Zadání 10. cvičení, podzim 2019 Pravděpodobnost, náhodné veličiny, distribuční funkce
První dvě úlohy jsou na podmíněnou pravděpodobnost a geometrickou pravděpodobnost, zbývající úlohy na tyto základní pojmy: náhodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota.
Příklad 1. V seminární skupině MB'103 je 23 studentů. Studenti se dělí na
• 8 dobrých, kteří mají pravděpodobnost složení zkoušky 90%;
• 12 průměrných, kteří mají pravděpodobnost složení zkoušky 60%;
• ostatní slabé, kteří na matematiku navíc „kašlou", a tak mají pravděpodobnost složení zkoušky jen 0,1.
a) Určete pravděpodobnost, že náhodně zvolený student zkoušku složí.
b) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný student, úspěšně složivší zkoušku, byl z těch, kteří na matematiku „kašlali".
Výsledek, a) 0,639; b) 0,0204;
Příklad 2. Tyč délky d je náhodně rozlomená na tři části. Určete pravděpodobnost, že je možné z těchto částí sestrojit trojúhelník.
Výsledek. 0,25.
Příklad 3. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě 4 náboje. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu rovna 0,6. Nechí náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci X a nakreslete jejich grafy.
Příklad 4. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
ff - 0,7-   pro i = 1,2,3,... tt(x) = P{X = x) = i
I 0 jinak.
Určete
a) P(X < 3),
b) P(X > 4),
c) P(l< X < 4).
Příklad 5. Náhodná veličina má distribuční funkci
0 pro x < 3 Fx(x) = { \x — 1   pro 3 < x < 6
1 pro 6 < x.
a) Zdůvodněte, že jde skutečně o distribuční funkci.
b) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
c) Vypočtěte P(2 < X < 4).
Příklad 6. Náhodná veličina má distribuční funkci
pro x < —2 Fx{x) = ^ i + ^ arcsin |   pro — 2 < x < 2
pro 2 < x.
a) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte P(-l < X < 1).
Výsledek.   ^ ^2 pro —2 < x < 2, jinak 0; |.
i
2
Příklad 7. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar f{x) = Pro x £ ~R.
Určete
a) koeficient a,
b) distribuční funkci,
c) P(-l < X < 1).
Výsledek, i; ^ arctgx + ±; ±.