2. zkoušková písemka - MB203 - 21. 1. 2020 SKUPINA A Na řešení je 120 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) Najděte stacionární body a lokální extrémy funkce f(x,y) = ex2-y(5-2x + y). Dále zjistěte, zda je tato funkce na IR2 ohraničená zdola nebo shora. 2. (5 bodů) V IR3 uvažujme množinu M = {[x, y, z] G M3; x2 + y2 < z < A(x2 + y2), z < 4}. a) Načrtněte průnik množiny M s rovinou xz. b) Spočítejte objem množiny M. 3. (5 bodů) Nechť X je náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí í 0 x < 0 F (x) = l &f x G (0,3) ^ C2 X > 3. a) Určete hodnoty c\ a C2 tak, aby funkce F(x) byla skutečně spojitou distribuční funkcí náhodné veličiny. b) Určete hustotu pravděpodobnosti j (x) náhodné veličiny X. c) Určete medián náhodné veličiny X. d) Určete distribuční funkci G(y) náhodné veličiny Y = ex. Pro G(y) najděte explicitní předpis pomocí elementárních funkcí a rozdělení IR na vhodné intervaly. 4. (5 bodů) Uvažme trojúhelníkovou oblast A C IR2 s vrcholy [0,0], [2,0] a [0,2] a dále náhodný vektor (X, Y), který popisuje souřadnice bodů a má rovnoměrné rozdělení na množině A. a) Určete sdruženou hustotu f(x,y) náhodného vektoru (X, Y). b) Určete sdruženou distribuční funkci F(x,y) náhodného vektoru (X, Y) pro x G [0,2] a y e [0,2]. c) Určete marginální hustotu fx(x)- d) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. e) Určete pravděpodobnosti P(X = Y) a P(X2 + Y2 < 1). Připomeňme, že rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na množině A má konstantní hustotu pravděpodobnosti na této množině - tuto konstantu je třeba určit. 2. zkoušková písemka - MB203 - 21. 1. SKUPINA B Na řešení je 120 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (5 bodů) Najděte stacionární body a lokální extrémy funkce f(x,y) = ex2-y(2x + y-l). Dále zjistěte, zda je tato funkce na IR2 ohraničená zdola nebo shora. 2. (5 bodů) V IR3 uvažujme množinu M = {[x, y, z] e M3; x2 + y2 < z < 9(x2 + y2), z < 9}. a) Načrtněte průnik množiny M s rovinou xz. b) Spočítejte objem množiny M. 3. (5 bodů) Nechť X je náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí í 0 x < 0 F(x)=\ a£ x E (0,2) { c2 x>2. a) Určete hodnoty c\ a c2 tak, aby funkce F (x) byla skutečně spojitou distribuční funkcí náhodné veličiny. b) Určete hustotu pravděpodobnosti f (x) náhodné veličiny X. c) Určete medián náhodné veličiny X. d) Určete distribuční funkci G (y) náhodné veličiny Y = ex. Pro G (y) najděte explicitní předpis pomocí elementárních funkcí a rozdělení IR na vhodné intervaly. 4. (5 bodů) Uvažme trojúhelníkovou oblast A C IR2 s vrcholy [0,0], [4,0] a [0,4] a dále náhodný vektor (X, Y), který popisuje souřadnice bodů a má rovnoměrné rozdělení na množině A. a) Určete sdruženou hustotu f(x,y) náhodného vektoru (X, Y). b) Určete sdruženou distribuční funkci F(x,y) náhodného vektoru (X, Y) pro x G [0,4] a y e [0,4]. c) Určete marginální hustotu fx(x)- d) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. e) Určete pravděpodobnosti P(X = 1 - Y) a P(X2 + V2 < 4). Připomeňme, že rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na množině A má konstantní hustotu pravděpodobnosti na této množině - tuto konstantu je třeba určit. Řešení a bodování, skupina A Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů. 1. — [1,5b] Parciální derivace jsou fx(x,y) = ex2-y(ÍOx-4x2 + 2xy-2), fy(x, y) = ex'-y(2x - y - 4), [0,56]. Stacionární bod je [1,-2], [lb]. — [2,5b] Druhé parciální derivace jsou fxx(x, y) = ex2-y(20x2 - 8x3 + Ax2y - Í2x + 2y+ 10), fxy(x, y) = ď2-y{Ax2 - 2xy - 8x + 2), fyy(x,y)=ex2-v(-2x + y + 3), [lb]. Matice druhých derivací ve stacionárním bodu je d2(l,-2) = e 2/1 o^ _ „3 / ~~2 2 [0,5b]. Matice je indefinitní, tedy v bodě [1, —2] je sedlo a funkce nemá žádné lokální extrémy, [lb]. — [lb] Zjevně lim f(x, 0) = —oo, lim f(x, 0) = oo, x—> — oo tedy funkce f(x,y) není ohraničená zdola ani shora. 2. a) [lb] Náčrtek s dvěma parabolami procházejícími počátkem, ze kterého je zřejmé, že v integrálu musíme zvlášť počítat pro r E [0, 1] are [1,2]. b) [4b] Použijeme válcové souřadnice, přitom buď 0 < r < 1, r2 < z< Ar2, a G [0, 2tt] nebo 1 < r < 2, r2 < z < 4, ae[0,27r]. [lb]. Objem množiny M je možno spočítat třemi způsoby, jedna z možností je f f r-2ir fl r-4r2 r-2ir r-4 r-4 / 1 dx dy dz = I r dz dr da = I / / r dz dr da + / / r dz dr da [lb] Jm Jm Jo Jo Jr2 Jo Ji Jr2 í-2tt rl ľ4r2 ľ2Tr ľ4 ľ4 vol M (' ' ' 'o Jo r2-K rl p2ir p2 „2 J2\ i j„, i / / „/ä 2\ r(4r — r ) dr da + j / r(4 — r ) dr da [lb] o Jo Jo Ji 2-ir 2rz - 3 o 2 3 9 da = 2tt - + 2tt - = 6tt. [lb] 1 4 4 3. a) [lb] Distribuční funkce splňuje liirLr-^oo F (x) = 1, tj. c2 = 1, [0.5b]. Distribuční funkce je spojitá, tj. linia,.^ £jf- = 1, proto ci = -i, [0.5b]. b) [0.5b] Derivováním dostaneme í 0 x < 0 f(x)=\ f x e (0,3) [O x > 3. c) [lb] Hledáme x G (0, 3) takové, že f(ť)dt = ^-dt = \, [0.5b]. Spočteme x^dt=-\il]i = — = -, o 9 9L J0 9 2' tj. x= ^, [0.5b]. d) [2.5b] Platí G (y) = P (Y < y) = P(ex < y), [0.5b]. Tedy G (y) = 0 pro y < 0, [0.5b]. Dále pro y > 0 dostaneme G (y) = P (X < lny) = F(lny). Jelikož lny < 0 pro y E (0,1], i na tomto intervalu bude G (y) = 0, [0.5b]. Dále lny e (0, 3) znamená y E (í, e3), [0.5b], úplný výsledek je 0 y e3. a) [0.5b] Obsah pravouhlého trojúhelníka A je 2, tedy /<*■»> = { Ž ítA b) [2b] Pro x e [0, 2] a y e [0, 2] předpokládejme prvně 0 < x+y < 2. Potom bod [x, y] leží v trojúhelníku A a F(x, y) je polovina obsahu obdélníku o stranách x a y. Tedy F(x, y) = -xy pro x > 0, y > 0, x + y < 2, [0,5b]. Nyní předpokládejme x + y > 2. Bod [x, y] leží ve čtverci [0, 2] x [0, 2] vně trojúhelníka A. Proto je distribuční funkce F(x,y) rovna jedné polovině obsahu čtverce o stranách x a y bez jedné poloviny obsahu pravoúhlého trojúhelníka o odvěsnách x + y — 2. F(x,y) = ^xy-^(x + y-2)2, pro x G [0, 2], y G [0, 2], x + y > 2, [1,5b]. c) [lb] Platí f x (x) = Jľľ^o f(x,y)dy, zjevně tedy může být f x (x) nenulové pouze pro 0 < x < 2. Pro takové x dostaneme 2-X 1 1 f x (x) = J -dy = --x + l, [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek]. d) [0,5b] Máme fx(x) = ~\x + 1 Pro x <= (0, 2) a symetricky platí f y (y) = ~\v + 1 Pro V *= (0; 2). Zjevně tedy pro taková x a y dostaneme f (x,y) =/= íx{x) ■ f y {y), t]. X & Y nejsou nezávislé. e) [lb] Podmínka X = Y zadává jednorozměrnou množinu, tedy P (X = Y) = 0, [0.5b]. Podmínka X2 + Y2 < 1 určuje kruh o poloměru 1 se středem v počátku, jehož průnik s množinou A je čtvrtkruh o obsahu \tt. Tedy P(X2 + Y2 < 1) = |tt, [0.5b]. Řešení a bodování, skupina B Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů. 1. — [1,5b] Parciální derivace jsou fx(x,y) =ex2-y(4x2 + 2xy-2x + 2), fy(x,y) = ex'-y(-2x - y + 2), [0,56]. Stacionární bod je [—1,4], [lb]. — [2,5b] Druhé parciální derivace jsou fxx(x, y) = ex'-y(8x3 + Ax2y - Ax2 + Í2x + 2y-2), fxy(x, y) = ď2-y{-Ax2 - 2xy + Ax - 2), fyy(x,y) = ex2-y(2x + y-3), [lb]. Matice druhých derivací ve stacionárním bodu je [0,5b]. Matice je indefinitní, tedy v bodě [—1,4] je sedlo a funkce nemá žádné lokální extrémy, [lb]. — [lb] Zjevně lim f(x,0) = oo, lim f(x,0) = —oo, x—>oo x—> — oo tedy funkce f(x,y) není ohraničená shora ani zdola. 2. a) [lb] Náčrtek s dvěma parabolami procházejícími počátkem, ze kterého je zřejmé, že v integrálu musíme zvlášť počítat pro r G [0, 1] a r G [1,3]. b) [4b] Použijeme válcové souřadnice, přitom buď 0 3. c) [lb] Hledáme x G (0, 2) takové, že Jxx f(t)dt = ^-dt = \, [0.5b]. Spočteme r st2 , ir , tj. x = s/4, [0.5b]. <-*3t2 ,. lr+3 1 Jo — o ~~ o' d) [2.5b] Platí G (y) = P (Y < y) = P(ex < y), [0.5b]. Tedy G (y) = 0 pro y < 0, [0.5b]. Dále pro y > 0 dostaneme G (y) = P (X < lny) = F(lny). Jelikož lny < 0 pro y E (0,1], i na tomto intervalu bude G (y) = 0, [0.5b]. Dále lny e (0, 2) znamená y E (í, e2), [0.5b], úplný výsledek je 0 y e2. a) [0,5b] Obsah pravouhlého trojúhelníka A je 8, tedy /<*■»>=U ítA b) [2b] Pro x e [0, 4] a y e [0, 4] předpokládejme prvně 0 < x+y < 2. Potom bod [x, y] leží v trojúhelníku A a F(x, y) je osminou obsahu obdélníku o stranách x a y. Tedy F(x, y) = —xy pro x > 0, y > 0, x + y < 4, [0,5b]. 8 Nyní předpokládejme x + y > 2. Bod [x, y] leží ve čtverci [0, 2] x [0, 2] vně trojúhelníka A. Proto je distribuční funkce F(x,y) rovna jedné osmině obsahu čtverce o stranách x a y bez jedné osminy obsahu pravoúhlého trojúhelníka o odvěsnách x + y — 4. F(x,y) = \xy- ^{x + y-Af, pro x e [0,4], y e [0,4], x + y > 4, [1,5b]. c) [lb] Platí fx{x) = Jľľ^o f(x, y)dy, zjevně tedy může být f x (x) nenulové pouze pro 0 < x < 4. Pro takové x dostaneme ,4-* x x x /*(*) = yo 8dy = "8a;+2' [0.5b za postup a 0.5b za správný výsledek]. d) [0,5b] Máme fx(x) = ~]}x + \ W° x G (0,4) a symetricky platí /y(y) = — |y + ^ pro y e (0,4). Zjevně tedy pro taková x a y dostaneme f (x,y) =/= íx{x) ■ f y {y), t]. X & Y nejsou nezávislé. e) [lb] Podmínka X = 1 — Y zadává jednorozměrnou množinu, tedy P (X = 1 — y) = 0, [0.5b]. Podmínka X2 + Y2 < 4 určuje kruh o poloměru 2 se středem v počátku, jehož průnik s množinou A je čtvrtkruh o obsahu \ ■ 4tt = ir. Tedy P(X2 + Y2 < 4) = | • tt = |tt, [0.5b].