1. zkoušková písemka - MB203 - 7. 1. 2020 SKUPINA A Na řešení je 120 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) Najděte stacionární body a lokální extrémy funkce f(x,y) = x\n(x2 + y2). Zdůvodněte, proč nalezené extrémy nejsou globálními extrémy. 2. (5 bodů) Deska má tvar rovnoramenného trojúhelníka ABC se základnou B C velikosti 4 a výškou velikosti rovněž 4. Je vyrobena z materiálu, jehož hustota je úměrná druhé mocnině vzdálenosti od bodu A. Najděte vzdálenost těžiště desky od bodu B. Pro výpočet umístěte trojúhelník ABC vhodným způsobem v rovině xy a toto umístění v řešení načrtněte. 3. (5 bodů) Kouzelník Pokuston může při svém výstupu vytáhnout z klobouku maximálně dva černé králíky, jednoho bílého a tři hnědé králíky. Aby se obecenstvo nezačalo nudit vytahuje pouze čtyři králíky (na pořadí nezáleží). Nechť X je náhodná veličina udávající počet vytažených černých králíků a V je náhodná veličina udávající počet vytažených bílých králíků. a) Pomocí tabulky popište pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X, Y). b) Jsou veličiny X a Y stochasticky nezávislé? Svou odpověď zdůvodněte. c) Spočtěte střední hodnotu náhodné veličiny X a její rozptyl. d) Spočtěte kovarianci náhodných veličin X a Y. 4. (5 bodů) Agentura zjišťuje voličskou podporu nové politické strany. Všeobecně se předpokládá, že její podpora bude mezi jedním a deseti procenty. Kolik respondentů musí agentura oslovit s dotazem, zda by tuto stranu volili, aby se s pravděpodobností 95% výsledek průzkumu vyjádřený v procentech nelišil od očekávané hodnoty o více než procento? Udělejte odhad prvně pomocí Cebyševovy nerovnosti a potom pomocí Moivreovy-Laplaceo-vy věty a tabulky, kterou jste dostali. Rozdíl ve výsledcích komentujte. 1. zkoušková písemka - MB203 - 7. 1. SKUPINA B Na řešení je 120 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) Najděte stacionární body a lokální extrémy funkce f(x,y) =y\n(x2 + y2). Zdůvodněte, proč nalezené extrémy nejsou globálními extrémy. 2. (5 bodů) Deska má tvar rovnoramenného trojúhelníka ABC se základnou B C velikosti 2 a výškou velikosti 3. Je vyrobena z materiálu, jehož hustota je úměrná druhé mocnině vzdálenosti od bodu A. Najděte vzdálenost těžiště desky od bodu C. Pro výpočet umístěte trojúhelník ABC vhodným způsobem v rovině xy a toto umístění v řešení načrtněte. 3. (5 bodů) Kouzelník Pokuston může při svém výstupu vytáhnout z klobouku maximálně dva černé králíky, jednoho bílého a tři strakaté králíky. Aby se obecenstvo nezačalo nudit vytahuje pouze tři králíky (na pořadí nezáleží). Nechť X je náhodná veličina udávající počet vytažených černých králíků a V je náhodná veličina udávající počet vytažených bílých králíků. a) Pomocí tabulky popište pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X, Y). b) Jsou veličiny X a Y stochasticky nezávislé? Svou odpověď zdůvodněte. c) Spočtěte střední hodnotu náhodné veličiny X a její rozptyl. d) Spočtěte kovarianci náhodných veličin X a Y. 4. (5 bodů) Agentura zjišťuje voličskou podporu nové politické strany. Všeobecně se předpokládá, že její podpora bude mezi dvěma a deseti procenty. Kolik respondentů musí agentura oslovit s dotazem, zda by tuto stranu volili, aby se s pravděpodobností 90% výsledek průzkumu vyjádřený v procentech nelišil od očekávané podpory o více než procento? Udělejte odhad prvně pomocí Cebyševovy nerovnosti a potom pomocí Moivreovy-Laplaceovy věty a tabulky, kterou jste dostali. Rozdíl ve výsledcích komentujte. Řešení a bodování, skupina A Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů. 1. a) [1,5b] Parciální derivace jsou 2x2 2xy fx(x,y) = ln(x2 + y2) + ——-, fy(x,y) = ——-, [0,56]. Xi _|_ O xi _|_ Stacionární body jsou [0, ±1] a [±^,0], [lb]. b) [2.5b] Druhé parciální derivace jsou íxx{x,y) fxV(x,y) fyy(x, V) 2x 4xy2 x2 + y2 (x2 + y2)2 2y 4x2y x2 + y2 (x2 + y2)2 2x 4xy2 x2 + y2 (x2 + y2)2 [0,5b]. Matice druhých derivací ve stacionárních bodech jsou /O ±2\ 1 (±2e 0 [0,5b]. Matice d2(0,±l) jsou indefinitní, tedy v bodech [0,±1] lokální extrémy nejsou. [0,5b]. Matice d2(l/e,0) je pozitivně deŕinitní, v bodě je lokální minimum, [0,5b]. Matice d2{— 1/e, 0) je negativně deŕinitní, v bodě je lokální maximum, [0,5b]. c) [lb] Zjevně lim f(x,y) = oo, lim f(x,y) =-oo, (x,y)^>-{co,0) (a;,i/)->(-oo,0) tedy funkce f(x,y) globální extrémy mít nemůže. 2. [5b] Trojúhelník umístíme v rovině xy symetricky podle osy x tak, že A = [0, 0], B = [4, —2] a C = [4, 2]. [lb] Hmotnost je dána integrálem M = a(x2 + y2)dx dy = a / (x2 + y2)dy dx = a [x2y + y3/3]2^2/2 dx x/2 AABC Jo J-x/2 '" f4 13 3 , 13 • 16a a / — x dx ,o 12 3 [lb]. Obdobně spočítáme x-ovou souřadnici těžiště jako 1 ľ a ľ4 ľx/2 a f4 TT = — / ax(x2 + y2)dx dy = — / / (x3 + xy2)dy dx = — / \x3y + xy3/3\x^2,„ dx M JAABC 1 ' Mj0J_x/2K Mj0[ V ' l-x/2 a f4 13 4 16 = — / —x dx = —, M J0 12 5 ' [lb]. Protože je trojúhelník i jeho hustota symetrické podle osy x, je y-ová souřadnice těžiště rovna 0. [lb] Vzdálenost těžiště od bodu B je 16-A*+ 2'=^ 5 / 5 [lb]. 3. a) [lb] Pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru (X,Y) je tt(0, 0) = 0, tt(0, 1) = ^ tt(1, 0) = A, 7r(l, 1) = A, ^(2, 0) = A ^(2, l) = A. b) [lb] Náhodné veličiny Xa,Y nejsou nezávislé, neboť 0 = P(X < 0 A Y < 0) ^ P(X < 0) • P(Y < 0) = 15 ' 15' =) [lb] ^ = 0-é+1-ž+2-ž = f- [0<5b]< 1 DX = E(X2) - (EX)2 = 0 ■ 15 1 15 6 16 _ 32 16 _ 16 15~¥~15~¥~45' [0,5b]. d) [2b] ^(X,Y) = E(XY)-EX.Ey = 0.^ + l.^ + 2.±-Í.^ 12 8 15 ~ 9 4 45' 4. Voličská podpora nové strany je p ■ 100 %. K matematickému modelu úlohy použijeme náhodnou veličinu X s binomickým rozložením Bi(p, n]. Chceme zdola odhadnout číslo n tak, aby platilo P X --P n < 0,01) = 0.95, [lb]. Prvně použijeme Čebyševovu nerovnost [1,5b] P(\X-EX\l-y-^f±. (1) (2) Víme, že EX = np a vwc(X) = np(í —p). Proto levou stranu (1) napíšeme ve tvaru levé strany (2). np(í — p) P(\X -np\ < 0,01n) > 1 - (0,01F [0 ,5b]. Odhad pro n uděláme tak, že budeme požadovat, aby pravá strana poslední nerovnice byla rovna 0,95, tj 1 _ f(! - P) = 0.95. Odtud (0,01)2n n > 20 -p(í -p) ■ 1002 Použijeme skutečnost, že p < 0,1 a že kvadratická funkce f(p) = p(í — p) je rostoucí na intervalu [0, ^]. Proto n > 20 • p(í - p) ■ 1002 > 20 • Í00A * ToT5 = 18m> [lb]- Nyní použijeme Moivreovu-Laplaceovu větu, [2,5b] která říká, že pro velká n je rozložení náhodné veličiny X — np yjnp(\ -p) blízké standardnímu normálnímu rozdělení N(0,1). Nerovnost (1) můžeme tedy psát takto: P X — np yjnp(\ -p) < 0,01n > 0.95, [0,5b]. (3) Jestliže $ je distriibuční funkce N (0,1), pak pravděpodobnost vlevo je rovna y/np(í -p)) \ \y/np(l -p)) ) proto .(*^)> 1^ = 0, .75. (0,5b) y y/np(l -p)j £ Aplikací _1 dostaneme 0 01 n , , > *_1 (0,975) = 1,96, [0,5b]. yfnp{\ -p) Tedy n > 1002 (l,96)2p(l -p). Použijeme, že p < 0,1 a opět že funkce f(p) = p(í — p) je rostoucí na intervalu [0, ^]. Dostaneme n > ^ • 1002 (1, 96)2 > 900 • 3, 84 = 3457, 44. Proto n > 3458, [0,5b]. Odhad pomocí normálního rozdělení je přesnější. [0,5b] Řešení a bodování, skupina B Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů. 1. a) [1,5b] Parciální derivace jsou xz + y ar + yz Stacionární body jsou [±1,0] a [0,±^], [lb]. b) [2.5b] Druhé parciální derivace jsou 2y 4x2y x2 + y2 (x2 + y2)2 2x 4xy2 x2 + y2 (x2 + y2)2 2y 4x2y x2 + y2 (x2 + y2)2 ' [0,5b]. Matice druhých derivací ve stacionárních bodech jsou #(±1,o>=(±»2 f). #-{0,co) (x,y)^>(0,-co) tedy funkce f(x,y) globální extrémy mít nemůže. 2. [5b] Trojúhelník umístíme v rovině xy symetricky podle osy x tak, že A = [0, 0], B = [3, — 1 a C = [3,1]. [lb] Hmotnost je dána integrálem í- í-3 fx/3 r3 M = a(x2 + y2)dx dy = a / (x2 + y2)dy dx = a [x2y + y3/3]2l{f/3 ctc Jaabc Jo J-x/3 Jo x ľ 20 = a —x dx = 15a, Jo 27 [lb]. Obdobně spočítáme x-ovou souřadnici těžiště jako Tx = T7 I ax(x2 +y2)dxdy = — / / (x3 + xy2)dy dx = — / [x3y + xy3/3]x_^/3 dx a f3 20 A , 12 M Jaabc m Jo J-x/3 m Jo — / —x4 dx = — M J0 27 5 [lb]. Protože je trojúhelník i jeho hustota symetrické podle osy x, je y-ová souřadnice těžiště rovna 0. [lb] Vzdálenost těžiště od bodu C je í2-3)\l2=VM 5 / 5 [lb]. 3. a) [lb] Pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru (X,Y) je t(0,0) = 4 tt(0,1) = 4 ^(1'°) = 4' *(M) = |:, t(2,0) = 4 7r(2,l)= 1 20' v ' ' 20' v ' ' 20 b) [lb] Náhodné veličiny X a Y nejsou nezávislé, neboť 1 20' 20' 20 — = P(X < 0 A ľ < 0) / P(X < 0) • P(Y < 0) = — • — = —. 20 1 ~ ~ ' ^ y ~ ' y ~ ' 20 20 10 =) [lb] SX = 0~ + l~+2-420 =l, [0,5b], DX = E(X2) - (EX)2 = 0 ■ 20 1 12 20 20 -1 = 0-1 = 0, [0,5b]. d) [2b] cov(X,Y)=E{XY)-EX.EY = 0.£ + l.±+2.±-l.± _8_ 1 20 ~ 2 1 4. Voličská podpora nové strany je p ■ 100 %. K matematickému modelu úlohy použijeme náhodnou veličinu X s binomickým rozložením Bi(p, n]. Chceme zdola odhadnout číslo n tak, aby platilo P X --P n < 0,01) =0.9, [lb]. Prvně použijeme Čebyševovu nerovnost [1,5b] P(\X-EX\l-^l. (4) (5) Víme, že EX = np a vwc(X) = np(í —p). Proto levou stranu (1) napíšeme ve tvaru levé strany (2). np(í — p) P(\X -np\ < 0,01n) > 1 - (0,01F [0 ,5b]. Odhad pro n uděláme tak, že budeme požadovat, aby pravá strana poslední nerovnice byla rovna 0,9, tj 1 - P{1 -f = 0.9. Odtud (0,01)2n n > 10 -p(í -p) ■ 1002 Použijeme skutečnost, že p < 0,1 a že kvadratická funkce f(p) = p(í — p) je rostoucí na intervalu [0, ^]. Proto n > 10 • p(í - p) ■ 1002 > 10 • 1002 * ^^ = 9900, [lb]. Nyní použijeme Moivreovu-Laplaceovu větu, [2,5b] která říká, že pro velká n je rozložení náhodné veličiny X — np yjnp(\ -p) blízké standardnímu normálnímu rozdělení N(0,1). Nerovnost (1) můžeme tedy psát takto: P X — np yjnp(\ -p) < 0,01n >0.9, [0,5b]. (6) Jestliže $ je distriibuční funkce N (0,1), pak pravděpodobnost vlevo je rovna y/np(í -p)) \ \y/np(l -p)) ) proto 4(^Í=)>I±^ = 0,95, [0,5b, y y/np(l -p)j £ Aplikací _1 dostaneme , , > *-H0,M) = 1,65, [0,5b]. yfnp{\ -p) Tedy n > 1002 (l,65)2p(l -p). Použijeme, že p < 0,1 a opět že funkce f(p) = p(í — p) je rostoucí na intervalu [0, ^]. Dostaneme 2J n> ^ • 1002 (1, 65)2 > 900 • 2, 72 = 2450, 25. Proto n > 2451, [0,5b]. Odhad pomocí normálního rozdělení je přesnější. [0,5b]