Zadání 6. cvičení, podzim 2019 Transformace souřadnic při integraci. Nechť G(x, y): M C M2 —> M2 je prosté, prvky Jaco-biho matice G'(x, y) jsou spojité funkce a det G'(x, y) 7^ 0 pro všechna [x, y] G M. Pak pro každou „rozumnou" (přesněji Riemannovsky měřitelnou) množinu K a spojitou funkci /: G{K) —> M platí: f(s,t)dsdt= [í f(G(x,y))\det G''(x, y)\dxdy. 'G (K) J J K Velmi důležitá je transformace do polárních souřadnic: x = r cos (p, y = r sin tp, tj. pro dané r a p> dostaneme bod ve vzdálenosti r od počátku [0,0], přičemž velikost orientovaného úhlu, vedeného v kladném směru (tj. proti směru hodinových ručiček) od osy x k polopřímce začínající v [0, 0] a procházející přes tento bod, je p. Tedy G(r,p) = [r cos p, r sin p] = [g(r,(p),h(r,(p)]. Pak Jacobiho matice zobrazení G je G'(r, (p) = (9rl 9f) = ( ^ ~r^ľ ) . Dále jacobián je det G'(r, p) = r cos2 tp + r sin2 tp = r. h'r h'^ J ~ \ sin ip r cos ip Protože poloměr r > 0, je | det G'(r, tp)\ = \r\ = r. Transformace do polárních souřadnic je obvykle výhodná, pokud je množina, přes kterou integrujeme, kruhem, mezikružím, kruhovou výsečí nebo něčím podobným. Někdy je lepší použít transformaci do polárních souřadnic se středem v bodě [a, b] (obvykle v případech, kdy je množina, přes kterou integrujeme, podobná kruhu se středem v bodě [a, b]) místo výše uvedené transformace se středem v bodě [0, 0]: x = r cos p> + a, y = r sin p> + b. Snadno si můžete ověřit, že jacobián této transformace je opět r. Přípustné hodnoty nových proměnných jsou r G (0, 00), p> G (0, 2tt). Zdůrazněme zejména, že transformace při výpočtu integrálů více proměnných vybíráme podle tvaru množiny, přes kterou se integruje, nikoliv podle integrované funkce, jako je tomu u integrálů jedné proměnné! Příklad 1. Pomocí přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál f(\/x2 +y2) dx dy, M kde M : x2 + y2 < 1. Výsledek. 2ir rf(r) dr. Příklad 2. Spočítejte integrál ^/(x - l)2 + (y + l)2 dx dy, IM kde M : 1 < (x - l)2 + (y + l)2 < 4. Nápověda. M je mezikruží se středem [1,-1], tudíž použijeme polární souřadnice se středem [1,-1]- Výsledek. 4^7r. Příklad 3. Užitím transformace u = xy, y = vx spočtěte I = ffA x2y2 dx dy, kde množina A je ohraničena křivkami xy = ^, xy = 2, 2y = x, y = 2x, přičemž x, y > 0. Výsledek. Transformace x = y/^,y = y/uv, det G'(u, v) = meze: u G (^,2), v G (^,2),/ = — In 2 24 111 z- 2 Příklad 4. Užitím transformace u = xy,v = ^- spočtěte I = JJA yfxydxdy, kde množina A je ohraničena křivkami y2 = 2x, y2 = x, xy = l,xy = 2. 1 2 Nápověda. Není potřeba vyjadřovat transformaci G : x = f (u,v),y = g(u,v). Stačí uvažovat inverzní transformaci G-1 : u = xy,v = neboť G o G^1 = id, tudíž det G" • det(G-1)' = det( q 5) = 1 a z toho det G'(u, u) = ^et^Q-iy^x ^ ? přičemž pravou stranu rovnosti budeme muset převést do proměnných u, v. Výsledek, det(G_1)'(a;, y) = det G'(u, v) = ±, meze: u G (1,2), v G (1,2),/ = §(2^/2-l)ln2. Příklad 5. Vypočtěte integrál jjA 2{x2 + y2) dA, kde A : 1 < x2 + y2 < 4, y > \x\. Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic. Výsledek. Wtt. Příklad 6. Vypočtěte JQ f^^-^jdydx. Nápověda. Transformujte do polárních souřadnic. Výsledek. |vr. Obsah plochy, hmotnost, těžiště. Integrály můžeme využít například při výpočtu následujících věcí: (1) obsah plochy A je jf J dx dy, (2) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má hmotnost M = JJ SÍx^y) dx dy, (3) hmotná destička mající plochu A a hustotu v bodě [x, y] danou funkcí g(x, y) má souřadnice těžiště [xo,yo] dané vztahy x°=~h SSa xe O, je-li její hustota v daném bodě přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od bodu [a, 0] (pro výpočet můžeme vzít hustotu rovnu c krát zmíněná vzdálenost). Nápověda. Užijte transformaci x — a = rcosip,y = rsintp, tj. polární souřadnice se středem [a,0]. Výsledek. M = 2fp,T = [-f,0].