Algebra I – podzim 2019 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Uvažujme okruh ({ (a, b) ∈ Z × Z | 2 dělí a + b }, ⊕, ∗) s jedničkou
(−1, 1), kde ⊕ a ∗ jsou operace definované předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) =
−5ac − ad − bc − bd
4
,
ac + ad + bc + 5bd
4
.
Rozhodněte, zda tento okruh je tělesem a zda množina
{ (a, b) ∈ Z × Z | 4 dělí a + b }
je jeho podokruhem.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1 a,b
// 2
b

a
// 3
a
((
b

4
a,b
hh 5a,b
oo
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (Z, +)×(G, ·) /H, kde
G =
2p
0
f 2p p ∈ Z, f ∈ R[x] ,
H = −p,
2p
0
f 2p p ∈ Z, f ∈ R[x], f(2) = f(0) .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 3
√
4 + 3
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 + α4 − 2α3 + α2 + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α4
+ 2α3
= 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad tělesa, které má právě dvě podtělesa.
7. (10 bodů) Dejte příklad neinjektivního homomorfismu grup ϕ: G → G takového,
že ker(ϕ) ∼= ϕ(G) a současně ker(ϕ) ∩ ϕ(G) = {1G}.
8. (5 bodů) Definujte okruh a jeho charakteristiku.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující nerozložitelné polynomy nad C a nad R.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.