Zadání 12. cvičení, podzim 2019 číselné charakteristiky náhodných veličin
Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí px(x) nenulovou pouze pro Xi, kde i G /, je definována jako
oo
E(X) =  ^2 x-px{x) = y^xj ■pxjxi).
x=—oo i£l
Střední hodnota spojité náhodné veličiny X s hustotou fx(x) Je definovna jako
E{X)= / x-fx(x)dx.
J — oo
Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo
D(X) = varX = E([X - E(X)}2),
odmocnina z rozptylu    D(x) se pak nazývá směrodatná odchylka. Na výpočet rozptylu je vhodné použít vzorec D(X) = E(X2) - E(X)2, platí rovněž D (a + bX) = b2D(X). Kovariancí náhodných veličin X, Y rozumíme
C(X, Y) = E{X - E{X)){Y - E(Y)).
Je-li C(X,Y) = 0, říkáme, že X, Y jsou nekorelované. Stochasticky nezávislé náhodné veličiny jsou vždy nekorelované (nikoliv obráceně). Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin:
'X-E{X) Y-E(Y)\ C(X,Y)
Pxy = C
y/Ď(X) '  y/Ľ(Y)  I ^Ď[X)^[Ď(y)'
Kvantily: Pro ryze monotóní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> M. To znamená, že hodnota y = i?_1(o!) je taková, že P(X < y) = a. Obecněji, je-li Fx{x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci
F'1(a) = inf{x G R; F (x) > a}, a G (0,1).
Kvantil s a = 0,5 nazýváme medián.
Transformace (funkce) náhodné veličiny: Náhodnou veličinu X : $1 —> M můžeme pomocí vhodné funkce g : M —> M transformovat na jinou náhodnou veličinu Y = g(X) vztahem G $1 : Y (u) = g (X (u)). Přitom pro rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Y platí
P(Y=y)= P(X=x,)
í:g(xi)=y
a pokud existuje inverzní funkce k funkci g, dostáváme pro pravděpodobnostní funkce vztah
py(y) =pg(x)(y) =px(g~1(y))-
Pro spojitou náhodnou veličinu s distribuční funkcí Fx dostáváme za předpokladu, že transformace g je rostoucí (analogicky klesající) funkce, vztah
FY(y) = P(Y <y) = P(g(X) < y) = P(X < g-\y)) = Fx{g-\y)), odkud pro hustotu
ÍY{y) =        = fx{g-\y))
dg-Hy)
dy
i
2
Příklad 1. Pravděpodobnost zásahu cíle jedním výstřelem je 0,75. Náhodná veličina X udává počet zásahů při 5 nezávislých výstřelech. Určete její rozdelení pravděpodobnosti, střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Výsledek. 15/4; 15/16.
Příklad 2. Diskrétní náhodná veličina X nabývá hodnot k = 0,1, 2, 3,... s pravděpodobností P(X = k) = p(l— p)k (tzv. geometrické rozdělení). Určete E(X) (střední doba čekání na úspěch) a D(X).
Výsledek. 1=E,
Příklad 3. Náhodná veličina X má hustotu rovnu fx{x) = cos x pro x £ (0,77} a jinde nulovou. Určete střední hodnotu, rozptyl a medián této veličiny.
Výsledek. ^ — 1,^,tv — 3.
Příklad 4. Náhodná veličina X má hustotu rovnu fx{x) = \e~Xx pro x > 0, kde A > 0 je daný parametr rozdělení, a jinde nulovou (tzv. exponenciální rozdělení). Určete střední hodnotu, rozptyl, modus (reálné číslo s maximální hustotou, resp. pravděpodobnostní funkce) a medián této veličiny.
Výsledek. {,l-f,0,^
Příklad 5. Diskrétní náhodný vektor (X±, X2) má simultánní pravděpodobnostní funkci 7r(0, —1) = c, 7r(l,0) = 7r(l, 1) = 7r(2,1) = 2c, 7r(2,0) = 3c a rovnou nule jinde. Určete konstantu c a vypočtěte:
(1) kovarianci C(X±, X2),
(2) korelační koeficient px±,x2-
Výsledek, c = 1, EX1 = 1,4, EX2 = 0,3, cov(Xi,X2) = E{X1X2) - E(x1)E(X2) = 0,18, p = 0,42.
Příklad 6. Náhodná veličina X má hustotu f{x). Určete hustotu náhodné veličiny Y tvaru
a) Y = ex,X > 0,
b) Y = VX,X > 0,
c) Y = lnX,X > 0,
d) Y = ]t,X>0.
Výsledek, /(lny)i; 2f(y2)y; f(ev)eV;
Příklad 7. Náhodný veličina X má rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na intervalu (—f, f). Určete jeho hustotu a hustotu transformovaných veličin Y = sin X, Z = tg X.
Příklad 8. Náhodná veličina X má hustotu rovnu cos x pro x G (0,77) a nulovou jinde. Určete hustotu náhodné veličiny Y = X2 a vypočtěte E(Y), D(Y).
Výsledek. C^ip- pro 0 < y < ^,E(Y) = D{Y) = 20 - 2tt2.