23. října 2018, Skupina C
Příklad l.(2b.) Určete a v rovině načrtněte defíniční obor funkce f : ir2 —y ir
f(x,y) = a/ sin x cos y. Vyznačte, které části hranice defíničního oboru do ní patří či nepatří.
Řešení. Podle znaménka sin x a cos y musí být stejná. □ Příklad 2. (3b) Ukažte, že implicitní předpis
y3 -x2 = 1
zadává jedinou funkci y = y{x) pro všechna reálná x. Pomocí implicitního popisu spočtěte derivaci y' a určete, kde je tato funkce rostoucí a kde klesající.
Řešení, y3 — 1 musí být nezáporné, pak x = ±a/í/3 — 1, což dává hledanou funkci, nejlépe načrtnout. Zbytek dle znaménka derivace. Nebo jde i přímo spočíst derivaci pro obecné x a z toho určit, že funkce klesá pro záporné a roste pro kladné, v nule se dopočítá a máme celou funkci. □
Příklad 3. (5b.) Určete lokální extrémy funkce f : ir2 —y ir,
f(x, y) = x3 + (x + l)y2 + x2 na ir2. Popište i chování funkce pro veliké hodnoty x nebo y.
Řešení. Nalezení dvou stacionárních bodů [0,0], [—3/2,0] - 1.5 bodu. Sestavení matice druhých derivací - 1 bod. Jediný extrém je minimum ([0,0]), další bod sedlový - 1.5 bodu. Zbyly bod za nejaky popis limitních hodnot. □
1