Zadání 2. cvičení, podzim 2019
Ve druhém cvičení budete zkoumat tečny ke křivkám v rovině či prostoru a počítat lineární přiblížení (derivace a diferenciál) funcí více proměnných.
Křivka c(t) je zobrazení IR —y IRn, tj. c(t) = (ci(t),..., cn(t)). Derivace křivky v bodě t je dána vektorem c'(t) = (c[(t),... ,c'n(t)). Tečna ke křivce c(t) je proto v bodě to dána parametricky jako T : x (t) = c(to) + (t — to) c? (to).
Příklad. 1.   Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (lnŕ, arctgŕ, eslI17rí) v bodě t0 = 1.
Příklad. 2.   Na křivce c(t) = (t2 — 1, —2t2 + 5t,t — 5) najděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou p : 3x + y — z + 7 = 0. (Směrový vektor tečny ke křivce c(t) v bodě chceme mít kolmý k normálovému vektoru roviny p, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0.)
Pro funkci dvou proměnných je diferenciál v bodě [xq, yo\ lineární zobrazení vektoru v = (x - x0,y - y0)
dvf(x0,y0) = fx(x0,yo)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
z IR2 do R.
Příklad. 3. Přímo i pomocí parciálních derviací vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x3 + 4:Xy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3). V tomto bodě vyjádřete rovněž diferenciál funkce f jako lineární zobrazení.
Příklad. 4. S využitím parciálních derivací vyjádřete diferenciál df funkce arctg(x2 + y2) v bodě [1, —1] a vypočtěte pomocí něho směrovou derivaci pro směr u = (1, 2).
Pomocí diferenciálu najdeme tečnou rovinu ke grafu funkce f(x, y) v bodě [xq, yo, f(xo, jako graf afinní funkce z(x,y):
z(x,y) = f(x0,y0) + fx(x0,yo)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
(což je rovina daná jako graf diferenciálu posunutý do bodu odpovídajícímu hodnotě funkce). V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme přibližně vypočítat funkční hodnoty.
Příklad. 5. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte a/2, 982 + 4,052. (Použijte diferenciál vhodné funkce v bodě [3,4].)
Příklad. 6.  Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arctg
Příklad. 7.   Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = x2 + xy + 2y2 v bodě [x0,yo,z0] = [1,1,?].
Příklad. 8.    (Určeno pro MB203.) Najděte diferenciál zobrazení F : IR3 —y IR2, F(x, y, z) = (x2 + y2 + z2, xyz) v bodě [1,2, 3] jako lineární zobrazení M.3 —y IR2.
l