Algebra I — podzim 2017 — 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Necht i? je podokruh okruhu (IR, +, •) generovaný prvkem \/2. Rozhodněte, zda množina J = {2a + b^2 + c^Ä | a, b, c G Z} je ideálem okruhu R a zda množina
J U Z je podokruhem okruhu R.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
b a a,,b
b
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, -)/H, kde
'1   0 0N
G={ \a  1 0
c   b r
1       0 0 H = l \     0 10 ,e + 2/i  2b 1
a,b E Z, re {-1,1}, c G Z[i]
b,e,feZ
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla y/Ä + \/2 — 2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo a3+^2_a, kde a splňuje a4 + 6a3 + 3a2 = 3a + 3, bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad homomorfismu okruhů ip: R —> S a ideálu I okruhu R takového, že </?(/) není ideálem S.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy a jejích dvou prvků řádu 0 takových, že jejich součin má řád 2.
8. (5 bodů) Definujte okruh polynomů nad okruhem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismu grup na tři homomorfismy speciálního typu.
10. (10 bodů) Dokažte, že řád podgrupy grupy G dělí řád grupy G.