Písemná práce MB103/MB203, FI MUNI, 7. února 2019
Příklad. 1. Náhodná veličina X je deBnovánajako hodnota kvadrátu výsledku při hodu poctivou šestihrannou kostkou. Spočtěte střední hodnotu a směrodatnou odchylku veličiny X.
Jaké budou střední hodnota a směrodatná odchylka pro veličinu Y, která je zadána jako součin hodnot při současném hodu dvěmi kostkami?
Poznámka. Za 5 bodů celkem, dva body za výsledky pro veličinu X, tři body za výsledky pro veličinu Y (při složitějším výpočtu alespoň hodnotu odhadněte)
Příklad. 2. Najděte všechny lokální extrémy funkce
f{x,y)=e^{x2 + y2)
a popište chování funkce pro x a y jdoucí zároveň do ±oo.
Poznámka. Za 5 bodů celkem, 1,5 za správně určené kritické body, 2 za jejich úplnou analýzu, 1,5 za správně určené limity.
Příklad. 3. Najděte všechna řešení y (t) diferenciální rovnice
y" + y' = sin 2t splňující počáteční podmínkou y(0) =0.
Poznámka. 5 bodů celkem, 1 za správný postup, 1 za výpočet obecného řešení homogenní úlohy, 2 za nalezení obecného řešení, 1 za nalezení všech řešení splňujícího předepsané podmínky.
Příklad. 4. Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny o velikosti A a 2A, A > 0, a je vyroben z nehomogenního materiálu, jehož hustota roste kvadraticky od nuly ve vrcholu s pravým úhlem se vzdáleností od tohoto vrcholu. Určete těžiště trojúhelníku.
Poznámka. 5 bodů celkem, 1 za správnou volbu souřadného popisu (volte tak, aby hustota uvnitř trojúhelníku byla f(x,y) = x2 + y2), 2 za správný postup výpočtu (tj. nalezení správných integrálů), 2 za správné výpočty.
1