1. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 31. 10.
SKUPINA A
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 bodu) Najděte stacionární body [x,y] funkce
h(x, y) = Ax + 3y
na elipse zadané rovnicí
F(x,y) = Ax2 + (y- l)2 = 13.
O každém z těchto bodů rozhodněte, zda v něm nastává buď lokální/globální maximum nebo lokální/globální minimum nebo že v něm lokální extrém není.
2. (3 body) Uvažme funkci z = f(x,y) zadanou implicitně vztahem
x2 - Az2 + 2x - 8y + 8^ = 0
na okolí bodu (0, 0, 0).
a) Určete parciální derivace funkce f(x,y) v bodě (0,0).
b) Platí -2^(0,0) =      a zyy(0,0) = — 1 (toto nedokazujte). Určete druhou parciální derivaci zxy v bodě (0,0) a napište matici druhých parciálních derivací v tomto bodě.
c) Napište Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) v bodě (0,0).
3. (3.5 bodu) Je dána množina A C IR2 v polorovině x > 0 ohraničená křivkami y = x2 — 4, x = 0 a y = —x + 2.
a) Načrtněte množinu A a určete ty průsečíky uvedených křivek, které leží v A. (Tyto body jsou „vrcholy" množiny A.)
b) Spočtěte jjAxdxdy.
1. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 31. 10.
SKUPINA B
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 body) Najděte stacionární body [x,y] funkce
h(x, y) = Ax + 5y
na elipse zadané rovnicí
F(x,y) = x2 + 5(y - l)2 = 21.
O každém z těchto bodů rozhodněte, zda v něm nastává buď lokální/globální maximum nebo lokální/globální minimum nebo že v něm lokální extrém není.
2. (3 body) Uvažme funkci z = f(x,y) zadanou implicitně vztahem
2x2 - z2 - Ax + 2y + 8^ = 0
na okolí bodu (0, 0, 0).
a) Určete parciální derivace funkce f(x,y) v bodě (0,0).
b) Platí -2^(0,0) = —^ a 2^(0,0) = ^ (toto nedokazujte). Určete druhou parciální derivaci zxy v bodě (0,0) a napište matici druhých parciálních derivací v tomto bodě.
c) Napište Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) v bodě (0,0).
3. (3.5 body) Je dána množina A C IR2 v polorovině x < 0 ohraničená křivkami y = x2 — 1, x = 0& y = x + 5.
a) Načrtněte množinu A a určete ty průsečíky uvedených křivek, které leží v A. (Tyto body jsou „vrcholy" množiny A.)
b) Spočtěte jjAxdxdy.
1. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 31. 10.
SKUPINA X
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 body) Najděte stacionární body [x,y] funkce
h(x, y) = 3x — Ay
na elipse zadané rovnicí
F(x,y) = {x- l)2 + V = 13.
O každém z těchto bodů rozhodněte, zda v něm nastává buď lokální/globální maximum nebo lokální/globální minimum nebo že v něm lokální extrém není.
2. (3 body) Uvažme funkci z = f(x,y) zadanou implicitně vztahem
2x2 -Az2-2x + y-8z = 0
na okolí bodu (0, 0, 0).
a) Určete parciální derivace funkce f(x,y) v bodě (0,0).
b) Platí -2^(0,0) = ^ a 2^(0,0) = —^ (toto nedokazujte). Určete druhou parciální derivaci zxy v bodě (0,0) a napište matici druhých parciálních derivací v tomto bodě.
c) Napište Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) v bodě (0,0).
3. (3.5 body) Je dána množina A C IR2 v polorovině x > 0 ohraničená křivkami y = x2 + 1, x = 0 a y = —x + 7.
a) Načrtněte množinu A a určete ty průsečíky uvedených křivek, které leží v A. (Tyto body jsou „vrcholy" množiny A.)
b) Spočtěte jjAxdxdy.
1. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 31. 10.
SKUPINA Y
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 body) Najděte stacionární body [x,y] funkce
h(x, y) = 5x — Ay
na elipse zadané rovnicí
F(x,y) = 5(x- l)2 + y2 = 21.
O každém z těchto bodů rozhodněte, zda v něm nastává buď lokální/globální maximum nebo lokální/globální minimum nebo že v něm lokální extrém není.
2. (3 body) Uvažme funkci z = f(x,y) zadanou implicitně vztahem
Ax2 - z2 - 2x + y - 2z = 0
na okolí bodu (0, 0, 0).
a) Určete parciální derivace funkce f(x,y) v bodě (0,0).
b) Platí -2^(0,0) = 3 a zTO(0, 0) = — \ (toto nedokazujte). Určete druhou parciální derivaci zxy v bodě (0, 0) a napište matici druhých parciálních derivací v tomto bodě.
c) Napište Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) v bodě (0,0).
3. (3.5 body) Je dána množina A C IR2 v polorovině x < 0 ohraničená křivkami y = x2 — 3, x = 0& y = x + 3.
a) Načrtněte množinu A a určete ty průsečíky uvedených křivek, které leží v A. (Tyto body jsou „vrcholy" množiny A.)
b) Spočtěte jjAxdxdy.
Řešení a bodování MB203
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina A:
1. [3.5b] Podmínky pro stacionární bod [x,y] s Lagrangeovým multiplikátorem A jsou
4 = hx(x,y) = \Fx{x, y) = 8\x,    3 = hy{x, y) = \Fy{x,y) = 2\(y - 1),    4x2 + (y - l)2 = 13,
[0,5b]. Tato soustava rovnic má dvě řešení: A = -|, [x,y] = [1,4] a A = —|, [x,y] = [—1,-2]. [1.5b za postup a obě správná řešení].
Hodnoty funkce h ve stacionárních bodech jsou
/i(l,4) = 16,    h(-í,-2) = -10.
Protože je funkce h spojitá a elipsa kompaktní (omezená, uzavřená), musí h nabývat na elipse svého maxima a minima. Proto v [1,4] nabývá svého globálního maxima a v bodě [—1,-2] svého globálního minima. [1.5b za zdůvodnění a popis extrémů.]
2. a) [lb] Zderivujeme x2 — 4z2 + 2x — 8y + 8z = 0 parciálně podle x a y, přičemž chápeme z jako funkci
proměnných x a y. Dostaneme
4zx(z - 1) - (x + 1) = 0   a   zy(z-l) + l = 0,
což v bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] znamená zx = — ^ a zy = 1, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
b) [lb] Ukážeme výpočet všech druhých parciálních derivací. Další derivací Azx{z — 1) — (x + 1) = 0 podle x a podle y a také derivací zy(z — 1) + 1 = 0 podle y postupně dostáváme
4:Zxx(z - 1) + A(zx)2 - 1 = 0,    zxy(z - 1) + zxzy = 0   a   zyy(z - 1) + (zy)2 = 0.
V bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] a pro z^. = —j a, zy = 1 tedy dostáváme
Zn-a;     zxy \ _ [16     ~ 4 |
ZXy ZyyJ \—\ 1 J
[0.5b za postup výpočtu zxy a 0.5b za správný výsledek včetně matice druhých derivací]. Pozn.: V zadání se vyskytla chyba ve znaménku, zxx = —     a zyy = 1 jsou správné hodnoty. Toto ovšem na hodnocení nemělo vliv.
c) [lb] Taylorův polynom funkce z = f(x, y) se středem v počátku je
3 is
T2(a, b) = /(0, 0) + (-1 1) • Q + \{a, b) ^ J6      ~4 j Q =
= -^a + 6 - ^a2 - ia6 + i&2, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
3.    a) [1.5b] Hledané body jsou [0,-4], [0,2] a [2,0] + obrázek, [0.5b za náčrt, 0.5b za postup výpočtu bodů a 0.5b za správný úplný výsledek].
b) [2b] Množina A je plocha mezi křivkami y = x2 — 4ay = — x + 2 pro 0 < x < 2, [0.5b za meze intergráhi]. Tedy
r2     r—x+2 z.2
x dxdy = /    /        x dydx = /   x(—x2 — x + 6) dx = [— ^x4 — ^x3 + 3x2]q = a Jo  Jx2—4 Jo
[0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
Řešení a bodování MB203
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina B:
1. [3.5b] Podmínky pro stacionární bod [x,y] s Lagrangeovým multiplikátorem A jsou
4 = hx(x,y) = XFx(x,y) = 2Xx,    5 = hy(x,y) = XFy(x,y) = 10X(y - 1),   x2 + 5(y - l)2 = 21,
[0,5b]. Tato soustava rovnic má dvě řešení: A = |, [x, y] = [4, 2] a A = — |, [x, y] = [—4, 0]. [1.5b za postup a obě správná řešení].
Hodnoty funkce h ve stacionárních bodech jsou
/i(4,2) = 26,    h(-4,0) = -16.
Protože je funkce h spojitá a elipsa kompaktní (omezená, uzavřená), musí h nabývat na elipse svého maxima a minima. Proto v [4, 2] nabývá svého globálního maxima a v bodě [—4, 0] svého globálního minima. [1.5b za zdůvodnění a popis extrémů.]
2. a) [lb] Zderivujeme 2x2 — z2 — 4x + 2y + 8z = 0 parciálně podle x a y, přičemž chápeme z jako funkci
proměnných x a y. Dostaneme
zx(z -4) - 2(x - 1) = 0   a   zy(z-4)-1 = 0,
což v bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] znamená zx = ^ a, zy = —j, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
b) [lb] Ukážeme výpočet všech druhých parciálních derivací. Další derivací zx{z — 4) — 2{x — 1) = 0 podle x a podle y a také derivací zy(z — 4) — 1 = 0 podle y postupně dostáváme
zxx(z -4) + ((zx)2 - 2) = 0,   zxy(z-4) +zxzy = 0   a - 4) + (zy)2 = 0.
V bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] a pro z^. = ^ & zy = —j tedy dostáváme
Zn-a;     ^a;j( \ _ (      16 32 \
[0.5b za postup výpočtu zxy a 0.5b za správný výsledek včetně matice druhých derivací], c) [lb] Taylorův polynom funkce z = f(x, y) se středem v počátku je
T2(a, b) = /(0, 0) + (i, - i) • Q + i(a, 6) ŕ   f     ^2 j Q
32 64
= I a _ I b - ^a2 - ±ab + —b2
2        4        32 32     ^ 128 '
[0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
a) [1.5b] Hledané body jsou [0, —1], [0,5] a [—2,3] + obrázek, [0.5b za náčrt, 0.5b za postup výpočtu bodů a 0.5b za správný úplný výsledek].
b) [2b] Množina A je plocha mezi křivkami y = x2 — lay = x + 5 pro —2 < x < 0, [0.5b za meze intergráhi]. Tedy
/O     rx+5 M I      x dydx = /   x{—x2 + x + 6) dx = [— \xr + |x3 + 3x2]°_2 = ~"y--2Jx2-l J-2
[0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
Řešení a bodování MB203
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina X:
1. [3.5b] Podmínky pro stacionární bod [x,y] s Lagrangeovým multiplikátorem A jsou
3 = hx(x,y) = \Fx{x, y) = 2\{x - 1),    -4 = hy{x, y) = \Fy{x,y) = 8\y,    (x - l)2 + 4y2 = 13,
[0,5b]. Tato soustava rovnic má dvě řešení: A = -|, [x,y] = [4,-1] a A = —|, [x,y] = [—2,1]. [1.5b za postup a obě správná řešení].
Hodnoty funkce h ve stacionárních bodech jsou
/i(4,-1) = 16,    h(-2,í) = -10.
Protože je funkce h spojitá a elipsa kompaktní (omezená, uzavřená), musí h nabývat na elipse svého maxima a minima. Proto v [4, —1] nabývá svého globálního maxima a v bodě [—2, 1] svého globálního minima. [1.5b za zdůvodnění a popis extrémů.]
2. a) [lb] Zderivujeme 2x2 — 4z2 — 2x + y — 8z = 0 parciálně podle x a y, přičemž chápeme z jako funkci
proměnných x a y. Dostaneme
4zx(z + 1) - (2x - 1) = 0   a   8zy(z+ 1) - 1 = 0,
což v bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] znamená zx = — j a zy = |, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
b) [lb] Ukážeme výpočet všech druhých parciálních derivací. Další derivací 4zx(z + 1) — (2x — 1) = 0 podle x a podle y a také derivací 8zy(z + 1) — 1 = 0 podle y postupně dostáváme
2zxx(z + í) + 2(zx)2 - 1 =0,    zxy(z + 1) + zxzy =0   a   zyy(z + 1) + {zyf = 0.
V bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] a pro zx = — j a zy = | tedy dostáváme
Zn-a;     ^niA _ ( 16       32 \
[0.5b za postup výpočtu a 0.5b za správný výsledek včetně matice druhých derivací], c) [lb] Taylorův polynom funkce z = f(x, y) se středem v počátku je
T2(a,6)=/(0,0) + (-i,i)-Q+Í(a,6)rf   _3M Q
32 64/
4UT 8   ^ 32      ^ 32 128 '
[0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
3.    a) [1.5b] Hledané body jsou [0,1], [0, 7] a [2, 5] + obrázek, [0.5b za náčrt, 0.5b za postup výpočtu bodů a 0.5b za správný úplný výsledek].
b) [2b] Množina A je plocha mezi křivkami y = x2 + ía,y = —x + 7 pro 0 < x < 2, [0.5b za meze intergrálu]. Tedy
r2     r—x+7 r2
x dxdy = /    /        x dydx = /   x{—x2 — x + 6) dx = [— ^x4 — ^x3 + 3x2]q = a Jo  Jx2+1 Jo
[0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
Řešení a bodování MB203
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina Y:
1. [3.5b] Podmínky pro stacionární bod [x,y] s Lagrangeovým multiplikátorem A jsou
5 = hx(x, y) = XFx(x, y) = 10A(x - 1),    -4 = hy(x, y) = XFy(x, y) = 2Xy,   5(x - l)2 + y2 = 21,
[0,5b]. Tato soustava rovnic má dvě řešení: A = |, [x, y] = [2, —4] a A = — |, [x, y] = [0,4]. [1.5b za postup a obě správná řešení].
Hodnoty funkce h ve stacionárních bodech jsou
/i(2,-4) = 26,    /i(0,4) = -16.
Protože je funkce h spojitá a elipsa kompaktní (omezená, uzavřená), musí h nabývat na elipse svého maxima a minima. Proto v [2,-4] nabývá svého globálního maxima a v bodě [0,4] svého globálního minima. [1.5b za zdůvodnění a popis extrémů.]
2. a) [lb] Zderivujeme 4x2 — z2 — 2x + y — 2z = 0 parciálně podle x a y, přičemž chápeme z jako funkci
proměnných x a y. Dostaneme
zx(z+ 1) - (4x- 1) = 0   a   2zy(z + 1) - 1 = 0,
což v bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] znamená zx = —1 az9 = |, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
b) [lb] Ukážeme výpočet všech druhých parciálních derivací. Další derivací zx(z + 1) — {Ax — 1) = 0 podle x a podle y a také derivací 2zy{z + 1) — 1 = 0 podle y postupně dostáváme
zxx(z + 1) + (zx)2 - 4 = 0,    zxy(z + 1) + zxzy = 0   a   zyy(z + 1) + (zy)2 = 0.
V bodě [x, y, z] = [0, 0, 0] a pro zx = —1 a, zy =    tedy dostáváme
Zxx     Zxy\ _        / ^       2 j
ZXy ZyyJ \1 —li
[0.5b za postup výpočtu zxy a 0.5b za správný výsledek včetně matice druhých derivací], c) [lb] Taylorův polynom funkce z = f(x, y) se středem v počátku je
T2(a, b) = /(0, 0) + (-1, i) • Q + \{a, b) ^     2^j Q =
= -a + \b + |a2 + i<2Ď - \b2, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek].
a) [1.5b] Hledané body jsou [0, —3], [0,3] a [—2,1] + obrázek, [0.5b za náčrt, 0.5b za postup výpočtu bodů a 0.5b za správný úplný výsledek].
b) [2b] Množina A je plocha mezi křivkami y = x2 — 3 a j = i + 3 pro —2 < x < 0, [0.5b za meze intergrálu]. Tedy
/O     rx+3 M I      x dydx = /   x{—x2 + x + 6) dx = [— \xr + |x3 + 3x2]°_2 = ~"y-
[0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].