Zadání 4. cvičení, podzim 2019
Nechť F{x, y): IR2 —> IR je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [x0, y0], dále F(xQ,y0) = 0 a Fy(xQ,y0) ^ 0. Pak existuje spojitě diferencovatelná funkce /: IR —y IR definovaná na nějakém okolí U bodu x0, přičemž F{x, f(x)) = 0 pro všechna x G U. Funkce y = f {x) je tedy rovností F (x, y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu x0. Pokud Fy(xQ,y0) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi nemusí, ale může (!!) existovat (např. y3 — x = 0).
Podobné tvrzení platí pro funkce více proměnných, např. pro 3 proměnné: Nechť F{x,y,z): IR3 —>• IR je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo,zo], dále F(xo,yo, zq) = 0 a Fz(xq, yo, zq) ý 0-       existuje spojitě diferencovatelná funkce /: IR2 —> IR definovaná na nějakém okolí U bodu [rro,í/o]? přičemž F{x,y, f{x,y)) = 0 pro všechna x G U. Pokud Fz(xq, yo, zq) = 0, funkce / nemusí, ale může (!!) existovat.
Z příkladů si zvolte alespoň jeden ze všech typů (např. 1, 5, 7, 9, 13 a případně 13 a 11).
Příklad. 1. Určete první a druhou derivaci implicitně zadané funkce y = f (x) splňující x2 + y2 = 1. Najděte její lokální extrémy.
(Po zderivování obou stran máme 2x + 2yy' = 0, z toho y' = —|. První rovnost je ekvivalentní s rovností x + yy' = 0, po zderivování dostaneme 1 + {y')2 + yy" = 0. Tedy
1 + (y1)2       1 + x2/y2       y2 + x2
y"
y y y3
Extrémy jsou pro x = 0 maximum nebo minimum, podle toho, kterou volíme větev řešení. Nakreslete si obrázek.)
Příklad. 2. Určete derivaci implicitní funkce y (x), pokud xy2 — 2xy+x3 — 3y2 + 5 = 0.
/  / _ 2y-3x2-y2 \
Příklad. 3.   Určete derivaci implicitní funkce, pokud sin(x2) + cos(í/2) — 1 = 0.
/ / _ zcosQ2) \ ^"        ysin(j/2) ''
Příklad. 4. Nectí je funkce y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicíy3 — 2xy + x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l). (y'(l) = 0, y"(l) = -2.)
Příklad. 5. Rozhodněte, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1, —1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
(Křivku v okolí bodu [1, —1] považujte za graf funkce y{x) zadané implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě. y"(l) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.)
Příklad. 6. Rozhodněte, zda křivka |x2 — 3xy2 + y3 — | = 0 leží v okolí bodu [1, 3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
(y"(l) = y > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.)
Příklad. 7. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, y/2,2] funkce z = f(x,y) defínované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \f2yz = 1.
M1' ^) = ^ = °> zvi1' ^) = é3% = °' z^ ^) = zwi1' ^) = "2.
i
zxy(l,V2) = 0.
2
Příklad. 8. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2,0,1] funkce z = f(x,y) defínované v okolí daného bodu implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z+ 8 = 0.
(zx(-2,0) = -šgg^ = 0, zy(-2,0) = -^t~x = 0, zxx(-2,0) = zyy(-2,0) = ± zxy(-2,0)=0.)
Příklad. 9. V okolí kterých bodů křivky F(x, y) = x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci y = f (x) ?
(Body, kde f (x,y) = 0 a Fy(x,y) = 0 jsou [2,2], [—2, —2]. V nich vezměme implicitní funkci x = x{y). Spočtěte její první a druhou derivaci. Z výpočtu vidíte, že tečna křivky v těchto bodech je rovnoběžná s osou y a křivka leží vlevo nebo vpravo od této tečny. Tedy není ji možno vyjádřit y jako funkci x. Namalujte si obrázek.)
Příklad. 10. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y)?
(Podezřelé body jsou ty, kde Fz(x, y, z) = 0. To je celá osa y. Nyní stačí pracovat v rovinách y = konst stejně jako v předchozím příkladu. Všechny body osy y. Instruktivní je namalovat obrázek.)
Příklad. 11.  V okolí kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2    y2 z2
a2     b2 c2 nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
(Najdeme podezřelé body. Ty tvoří elipsu v rovině x, y. Představte si, jak hyperboloid vypadá a kde je tato elipsa. Z této představy je vidět, že v okolí bodů elipsy není z funkcí x, y. Dokážete to tak, že v okolí bodu (x0, y0, 0) na elipse, leží na hyperboloidu s s každým bodem (x,y,z) i bod (x,y, — z).)
Na množině M implicitně zadané jednou rovnicí F = 0 lze přímočaře hledat extrémy jiné funkce h. Gradient funkce h pak musí být násobkem gradientu funkce h, pokud je druhý gradient nenulový.
Příklad. 12. Najděte extrémy funkce h(x, y) = x—y na elipse F(x, y) = x2+2y2—6 = 0 v rovině IR2.
(Extrém musí nastat ve stacionárním bodě, ty musí mít vlastnost, že gradient h ]e násobkem gradientu F. Vyjdou body [x,y] s x = ±2, y = — ± 1, jedno minimum, jedno maximum. Tuto skutečnost dokážeme pomocí tvrzení, že spojitá funkce nabývá na uzavřené a omezené podmnožině v IRn svého maxima i minima.)
Příklad. 13. Najděte extrémy funkce h(x, y, z) = x+2y+3z za podmínky F(x, y, z) = xyz = 36ax>0, y > 0 a z > 0.
(Stacionární bod je (6, 3, 2) a jde o minimum. To dokážeme například tak, že vypočteme x jako funkci (y,z) z F(x,y,z) = 0, dosadíme do h a spočteme Hessián modifikované funkce v (3, 2).)