Algebra I – podzim 2015 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda množina
H =
s
2n
| s ∈ Z, n ∈ N0 × Z
je podgrupa, případně normální podgrupa, grupy (Q × Z, ∗), kde ∗ je operace
definovaná pro všechna p, q ∈ Q a y, z ∈ Z předpisem (p, y)∗(q, z) = (p+2y
·q, y+z).
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
/.-,()*+1
a
ÖÖ b GG/.-,()*+2
a
ÖÖ b GG/.-,()*+3
a,b
33
/.-,()*+4
a
—— bee
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 0 0
r q 0
f g 1

 | q ∈ Q \ {0}, r ∈ R, f, g ∈ R[x], g má kořen 5



,
H =





1 0 0
r 1 0
f g 1

 | r ∈ R, f, g ∈ R[x] mají kořen 5



.
4. (10 bodů) Rozložte polynom x7
+ 3x6
+ 2x5
+ 2x4
− 2x3
− 14x2
+ 8 na součin
nerozložitelných polynomů nad C, R, Q a Z.
5. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
2 · i + 6
√
2 · i nad Q.
6. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
2· 4√
2+
√
2+1
bez použití jiných než racionálních čísel ve
jmenovateli.
7. (5 bodů) Dejte příklad grupy a jejích dvou prvků, které mají stejný konečný řád,
ale jejich součin má řád větší. Pokud taková grupa neexistuje, zdůvodněte proč.
8. (5 bodů) Dejte příklad netriviálního okruhu (R, +, ·) takového, že (R, ·, +) je
rovněž okruh. Pokud takový okruh neexistuje, zdůvodněte proč.
9. (5 bodů) Dejte příklad dvou homomorfismů grup ϕ, ψ: G → H, které mají stejné
jádro, ale ϕ(G) = ψ(G). Pokud takové homomorfismy neexistují, zdůvodněte proč.
10. (5 bodů) Definujte nerozložitelné prvky oboru integrity.
11. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci a jednoznačnosti podílového tělesa.
12. (5 bodů) Dokažte, že jsou-li (G, ·) a (H, ∗) grupy a ϕ: G → H homomorfismus
pologrup, tak je ϕ i homomorfismem grup.