Třetí dobrovolný domácí úkol
1. U následujících množin a operací doplňte na prázdná místa do tabulky:
• písmeno „M", pokud množina s danou operací tvoří monoid, ale ne grupu,
• písmeno „G", pokud množina s danou operací tvoří grupu.
Přitom „+" značí standardní sčítání a „•" standardní násobení. Křížky v tabulce znamenají, že se v daném případě nejedná o monoid (a toto již bylo obsahem 1. domácího úkolu).
	N	Z	Q	R	C	Z5		Q*	R*	Mat2(M)	Mat2,3(K)	GL2(M)
+	X						x	x	x			x
											x	
2. Rozhodněte, zda množina G = {(a, b) G Z x Z | a2 — 5b2 = 1} spolu s předpisem, definovaným pro všechna a,b,c,d G Z jako
(a, b) o (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc),
tvoří grupu (případně komutativní grupu). Změní se nějak odpověď, když místo podmínky a2 — 5b2 = 1 uvážíme podmínku a2 — 5b2 > 1?
3. Rozhodněte, zda množina {x + iy | x,y G Q,x2 + y2 > 0} je podgrupou grupy (C \ {0}, •) nenulových komplexních čísel s operací násobení.
4. Dejte příklad surjektivního homomorfismu monoidů ip: (Q, +) —y (Q, •), kde symbol „+" značí standardní sčítání a symbol „•" standardní násobení. Pokud takový neexistuje, zdůvodněte proč.
1