Písemná práce MB103/MB203, FI MUNI, 10. ledna 2019
Příklad. 1. Objem krychle o velikosti hrany a má rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na intervalu [0,100]. Spočtěte střední hodnotu pro velikost hrany a určete s jakou pravděpodobností má její hrana velikost 3 < a < 4. Spočtěte pro velikost hrany a kvantity s a = 0.25, 0.5, 0.75.
Poznámka. Za 5 bodů celkem. 1 bod za správné určení rozdělení pravděpodobnosti pro a, dva za zvládnutý výpočet pravděpodobnosti a střední hodnoty, dva za správné spočtení kvantilů.
Příklad. 2. Najděte maximální definiční obor D funkce
f(x,y)=x2+y2-2xy-9 ln(xy) a najděte všechny lokální extrémy na D.
Poznámka. Za 5 bodů celkem, jeden za správně určené D, 1.5 za správně určené kritické body, 2.5 za jejich úplnou analýzu.
Příklad. 3. Najděte obecné řešení y(ť) diferenciální rovnice
y" + y'-2y = 2t
a její řešení určené počátečními podmínkami y(0) = 0, y'(0) = 1.
Poznámka. 5 bodů celkem, 1 za správný postup, 2 za výpočet obecného řešení homogenní úlohy, 1 za nalezení obecného řešení, 1 za nalezení správného řešení splňujícího předepsané podmínky.
Příklad. 4. Nakreslete oblast
M = {(x,y); V2 < x < 2cosy,-7r/2 < y < tt/2}
v rovině R2, spočítejte obsah M a těžiště M (předpokládejte, že hmota je rozložena rovnoměrně).
Poznámka. 5 bodů celkem, 1 za správný náčrtek, 1 za správně zvolený postup, 1 za objem, 2 za těžiště.
1