X < b, c <Y < d) = /    / f(x,y)dxdy
J c Ja
Uvědomme si, že je-li iCI2 libovolná množina (kruh, trojúhelník...), potom pravděpodobnost, že (X, Y) padne do A je
p((x,y)eA) = JJAf(x,y) áxáv-
Sdružená distribuční funkce je funkce F(x, y) definovaná vztahem
F(x,y) = P(X <x,Y <y).
Vztah hustoty a distribuční funkce je
F(x,y)= ľ    í f(s,t)dsdt
J — oc J — OC
f(x>y) = ÄF(x'y) = &;F(x>y)-
3. Marginální hustoty a distrubuční funkce
Marginální hustoty jsou hustoty jednotlivých složek X a Y, podobně distribuční funkce. Přesněji marginální hustoty jsou funkce f x (x) a f y (y), které splňují
pb pd
P(a<X<b)=      fx(x)dx       a       P(c<Y<d)=      fY(y) dy.
j a J c
Podobně marginální distribuční funkce Fx(x) a Fy(y) jsou funkce
Fx(x) = P(X < x)       a       FY(y) = P(Y <y).
Jistě tedy platí
Fx(x) = í    fx(s) ds       a       FY(y) = ľ  fY(t) dt
J — oc J — oo
= &Fx(x)       a       fY(y) = ±FY(y).
Marginální věci lze získat ze združených jednoduchým způsobem. Sdružená hustota f(x, y) umí počítat pravděpodobnost P(a <X<b,c<Y<ď). Chceme-li tedy pravděpodobnost P(a < X < b), stačí ve vzorečku říct, že Y může být libovolné a to se projeví integrováním od —oo po oo přes y.
Podobně sdružená distribuční funkce počítá P(X < x,Y < y). Chceme-li tedy P(X < x), ve vzorečku řekneme, že Y může být libovolné (libovolně vysoké) a to se projeví tím, že y pošleme do oo. Máme
/oo />oo f(x,y)dy       a       fY(y) = f(x,y)dx -OO J —oo
Fx(%) = 1™ F(x,y)        a       Fy(y) = lim F(x,y).
y—>oo x—>oo
Takto umíme získat "hustoty z hustoty" a "distribuční funkce z distribučních funkcí". Pokud chceme "hustoty z distribučních funkcí" a naopak, jde pouze o kombinaci vztahů výše:
/oo     px py       p oc
/    f(S,t)dsdt       a       FY(y)= / f(s,t)dsdt
-oo J —oo J —oo J —oo
fx(x) = ^F(x,o0)       a       fY(y) = ^F(o0,y). 4. Nezávislost
Mějme náhodný vektor o složkách (X,Y). Řekneme, že náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, pokud pro sdruženou hustotu platí
f(x,y) = fx(x)fY(y).
Potom totiž platí
P(a < X < b, c < Y < d) = P (a < X < b) P (c < Y < d).
2