Cvičenie 7.
Príklad 1. Určite lokálne extrémy funkcie f(x, y) = xy − x2
− y2
+ x + y na množine M :
x + y − 4 = 0.
Riešenie. Bod [2, 2] je lokálne maximum.
Príklad 2. Určite lokálne extrémy funkcie f(x, y, z) = x+2y+3z na množine M : x2
+y2
= z.
Riešenie. Bod [−1
6
, −1
3
, 5
36
] je lokálne minimum.
Príklad 3. Určite lokálne extrémy funkcie f(x, y) = xy na množine M : |x| + |y| = 1.
Riešenie. Body [ 1
2
, ±1
2
] sú lokálne minimum a body [±1
2
, ±1
2
] sú lokálne maximum.
Príklad 4. Určite lokálne extrémy funkcie f(x, y) = (2x2
+ 3y2
)e−(x2+y2)
na množine M :
x2
+ y2
= 4.
Riešenie. Body [0, ±2] sú lokálne maximum a body [±2, 0] sú lokálne minimum.
Príklad 5. Spočítajte
Ω
z2
dx dy dz,
kde Ω je vymedzená rovinami x = 0, y = 0, z = 0 a x + y + z = 2.
Riešenie. 8
15
.
Príklad 6. Spočítajte
Ω
2ydx dy dz,
kde Ω je útvar v prvom oktante a vymedzený rovinami x2
+ z2
+ 1 = y2
a x + z = 1.
Riešenie. 2
3
.
Príklad 7. Určite ťažisko časti roviny ležiacej v prvom kvadrante, vnútri elipsy 3x2
+ y2
= 2
a pod priamkou y =
√
3x.
Riešenie. S = π
4
√
3
, T = 8
√
3
9π
, 8(
√
2−1)
3π
.
Príklad 8. Určite súradnice ťaziska T kruhovej dosky x2
+ y2
≤ a2
pre a > 0, ak je jej hustota
v danom bode priamo úmerná vzdialenosti tohto bodu od bodu [a, 0].
Riešenie. M = 32ca3
9
, T = [−a
5
, 0].
1