Zadání 5. cvičení, podzim 2019
Pokud lze množinu S C IR2 zadat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici (např. x G (a, b)) umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G (íp(x),ip(x)}, pak
f(x,y)dxdy= í (í f(x,y)dy\dx.
J a    \Jip(x) I
Příklad. 1.  Vypočtěte jj^ rjx^_1 2)(x2 + ^xv) dxdy.
Řešení: |.
Příklad. 2.  Vypočtěte //(0il)x{0,3>[3(rr - l)2 + {y - 2)2 + 2] dxdy. Řešení: 12.
Příklad. 3.  Vypočtěte     f*2(2 — xy) dydx. Řešení: ^.
Příklad. 4.  Vypočtěte     J(J(x sin </) d ?/ d x. Řešení: 1.
Příklad. 5.  Vypočtěte x2J3x+2 dydx.
Nápověda: po nějaké době rozložte na parciální zlomky. Řešení: 3 ln 2 — ln 3.
Příklad. 6.  Zaměňte pořadí integrace: JQ2 jjf f(x, y)dydx. Řešení: JQ4 j/^ f(x, y) dxdy.
Příklad. 7.  Zaměňte pořadí integrace: JQ2 Jq1I1x f(x, y)dydx. Řešení: L [2 . f(x,y)dxdy.
JO Jarcsmy J \   i & / &
Příklad. 8.  Spočítejte J0V 2 J^ 2 y2 sin x2 d x d y.
Nápověda: Protože integrál J sin a;2 d a* neumíme vypočítat, zaměňte nejdříve pořadí integrace a pak výsledný integrál spočítejte pomocí substituce t = x2. Řešení: |.
o
Příklad. 9. Spočítejte I = JJM 8y dx d y, kde M = {[x, y] G r2; x > 0, xy > 1, x+y <
2 i ■
Nápověda: / = fifi  x 8y dy dx. Řešení: |.
Příklad. 10.   Spočítejte JJS xy2 dx dy, kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2. Řešení: ^.
Příklad. 11.   Spočítejte JJAx3ydxdy, kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a, y = x3. Řešení: ^.
l