Zadání 8. cvičení, podzim 2019
Procvičte řešení obyčejných diferenciálních rovnic: se separovanými proměnnými (příklady 1 a 2), lineární rovnice (příklad 3) a homogenní diferenciální rovnice (příklad 4). Při dostatku času spočtěte i příklad na Bernouliovu rovnici (příklad 5). Nechte studenty rozhodnout o definičních oborech funkcí, které jsou řešením s danou počáteční podmínkou, případně načrtnout jejich graf.
Příklad 1. Reste rovnici (1 + ex)yy' = ex. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(0) = 1.
Příklad 2. Řešte rovnici y' = yx+l ■ Najděte obecné řešení.
Příklad 3. Řešte rovnici y' = x — ■ Najděte obecné řešení, řešení splňující počáteční podmínku y(0) = —1 a řešení splňující počáteční podmínku y(2) = 3.
Nápověda. Vyřešte prvně homogenní lineární rovnici y' = — a pak hledejte partikulární řešení původní úlohy pomocí variace konstant, tj. ve tvaru C(x)z(x), kde z{x) je řešení homogenní úlohy.
Příklad 4. Řešte rovnici xy' + ylnx = y lny. Zjistěte ve které oblasti roviny má rovnice smysl. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(l) = 1.
Příklad 5. Řešte rovnici y' = ^ +y2s'mx. Najděte obecné řešení a řešení splňující počáteční podmínku y(l) =4.
Výsledek, y = 0, 1 = £ + cos x - ša-E.
i