t
wgsfy  HA^ti^t^ hu^tt^o žJ^íW ^kiW^        ^ú^);
__- oo
Zadaní 11. cvičení, podzim 2019 náhodné vektory
Potřebné pojmy k řešení příkladů jsou:
• Nezávislost náhodných veličin, náhodný vektor, marginální a sdružené pravděpodobnosti^ funkce, hustoty a distribuční funkce.
lOStnt^r-------
Příklad 1. Diskrétní náhodný vektor má sdruženou pravděpodobnostní funkci danou tabulkou^^ *M ^
Určete
		5	6		
	j 5	i 10	i 20		
	1 10	i 20	0		
	3 10	1 20	3 20		—>
	£.	X. Z.O	mu		—>
a) marginální distribuční a pravděpodobnostní funkce; ^k|fV(,Tf^ Tfy
b) sdruženou distribuční funkci a vhodným způsobem ji znázorněte; 1 '
c) P(y>3X). "^r
Výsledek. ^.
Příklad 2. Určete distribuční funkci náhodného vektoru (X, Y), jehož hustota je
í i(4r - ?/)   pro 1 < x < 2,2 < y < 4,
f {x,y)
0
jinak.
Určete dále P{Y > 2X).
Příklad 3. Určete marginální distribuční funkce, sdruženou a marginální hustotu náhodného vektoru {X,Y), je-li ^GO-ÍÍ, (v°)~r
CO
0     ^pro)^^ rce6oj^|Iy ix2y*  pro\p_< a; < l\0< y~<2
1 pro
a;2        pro\0 ^ x ^"lffi^ZJ}
K 4
pro
1
Příklad 4. Určete hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y), jehož distribuční funkce je
F(x,y) = <
0 pro x <— 1
^■(arcsinx + ^)(arctgy + f)   pro |a;| < 1
r_  r- [i(arctgy+f) pro a: > 1.
Určete rovněž marginální hustoty a rozhodněte, jsou-li veličiny X a Y nezávislé.
Výsledek. f(x,y) = fi{x)-f2{y), kde /i(x) - ^j—g pro -1 < X < 1, jinak 0, a/2(x) = T(1^a)-Jsou nezávislé.
Přiklad 5. 1/ urně je 14 kuliček - 4 červené, 5 bíléch a 5 modrých. Náhodně bez vracení vybereme 6 kuliček. Určete rozložení náhodného vektoru (X,Y), označuje-li X počet tažených červených kuliček a Y počet tažených bílých kuliček. Určete rovněž marginální rozložení veličin X a Y. Dále vypočtěte P(X < 3),P(1 < Y < 4).
i
4» 2,0
1.h3 X-l
tl
2)
2 4 t c r
v
^0      U1 í
1
v) o
F (y,j),  T   o 1o    2o io
1
ITkcí        .m        q.. v 1 i.
+5*
a +
J
* z 1
1 z
O Q D
Př^ad 6. Hustota náhodného vektoru (X, Y, Z) je "^^'j^V-iC-t^ olx- c£Cxx
f{x,y,z) =
c(x + y + z) pro 0 < x < 1,0 < y < 2,0 < z < 3 0 jinak.
Určete konstantu c, distňbuční funkci a vypočtěte P(Q < X < |, 0 < Y < |, 0 < Z Š §)•     •=.") <» _ -f
1S
© P(V>zx> 1
1   ^ 2. i
li
i -
6 3
o
o
3x 0
7
V.
O Tr