Ukázka podrobného řešení
úlohy 2 z DDU9
Oba dané předpisy jsou skutečně operacemi na množině Q x Q, neboť každá jejich složka vznikla skládáním sčítání a násobení, což jsou v obou případech korektně definované operace na množině Q.
Pro všechna x, y, u,v,w,z G Q platí (x, y) * ((u, v) * (w, z)) = (x, y) * (u + w,v + z) = (x + u + w,y + v + z), ((x, y) * (u, v)) * (w, z) = (x + u, y + v) * (w, z) = (x + u + w,y + v + z). Dva výše uvedené výrazy se rovnají, tedy operace * je asociativní. Ze vztahů (x, y) * ((u, v) o (w, z)) = (x, y) o (uw + 2vz, uz + vw) = = (xuw + 2xvz + 2yuz + 2yvw, xuz + xvw + yuw + 2yvz),
((x, y) o (u, v)) o (w, z) = (xu + 2yv, xv + yu) o (w, z) = = (xuw + 2yvw + 2xvz + 2yuz, xuz + 2yvz + xvw + yuw), dostáváme, že i o je asociativní.
y (x, y) E Q x Q: (x, y) * (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = (0, 0) * (x, y), tedy dvojice (0, 0) je neutrálním prvkem vzhledem operaci *.
Pokud je (e, /) neutrální prvek vzhledem k operaci o, musí splňovat \/(x, y) : (x, y) * (e, /) = (e, /) * (x, y) = (x, y), tedy musí platit
xe + 2yf = x, x f + ye = y.
Toto splňuje dvojice (e, /) = (1,0).
Inverze k prvku (x,y), vzhledem k operaci * je prvek (—x, —y), protože platí (x,y) * (—x,—y) = (0,0) = (—x,—y) * (x,y). Teď už víme, že se jedná o okruh.
\/(x,y), (u,v) G Q x Q: (x, y) o (u, v) = (u, v) o (x, y), okruh je tedy dokonce komutativní.
Pokud k prvku (x, y) ý (Oj 0) existuje inverze (u, v) vzhledem k operaci o, musí splnit xu + 2yv = 1, xv + yu = 0. Z druhé rovnice dostáváme u = — ^
pro y ý O- Pak -^ + 2yv = l^- v(2y - f) = 1 =^ v = u =
2y^-x2 • Pr°tože oje komutativní, je nalezená dvojice (2y^-x2' 2y^-x2) skutečně inverzí k (x, y). Nikdy nemůže nastat 2í/2 — x2 = 0, neboť by to znamenalo x = ±\/2?/, což nemůže platit pro x, y E Q.
Okruh je také zřejmě netriviální a dohromady s předchozími dvěma odrážkami vidíme, že je tělesem (a tedy i oborem integrity).