Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Matematika 111-12. přednáška Náhodné veličiny - číselné charakteristiky, normální rozdělení, limitní věty Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 8. 12. 2014 Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo přednášky ^^^^^|^^^^H^^^^^|^^^^^| Q Číselné charakteristiky náhodných veličin Q Limitní věty a odhady Q Normální rozdělení a rozdělení odvezená Q Náhodný výběr Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. o Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. 9 Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooooooooooooo Limitní věty a odhady OOOOOOOO Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Plán přednášky Q Číselné charakteristiky náhodných veličin Při statistickém zkoumání hodnot náhodných veličin (např. zpracování výsledků nějakého měření) hledáme výpovědi o náhodné veličině pomocí různých z ní odvozených čísel. Jako nejjednodušší příklad může sloužit střední hodnota1 E(X) náhodné veličiny X, která je definována Obecně střední hodnota náhodných veličin nemusí existovat, protože příslušné sumy či integrály nemusí konvergovat. J2i xi ' Px{xi) Pro diskrétní veličinu x • fx(x)dx pro spojitou veličinu. 1 Často se místo E(X) píše EX. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr O0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Střední hodnota transformované náhodné veličiny Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y — ip(X) náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst E{Y) = YJYjP{y = Yj) j j ^(X/-)=y/- = £>(x,-)P(X = x/) = X>(*/)6c(x;). Je tedy E(íp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce fx- Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr O0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Střední hodnota transformované náhodné veličiny Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y — ip(X) náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst E(Y) = Y,yjP(Y = yj) j j ^(X/-)=y/- = = Xi) = 5>(x;)6<(x/). Je tedy E(íp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce nepodobně vyjadřujeme střední hodnotu funkce ze spojité náhodné veličiny: /oo V>(x)6<(x)dx, -oo pokud tento integrál absolutně konverguje. Číselné charakteristiky náhodných veličin OO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Limitní věty a odhady oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oo«ooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Řešení Pro X ^ bí(a7, p) je EM=f> (;V(i - p)*-*= k=0 ^ ' n (n-l) „„V^ K"-"-)1 „k-ln n\n-k ťi (n - k)\(k - 1) k= n-l (n-l) j=0 (n-1-7)1/1 = np(p + (1 - p))" ^np. to- - p) n-l-j _ Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooo«oooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Necht a, b £ K. a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E(a) = a, □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Necht a, b g m a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E(a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), □ s = Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Nechť a,beR a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E (a) = a, • E(a + bX) = = a + bE{X), • E{X +Y) = -E(X) + E(Y), □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b e M. a X,Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E(a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-li X a Y nezávislé, pak E{XY) = E(X) ■ E(Y). □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b e M. a X,Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E(a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-li X a Y nezávislé, pak E{XY) = E(X) ■ E(Y). □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normálni rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr ooo«oooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti strední hodnoty Necht a,í)GRaX,y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E(a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X+Y) = E(X) + E(Y), • jsou-li X a Y nezávislé, pak E{XY) = E (X) • E(Y). Důkazy těchto tvrzení jsou přímočaré, zkuste si je udělat! □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad Spočtěme ještě jednou strední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností strední hodnoty. □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooo«ooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Vyjádříme počet zdarů v n pokusech jako počet zdarů v jednotlivých pokusech n x = 5> k=l přičemž náhodné veličiny Yk mají všechny alternativní rozdělení A(p). Snadno spočítáme E(Yk) = 1 • p + 0 • (1 — p) = p. Dále víme, že střední hodnota součtu je součtem středních hodnot, proto n E(X) = Y,E(Yk) = np. k=l Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooo«oooooooooooooooooooo Limitní věty a odhady oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotónní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —>> IR. To znamená, že hodnota y = F~1{a) je taková, že P(X < y) — a. Obecněji, je-li /~x(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F~ľ(a) = inf{x G R; F (x) >a}, a e (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooo«oooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotónní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —>> IR. To znamená, že hodnota y = F~1{a) je taková, že P(X < y) — a. Obecněji, je-li /~x(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F~ľ(a) = inf{x G R; F (x) >a}, a e (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. Nejčastěji jsou používané kvantily s a = 0.5, tzv. medián, s a = 0.25, tzv. první kvartil, a = 0.75, tzv. třetí kvartil, a podobně pro decily a percentily (kdy je a rovno násobkům desetin a setin). K těmto hodnotám se vrátíme v popisné statistice později. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Rozptyl a směrodatná odchylka Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo odmocnina z rozptylu y D(x) se pak nazývá směrodatná odchylka. D(X) = varX = E([X - E(X)]2) Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooo«oooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D(X) = E(X2) - E{Xf, Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooo«oooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D(X) = E(X2) - E{Xf, O D(a + bX) = b2D(X), Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooo«oooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D(X) = E(X2) - E{X)2, O D(a + bX) = b2D(X), Q ^D(a + bX) = \b\y/Ď(X). □ S = Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooo«oooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D(X) = E(X2) - E{X)2, O D(a + bX) = b2D(X), Q ^D(a + bX) = \b\y/Ď(X). □ S = Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooo«oooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D(X) = E(X2) - E(X)2, O D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\y/Ď{X). Důkaz. Důkaz je přímočarý. Poznamenejme, že tvrzení 1 se často používá k výpočtům D[X). □ □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)\). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)}). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) — 0, říkáme nekorelované Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí. O C(X, V) = C(V,X), Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)}). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí. O C(X,Y) = C(Y,X), Q C(X,X) = D(X), Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) — 0, říkáme nekorelované . Věta_ Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O C(X, Y) = C(Y,X), O C(X,X) = D(X), O C(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y), Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) — 0, říkáme nekorelované . Věta_ Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O C(X, Y) = C(Y,X), O C(X,X) = D(X), O C(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y), Q C (a + bX,c + dY) = bd ■ C(X, Y), Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooo«ooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O C(X,Y) = C(Y,X), Q C(X,X) = D{X), O C(X, Y) = E{XY) - E{X)E{Y), O C(a + bX,c + dY) = bd • C(X, Y), O D(X +Y) = D(X) + D(Y) + 2C(X, Y), speciálně, jsou-li X, Y nezávislé, je D(X + Y) = D(X) + D(Y), tj. C(X, Y) = 0 a X, Y jsou nekorelované. V) ci, o Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady ooooooooo«oooooooooooooooo oooooooo Koeficient korelace Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R(X, Y) = PXíY = C X - E(X) Y — E(Y) y/D{X) ' y/Ď{Y) □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo«oooooooooooooooo Koeficient korelace Limitní věty a odhady OOOOOOOO Normální rozdělení a rozdělení odvezená oooooooo Náhodný výběr ooooooooo Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R{X, Y) = pX,y = C X - E(X) Y — E(Y) O R(X,X) = 1 □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady ooooooooo«oooooooooooooooo oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R{X, Y) = px,Y = C X - E(X) Y - E(Y) y/D(X) ' y/D(Y) O R(X,X) = 1, Q R(a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R{X,Y) = px,Y = C X - E(X) Y - E(Y) VW) ' \fD(Y) Věta O R(X,X) = 1, O R(a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), Q jsou-li X, Y nezávislé, je R(X, Y) = 0, □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooooo«oooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R(X,Y) = pXv = C X-E(X) Y - E (Y) Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), Q jsou-li X, Y nezávislé, je R(X, Y) = 0, O (Cauchyova nerovnost) \R(X, Y)\ < 1. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad J Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Řešení Stejně jako dříve lze psát X = J2k=i ^» ^de ^1? ■ ■ ■ ? Jsou nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v /c-tém pokusu. Snadno vypočteme E(Y%) — l2 • p + O2 • (1 — p) = p, proto D{Yk) = E(Y2) - E{Ykf = p - p2 = p(l - p). Protože pro nezávislé V* platí D(£ V^) = £ Diyk), je D(X) = np(l - p). □ = 5 /)C\(V Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooooooo«oooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Příklady k procvičení Příklad Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí P(x) = { 1 3 1 2 1 6 0 pro x pro x pro x jinak. -2 3 1 Určete E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a D(2X + 1) Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooooooo«oooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Příklady k procvičení Příklad Náhodná veličina X je dána pravděpodobnostní funkcí 1 3 1 2 1 6 0 pro x pro x pro x jinak. -2 3 1 Určete E(X), E(2X + 5), E(X2), D(X) a D(2X + 1) Příklad Nekorelované náhodné veličiny X a Y mají rozptyly D(X) = a a D(Y) — 2. Určete konstantu a, jestliže rozptyl náhodné veličiny Z = 3Y-X je D(Z) = 25. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooo«ooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Normovaná náhodná veličina a limitní věty Všimněme si, že výraz , n p vystupující v Moivre-Laplaceově y/np{l-p) X —E(X ) větě je totéž, co " v n) a jde tedy o tzv. normovanou v D(xn) náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transformovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n oc se rozložení této náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). větě je totéž, co \ y n Všimněme si, že výraz náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transformovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n —> oc se rozložení této náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). Jde o speciální případ limitních vět, ukazujících, že za určitých podmínek platí „zákony velkých čísel", kdy se obdobným způsobem transformované náhodné veličiny chovají jako normální rozdělení. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty a4 = E(Xk) a k-té centrální momenty = E([X - E(X)]k). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOO oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty a4 = E(Xk) a k-té centrální momenty /i* = E([X - E(X)]k). Pomocí momentů pak definujeme např. šikmost (asymetrii) náhodné veličiny X jako nebo špičatost (exces) jako D(x) -3. □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo 30 20 - 10 - Kladná šikmost distribuce (více vysokých kladných hodnot než odpovídá normálnímu rozdělení s nulovou šikmostí). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné t € R Mx(t) = E(etX) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. □ s = Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné tel Mx(t) = E(etX) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Poznámka Je-li X např. spojitá, platí /oo etxf(x)dx = -oo —oo 'OO r°° t2x2 / (l + tx + —r + ...)f(x)dx = = 1 + t/ii + + • • • a jde vlastně o exponenciální vytvořující funkci posloupnosti /c-tých obecných momentů ji'k. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Věta 1 Pro momentovou vytvořující funkci platí: • M/c = ^Mx(t) |t=0. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooo«ooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • Platí-li Mx(t) = MY(t) pro všechna t g (-b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. F x (x) = Fy (x). □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • Platí-li Mx(t) = MY(t) pro všechna t e {-b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx(x) = Fy (x). • Ma+bX{t) = eatMx(bt). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • f*k = 5FM*(ŕ) lt=o- • Platí-li M x (t) = My (t) pro všechna t e (-b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. F* (x) = Fy{x). • Ma+bX(t) = eatMx(bt). • Jsou-li X, Y nezávislé, je Mx+y(t) = Mx{t)MY{t). □ S1 = Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooo«oooooooo Limitní věty a odhady OOOOOOOO Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooooooooooooo«oooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. Řešení M(t) = E(etx) = £ etk (") pk(l - pY~k = k=0 ÉQ(pe')'(l -p)-k = k=0 (pef + (l-p))" = (p(eř-l) + l)" J Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooooooooooooo«oooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Řešení M{t) = E{etX) = Yjetk(n\Pk{l-p) n-k k=0 k=0 V 7 - P)n~k = = (peř + (l-p))" = (p(ef-l) + l)". Snáze jsme mohli funkci určit s využitím předchozích vět a momentové vytvořující funkce alternativního rozdělení, neboť pro Y ~ A(p) je E(etY) = evl • p + et0(l - p) = p(ef - 1) + 1. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooo«ooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooo«ooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Řešení M(t) = (p(eř - 1) + 1)", proto je M(ŕ) = n(p(eŕ-1) + 1)"-Vp, dř což pro t = 0 dá E(X) = \JX = np. Podobně spočítáme i D(X) = p!2 — (pí)2 Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady ooooooooooooooooooo«oooooo oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Příklady k procvičení Příklad Náhodná veličina X má na intervalu (0,a) konstantní hustotu pravděpodobnosti (a jinde nulovou). S využitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určete: O E(2X + 3), Q E(3X2-2X + 1), O D(2X + 3), O D(X2 + 1), □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Příklady k procvičení Příklad Náhodná veličina X má na intervalu (0, a) konstantní hustotu pravděpodobnosti (a jinde nulovou). S využitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určete: O E(2X + 3), O E(3X2-2X + 1), O D(2X + 3), O D(X2 + 1), Příklad Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení (tj. pravděpodobnostní funkci p(x) = ^e_A)- Určete její (momentovou vytvořující funkci,) střední hodnotu a rozptyl □ Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOO oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená oooooooo Náhodný výběr ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných vektorů E(X) = (E(Xi),..., E(Xn)) se nazývá vektor středních hodnot, □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných vektorů E(X) = (E(Xi),..., E(Xn)) se nazývá vektor středních hodnot, var(X) = D(X1) C(Xi,X2) C(Xn>Xi) C(X„,X2) c(Xi,xny D(Xn) varianční (rozptylová) matice a Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOO oooooooo oooooooo Číselné charakteristiky náhodných vektorů E(X) = (E(Xi),..., E(Xn)) se nazývá vektor středních hodnot, var(X) = D(Xi) C(Xi,X2) C(Xn>Xi) C(X„,X2) varianční (rozptylová) matice a R(X!,X2) corX = fi(X„,Xi) R{Xn,X2) C{X1}Xn) D(Xn) K(Xi,X„) je korelační matice, Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOO oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená OOOOOOOO Náhodný výběr ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných vektorů E(X) = (E(Xi),..., E(Xn)) se nazývá vektor středních hodnot, var(X) = D(X1) C(Xi,X2) C(X„,Xi) C(X„,X2) c(Xi,xny D(Xn) varianční (rozptylová) matice a R(XUX2) R(XuXn) corX = /?(Xn,Xi) R(Xn,X2) je korelační matice. Snadno je po rozepsání po jednotlivých složkách vidět, že var(X) = E((X - E(X)) • (X - E(X)H >0 Q,o Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr ooooooooooooooooooooo«oooo oooooooo oooooooo ooooooooo Ukážeme na příkladech, že pravděpodobnostní struktura náhodného vektoru (X, Y) není určena pouze marginálními rozděleními veličin X a V. Podstatný je rovněž pravděpodobnostní vztah mezi X a Y, který je částečně popsán např. prostřednictvím korelačního koeficientu. □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOO oooooooo oooooooo ooooooooo Ukážeme na příkladech, že pravděpodobnostní struktura náhodného vektoru (X, Y) není určena pouze marginálními rozděleními veličin X a Y. Podstatný je rovněž pravděpodobnostní vztah mezi X a Y, který je částečně popsán např. prostřednictvím korelačního koeficientu. Příklad 1 Jsou-li X a Y náhodné veličiny, nabývající hodnot 0 a 1, pak P(X = 1, Y = 1) - P(X = 1)P(Y = 1) = E(XY) - E(X)E(Y) = = C(X, Y). 4 □ ► 4 [fP Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOO Limitní věty a odhady oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená oooooooo Náhodný výběr ooooooooo Ukážeme na příkladech, že pravděpodobnostní struktura náhodného vektoru (X, Y) není určena pouze marginálními rozděleními veličin X 3 Y. Podstatný je rovněž pravděpodobnostní vztah mezi Xa V, který je částečně popsán např. prostřednictvím korelačního koeficientu. Jsou-li Xa Y náhodné veličiny, nabývající hodnot 0 a 1, pak P(X = 1, Y = 1) - P(X = 1)P(Y = 1) = E(XY) - E(X)E(Y) = = C(X, Y). Odtud je snadno vidět, že (pouze pro binární n.v. X, Y) pokud jsou X a Y nekorelované, jsou i nezávislé (což obecně neplatí). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOO oooooooo oooooooo Uveďme ještě příklad, ilustrující, že nekorelovanost nemusí implikovat nezávislost: □ s Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr 0000000000000000000000*000 oooooooo oooooooo ooooooooo Uveďme ještě příklad, ilustrující, že nekorelovanost nemusí implikovat nezávislost: Buďte A a X nezávislé náhodné veličiny, splňující X ~ A/(0,1) a P(A = 1) = P(A = -1) = 1/2. Položíme-li Y = AX, pak P{Y < y) = \P(X (y), proto má rovněž Y rozdělení A/(0,1). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooo«ooo oooooooo oooooooo ooooooooo Uveďme ještě příklad, ilustrující, že nekorelovanost nemusí implikovat nezávislost: Příklad Buďte A a X nezávislé náhodné veličiny, splňující X ~ A/(0,1) a P(A = 1) = P(A = -1) = 1/2. Položíme-li Y = AX, pak P(Y ) = n a D( Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooo«o oooooooo oooooooo ooooooooo Příklad (pokr.) Marginální hustoty g(r) a h(cp) veličin R a $ se nyní snadno dopočtou: /OO r27T f(r,) = 7r2/3, snadno rovněž odvodíme = 2/3, D(/?) = 1/18. Všimněme si ale zejména, že f (r, 9 a < p < Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO «0000000 oooooooo ooooooooo Motivace S jedním případem limitní věty jsme se již setkali -de Moivre-Laplaceova věta říká, že binomické rozdělení Bi(r?,p) lze za určitých podmínek aproximovat normovaným normálním rozdělením. Obvykle se k aproximaci přistupuje při splnění podmínek r?p(l — p) > 9 a < p < V této kapitole zformulujeme zobecnění této věty a rovněž další tvrzení umožňující odhadovat chování náhodných veličin při velkém počtu nezávislých opakování náhodného pokusu. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo o«oooooo oooooooo ooooooooo Cebyševova nerovnost Pro každou náhodnou veličinu X a libovolné e > 0 platí DX P{\X - EX\ > e) < —. □ S Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO O0OOOOOO oooooooo ooooooooo Cebyševova nerovnost Pro každou náhodnou veličinu X a libovolné e > 0 platí DX P(\X - EX\ >€)<—. Důkaz Budeme odhadovat rozptyl DX ve spojitém případě (diskrétní analogicky): /oo r (X - EX)2f{x) dx> (X - EX)2f(x) dx > -oo J \x—EX\>€ > I e2f(x) dx = e2P{\X - EX\ > e). \x-EX\>e □ Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oo«ooooo oooooooo ooooooooo ■v Pomocí Cebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /c-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < -^). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /c-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < -k). Příklad 1 Nechť je E(X) = /i, D(X) = a2. O Odhadněte P(\X - n\ > 3a). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /c-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < -j^) Příklad Nechť je E(X) = /i, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X - n\ > 3a). O Vypočtěte P(\X — fi\ > 3a), jestliže navíc víte, že A/(0,1). X Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oo«ooooo oooooooo ooooooooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /c-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < -j^) Příklad Nechť je E(X) = /i, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X - n\ > 3a). O Vypočtěte P(\X — > 3a), jestliže navíc víte, že A/(0,1). X Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /c-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < -j^) Příklad Nechť je E(X) = /i, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X - n\ > 3a). O Vypočtěte P(\X — fi\ > 3a), jestliže navíc víte, že A/(0,1). X Řešení Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Speciálním případem je Bernoulliova věta, která říká, že je-li Yn ~ Bi(r?,p), pak posloupnost relativních četností Yn/n konverguje podle pravděpodobnosti k p. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOO0OOOO oooooooo ooooooooo Speciálním případem je Bernoulliova věta, která říká, že je-li Yn ~ Bi(r?,p), pak posloupnost relativních četností Yn/n konverguje podle pravděpodobnosti k p. Věta (Bernoulliova) Pro náhodnou veličinL pro libovolné e > 0 p/< y s bi non atí Yn P n niekým rozdělením Yn ~ Bi(r?,p) a >0 0 pl y s bi non atí Yn P n niekým rozdělením Yn ~ Bi(r?,p) a >0 4 ^ >■ 4 .= Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooo«ooo oooooooo ooooooooo Při zkoušce bylo zjištěno, že mezi 600 kontrolovanými studenty je 5 studentů, kteří neumí ani malou násobilku. Odhadněte pravděpodobnost, že relativní četnost takových studentů se od jejich pravděpodobnosti výskytu liší o více než 0,01? (Můžete předpokládat, že pravděpodobnost výskytu studenta bez znalosti násobilky je menší než 0,02). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo ooooo«oo oooooooo ooooooooo Centrální limitní věta Centrální limitní věta dává odpověď na otázku, proč je normální rozdělení nejdůležitějším rozdělením. Ukazuje totiž, že rozdělení součtu dostatečně velkého počtu nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin lze aproximovat normálním rozdělením. Necht je Yi, V2? • • • posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin se střední hodnotou ji a rozptylem a2. Pak pro normované náhodné veličiny n ;=i Yi-fi a platí lim P(Sn < t) = <ř(t), kde $ je distribuční funkce rozdělení N'(0,1). 0 0,0 Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOO0O oooooooo ooooooooo v Mezi učiteli matematiky v CR je jich 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolik matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem? Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOO0O oooooooo ooooooooo Mezi učiteli matematiky v ČR je jich 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolik matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem? Řešení Y„ ~ Bi(n; 0,1), E(Y„) = 0,1 • n, D(Yn) = 0,1 • 0,9 • n. Pak 0,95 < P(0,08n < Yn < 0,12n) = = P 0,08-0,1 V„-0,ln 0,12-0,1 n < -^=^^ < - n V^Ô9ň = Pl-V"< Yn-0,ln < n\ /\fn 15 ~ VÔTÔ9ň 15 15 15 Je tedy

0,975, což je ekvivalentní y/ň/15 > 1,96, tj n > 865. OQ.O Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo ooooooo* oooooooo ooooooooo Řešení (Pomocí Cebyševovy/Bernoulliovy nerovnosti) Nyní využijme Bernoulliovu nerovnost - ta dává Yn n -0,1 < 0,02 > 1 - 0,1-0,9 n • 0,022 což má být alespoň 0,95. Odtud n > 0,09 0,05 • 0,022 = 4500. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo ooooooo* oooooooo ooooooooo Řešení (Pomocí Cebyševovy/Bernoulliovy nerovnosti) Nyní využijme Bernoulliovu nerovnost - ta dává Yn n -0,1 < 0,02 > 1 - 0,1-0,9 n • 0,022 což má být alespoň 0,95. Odtud n > 0,09 0,05 • 0,022 = 4500. Opět vidíme, že odhad prostřednictvím Bernoulliovy nerovnosti je podstatně slabší než odhad s využitím centrální limitní věty (resp. de Moivre-Laplaceovy věty). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo ooooooooo Plán přednášky ✓ i ✓ ✓ I I ✓ I I ■ XX 1 J J Q Normální rozdělení a rozdělení odvezená Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO «0000000 ooooooooo Momenty normálního rozdělení Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z - A/(0,1). Pak Mz{ť) = oo -i t z L —oo V2 exp ( — —- ) dz = 7T exp z2 - 2tz + t2 - ť -oo a/ŠŤŤ t2. roc exp(- -oo a/2 exp (z - ř): dz = dz = 7T exp(- Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO O0OOOOOO ooooooooo Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz{t) = expí yj snadno spočítáme, že /t2\ M'z(t) = texp{-), 2 2 MM = ř2exp(^-)+exp(y. Dosazením t — 0 pak dostaneme E(Z) = 0, D(Z) = 1. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO O0OOOOOO ooooooooo Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = expíy spočítáme, že ít2\ M'z(t) = texp(-), snadno A4(ŕ) = ŕ2exp(|-)+exp(|- Dosazením t = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = ji + aZ ~ A/(/i, a2) pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu, že E(Y) = /i, D{Y) — a2 (což zpětně zdůvodňuje zápis A/(/i, a2)) Momentová vytvořující funkce pro Y má tvar / t2 My{t) = exp^/iŕ + a2 — Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdělení a rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oo«ooooo ooooooooo Příklad Určete rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin X ~ N(fj,x,a2x), Y ~ N(i_iY,a2Y). □ = Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oo«ooooo ooooooooo Příklad Určete rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin X ~ N{hx, 0 a nulová jinde (a, b > 0 jsou parametry) byla hustotou náhodné veličiny. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooo«oooo ooooooooo ľ (gamma) rozdělení ľ rozdělení se často používá u modelů čekání (např. v pojistné matematice je čas dožití často modelován pomocí gamma rozdělení). Příklad Určete konstantu c tak, aby funkce cxa 1e bx pro x > 0 a nulová jinde (a, b > 0 jsou parametry) byla hustotou náhodné veličiny. Řešení Hustota musí splňovat 1= / cxa-1e-bxdx = Jo Jo W í, r ľ°° ba Jo >>• proto c = vb,s. 90,0 Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOO0OOO ooooooooo Poznámka Funkce ľ je zobecnění faktoriálu (l~(r?) = (r? — 1)! pro n £ N), definované předpisem l~(a) = J0°° xa~1e~x dx. Často počítáme hodnoty této funkce s využitím vlastností r(l/2) = 0F, r(a+l) = a-r(a). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOO0OOO ooooooooo Poznámka Funkce l~ je zobecnění faktoriálu (l~(r?) = (r? — 1)! pro n £ N), definované předpisem l~(a) = J0°° xa~1e~x dx. Často počítáme hodnoty této funkce s využitím vlastností r(l/2) = 0F, r(a+l) = a-r(a). Definice Rozdělení náhodné veličiny s hustotou f(x) = f(a) spočítanou v předchozím příkladu nazýváme gamma rozdělení s parametry a, b a značíme l~(a, b). ^) c^ o Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOO0OOO ooooooooo Poznámka Funkce ľ je zobecnění faktoriálu (l~(r?) = (r? — 1)! pro n £ N), definované předpisem l~(a) = J0°° xa~1e~x dx. Často počítáme hodnoty této funkce s využitím vlastností r(l/2) = 0F, r(a+l) = a-r(a). Definice Rozdělení náhodné veličiny s hustotou f(x) = f(a) spočítanou v předchozím příkladu nazýváme gamma rozdělení s parametry a, b a značíme l~(a, £>). Momentová vytvořující funkce je pak M(t) = (^)a, střední hodnota E(X) = a/b a rozptyl D(X) = a/b2. >0 0,0 Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO0OO ooooooooo Příklad (rozdělení x podruhé) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO0OO ooooooooo Příklad (rozdělení x2 podruhé) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Již dříve jsme vypočetli přímým výpočtem přes distribuční funkci, že hustota f x [x) = >_x 2 e 2 V2 7ľ a řekli jsme si, že jde o (Pearsonovo) x2 rozdělení s jedním stupněm volnosti, které značíme X ~ x2(l). >0 0,0 Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO0OO ooooooooo Příklad (rozdělení x2 podruhé) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Již dříve jsme vypočetli přímým výpočtem přes distribuční funkci, že hustota f x [x) = >_x 2 e 2 V2 7ľ a řekli jsme si, že jde o (Pearsonovo) x2 rozdělení s jedním stupněm volnosti, které značíme X ~ x2(l). Nyní vidíme, že jde o speciální případ T-rozdělení, totiž l~(l/2,1/2). Obecně pro součet Y čtverců n nezávislých náhodných veličin s rozdělením A/(0,1) obdobně odvodíme, že má rozdělení r(n/2,1/2) a říkáme, že Y má rozdělení x2(r?) (chíkvadrát s n stupni volnosti). Toto rozdělení se ve statistice používá velmičasto. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO0O ooooooooo Další důležitá rozdělení F-rozdělení Jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny s rozděleními X ~ X2(^)5 Y ~ x2(m), pak má transformovaná náhodná veličina U = X/k Y/m takzvané Fisher-Snedecorovo F-rozdělení F(/c, m) s k a m stupni volnosti. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO0O ooooooooo Další důležitá rozdělení F-rozdělení Jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny s rozděleními X ~ X2(^)5 Y ~ x2(m), pak má transformovaná náhodná veličina U = X/k Y/m takzvané Fisher-Snedecorovo F-rozdělení F(/c, m) s k a m stupni volnosti. Studentovo t-rozdělení Jsou-li Z ~ A/(0, l)aX~ X2{n) nezávislé náhodné veličiny, pak má veličina T = Z tzv. Studentovo t-rozdělení t(n) s n stupni volnosti Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo* ooooooooo Přehled rozdělení odvozených od normálního 1 • • • 1 Zk ~ A/(0,1) k -72 . ,,2 Fk.m = Tu = E?=i z} X2k/k Z F(k, m) . . nezávislá normovaná normální . chĺ-kvadrát o k stupních volnosti F-rozdělení s k a m stupni volnosti t(k)......t-rozdělenís k stupni volnosti Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo* ooooooooo Přehled rozdělení odvozených od normálního 7i,■ ■ ■ , Zk ~ •2 _ v^/c A/(0,1) Tu = z . . nezávislá normovaná normální . chĺ-kvadrát o k stupních volnosti F-rozdělení s k a m stupni volnosti t(k)......t-rozdělení s k stupni volnosti Odtud zejména Z2 - x2(l) a Tj; ~ F(l, k) Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo* ooooooooo Přehled rozdělení odvozených od normálního Zi,..., zk ~ ■2 _ v^/c A/(0,1) Tu = z . . nezávislá normovaná normální . chĺ-kvadrát o k stupních volnosti F-rozdělení s k a m stupni volnosti t(k)......t-rozdělení s k stupni volnosti Odtud zejména Z2 - %2(1) a Tj; ~ F(l, k) rozdělení střední hodnota rozptyl X2(k) t(k) F(k, m) /i k 0 m/(m — 2) a2 2k k/(k-2) 2m2(k + m - 2)/k(m - 2)2(m - 4) □ ^ > 4 ^ >■ 4 .= Plán prednášky Q Náhodný výběr Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO «00000000 Náhodný výběr Definice Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme r?-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin Xi,... ,Xn ~ Fx(x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO «00000000 Náhodný výběr Definice Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme r?-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin Xi,... ,Xn ~ Fx(x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Náhodným výběrem rozsahu n z p-rozměrného rozdělení rozumíme r?-tici nezávislých a stejně rozdělených p-rozměrných náhodných vektorů. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO «00000000 Náhodný výběr Definice Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme r?-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin Xi,... ,Xn ~ Fx(x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Náhodným výběrem rozsahu n z p-rozměrného rozdělení rozumíme r?-tici nezávislých a stejně rozdělených p-rozměrných náhodných vektorů. V matematické statistice často pracujeme s transformacemi náhodného výběru, takovým náhodným veličinám (příp. vektorům) říkáme statistiky. V následujícím zavedeme několik důležitých statistik a ukážeme jejich souvislost s číselnými charakteristikami náhodných veličin. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO O0OOOOOOO Základní statistiky Definice Nechť X±,... ,X„ je náhodný výběr. Statistiku M = -n 1 " n f J i=l nazýváme výběrový průměr, statistiku s2 = i=l výběrový rozptyl a statistiku S = VŠ2 výběrová směrodatná odchylka. Analogicky se definují i výběrová kovariance, příp. výběrový korelační koeficient pro dvourozměrný náhodný výběr. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OO0OOOOOO Vlastnosti statistik Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Necht Xi,..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou ji a rozptylem a2 . Pak platí: • E(M) = n, Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OO0OOOOOO Vlastnosti statistik Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Necht Xi,..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou ji a rozptylem a2 . Pak platí: • E(M) = n, 9 D{M) = var(M) = a2/n, Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OO0OOOOOO Vlastnosti statistik Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Nechť X±,... ,Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou \x a rozptylem o . Pak platí: • D(M) = var(M) = a2/n, • E(S2) = a2. Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooooooooooooo Limitní věty a odhady oooooooo Normální rozdělení a rozdělení odvezená oooooooo Náhodný výběr ooo«ooooo Důkaz. Ukážeme jen (nejsložitější) 3. tvrzení. Snadno se odvodí, že platí Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO ooo«ooooo Důkaz. Ukážeme jen (nejsložitější) 3. tvrzení. Snadno se odvodí, že platí £(X, - = YS*i - Mf + n(M - tf. Proto je E(S2) = ^EQT(X; - /i)2) -^(M- tf = n 2 1 2 2 =--a---a = a . n — 1 n — 1 □ Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo oooo«oooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru ji. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru ji. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO oooo«oooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru ji. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru /i. Podobně jsme viděli, že S2 je nestranným odhadem parametru a2. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo oooo«oooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru ji. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru /i. Podobně jsme viděli, že S2 je nestranným odhadem parametru a2. Všimněme si rovněž, že „přirozeněji" definovaná statistika - J2(Xi — M)2 není nestranným odhadem a2, její střední hodnota je totiž ^a2. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo oooo«oooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru ji. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru /i. Podobně jsme viděli, že S2 je nestranným odhadem parametru a2. Všimněme si rovněž, že „přirozeněji" definovaná statistika - J2(Xi — M)2 není nestranným odhadem a2, její střední hodnota je totiž ^a2. *j ti Příklad Rozmyslete si, je-li S nestranným odhadem směrodatné odchylky a. Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOO0OOO Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xi,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/i, a2). Věta • M a S jsou nezávislé náhodné veličiny. • M ~ N{n,0 o,o Číselné charakteristiky náhodných veličin Limitní věty a odhady Normální rozdelenia rozdělení odvezená Náhodný výběr oooooooooooooooooooooooooo oooooooo oooooooo oooooooo* Příklady k procvičení Příklad Předpokládejme, že velká skupina studentů má ze zápočtové písemky ze statistiky bodové hodnoty normálně rozloženy kolem střední hodnoty 72 se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Určete pravděpodobnost, že a) náhodně vybraný student bude mít výsledek lepší než 80 bodů, b) průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude lepší než 80 bodů. Příklad Rychlost letadla byla určována v 5 zkouškách, jejichž aritmetický průměr byl m = 870,3 ms_1. Najděte 95% interval spolehlivosti pro ji víte-li, že měření rychlosti se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou 2,1 ms_1. >0 Q,o