Vhodné příklady na procvičení:

1. Př. 4.62

[Automorfismy jsou 4, je třeba pečlivě zkontrolovat, že všechny myslitelné předpisy(změna znamének u \sqrt{2}, \sqrt{3}) dávají skutečně izomorfismy.]

2. Př 4.50

[Stupeň rošíření je 6, nezapomňte ukázat, že třetí odmocnina ze 2 nenáleží do Q(\sqrt{2})]

3. automorfismy tělesa z předchozího příkladu

[Vhodné je ukázat, že se jedná o jednoduché rozšíření a pak se vidí, že automorfismy jsou pouze 2.]

4. Př. 4.63

[Stupeň rošíření je 6, vhodné je přidat nejdříve reálnou třetí odmocninu z 5 a následně komplexní třetí odmocninu z 1 (která má minimální polynom stupně 2(dokonce nad Q)).]

5.Hvězdičkový příklad: zkuste určit grupu automorfismů tělasa z předchozího příkladu.

[Je vhodné psát rozšíření jako (Q(\alpha))(\beta), kde \alpha a \beta jsou různé kořeny x^3-5. Pak lze ukázat, že počítání v  (Q(\alpha))(\beta) nezávisí na konkrétní volbě \alpha a \beta, proto libovolná permutace 3 kořenů x^3-5 indukuje automorfismus. Grupa vyjde tedy S_3.]

6. Počítání v tělese o 16ti prvcích: uvažte ireducibilní polynom x^4+x+1 nad Z_2 a příslušné těleso Z_2[x]/(x^4+x+1).

a) Obecně platí, že multiplikativní grupa konečného tělesa je cyklická - ověřte v našem příkladě, že generátor je prvek \epsilon=x+(x^4+x+1).

b) Podle a) je každý prvek mocninou \epsilon. Určete ke všem prvkům minimální polynomy nad Z_2. Povšimněte si, že jste dostali kompletní seznam ireducibilních polynomů stupně 4, s vyjímou jistých prvků, kdy je minimální polynom nižšího stupně.

c) Najděte 4 prvkové podtěleso v našem tělese. [Použijte pozorování z b).] 

7. Př. 4.67

[Využijte nejen návod v zadání příkladu, ale i poznámku z předchozího příkladu 6a.]