Algebra I – podzim 2018 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis
[y]m ∗ [z]n =
ny + mz
nsd(m, n) nsn(m,n)
pro y, z ∈ Z a m, n ∈ N, definuje operaci na množině S =
n∈N
Zn takovou, že (S, ∗)
je pologrupa, případně grupa.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
a
((
b

2
b
((
a
hh 3
a
((
b
hh 4
a
hh
b
((
5
a

b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (Z[x], +)×(Z[i], +) /H,
kde
H = f, f(i) + 2zi z ∈ Z, f ∈ Z[x], x2
− 2x + 2 dělí f .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
2( 3
√
4 − 3
√
2 + 1) nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 + 2α4 + 3α3 + 3α2 + 2
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α5
+ 2 = −2(α + 1)(α3
+ α2
+ α).
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu R, jeho podokruhu S a podmnožiny I ⊆ S, která
je ideálem S, ale není ideálem R.
7. (10 bodů) Dejte příklad grup G a H takových, že H není izomorfní žádné podgrupě
grupy G, G není izomorfní žádné podgrupě grupy H a přitom existují právě
dvě podgrupy grupy G, které jsou izomorfní nějaké podgrupě grupy H.
8. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechna konečná tělesa.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.