Algebra I – podzim 2015 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis (f ∗ g)(r) = f(g(r) − 1), pro f, g: R → R a
r ∈ R, definuje operaci na množině S všech injektivních reálných funkcí takovou,
že (S, ∗) je pologrupa, případně grupa.
2. (10 bodů) Určete podmonoid monoidu T ({1, 2, 3}) generovaný prvky f a g definovanými
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 2, g(1) = 1, g(2) = 1, g(3) = 2.
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·) × (R, +)/H, kde
G =





1 0 0
z 1 0
r s 1

 | r, s ∈ R, z ∈ Z



,
H =







1 0 0
z 1 0
r s 1

 , z

 | r, s ∈ R, z ∈ Z



.
4. (10 bodů) Rozložte polynom 4x7
− 8x6
− 11x5
− 3x4
+ 4x3
− 8x2
− 11x − 3 na
součin nerozložitelných polynomů nad C, R, Q a Z.
5. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
2 + 1 +
√
2 − 1 nad Q.
6. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
3√
9+2· 3√
3+2
bez použití jiných než racionálních čísel ve
jmenovateli.
7. (5 bodů) Dejte příklad okruhu, který není tělesem, a nějakého jeho podokruhu,
který tělesem je. Pokud takový okruh neexistuje, zdůvodněte proč.
8. (5 bodů) Dejte příklad alespoň tříprvkové grupy, v níž má každý prvek jiný řád.
Pokud taková grupa neexistuje, zdůvodněte proč.
9. (5 bodů) Dejte příklad grupy, která obsahuje šestiprvkovou podgrupu H a desetiprvkovou
podgrupu K takové, že |H ∩ K| = 1. Pokud taková grupa neexistuje,
zdůvodněte proč.
10. (5 bodů) Definujte prvoideál a maximální ideál.
11. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismu okruhů na tři homomorfismy
speciálního typu.
12. (5 bodů) Dokažte, že každý monoid je izomorfní nějakému monoidu transformací
nějaké množiny.