Algebra I – podzim 2015 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda množina S všech bijekcí f : N×N → N×N takových,
že pro všechna k, ℓ, m ∈ N mají f((k, m)) a f((ℓ, m)) stejnou druhou složku,
je podmonoidem, případně podgrupou, grupy všech bijekcí na množině N × N
s operací kompozice.
2. (10 bodů) Určete podgrupu grupy S4 generovanou permutacemi
f = (3, 2, 4) ◦ (1, 3, 2) a g = (1, 4) ◦ (2, 4) ◦ (1, 2, 3, 4).
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ∗)/H, kde
G = { (a, b) | a, b ∈ Q, a = b },
(a, b) ∗ (c, d) = (b + ac − bc, b + ad − bd), pro (a, b), (c, d) ∈ G,
H = { (a, a − 1) | a ∈ Q }.
4. (10 bodů) Rozložte polynom 3x7
− 2x6
− 3x + 2 na součin nerozložitelných polynomů
nad C, R, Q a Z.
5. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 4
√
2 +
√
2 + 2 nad Q.
6. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
α3+α2−α+2
, kde α je kořen polynomu x4
+2x3
+2x+2,
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
7. (5 bodů) Dejte příklad oboru integrity, který není tělesem, a nějakého jeho ideálu,
který tělesem je. Pokud takový obor integrity neexistuje, zdůvodněte proč.
8. (5 bodů) Dejte příklad dvou neizomorfních grup, které obsahují prvky právě stejných
řádů (na počtu prvků daného řádu nezáleží). Pokud takové grupy neexistují,
zdůvodněte proč.
9. (5 bodů) Dejte příklad dvou různých homomorfismů pologrup ϕ, ψ: S → T takových,
že ϕ(S) ∩ ψ(S) = ∅. Pokud takové homomorfismy neexistují, zdůvodněte
proč.
10. (5 bodů) Definujte obor integrity s jednoznačným rozkladem.
11. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci podgrupy generované danou množinou,
včetně explicitního popisu prvků této podgrupy.
12. (5 bodů) Dokažte, že každý ideál okruhu polynomů nad tělesem je hlavní.