Algebra I — podzim 2019 — 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpisy
(a, b, c, d, e) © (p, q,r,s,t) = (a + p,b + q, c + r, d + s, e + t), (a, b, c, d, e) 0 (p, q, r, s, ť) = (ap, bp + q, cr, as + dr, bs + er + ť)
definují
1) na množině iž = ZxZxZxKxK strukturu okruhu (R, ©, 0);
2) na množině G = (Q \ {0}) xQx(Q\ {0}) xlxl strukturu grupy (G, 0).
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
b b
a,b
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, -)/H, kde
'v o ŕ
p,qeQ\{0}, f,geQ[x]
G={ |0 q g
,0 0 Pj
'p o f
H= { | 0 p g
n o V)
PeQ\{0}, f,geQ[x], /(l) = f(2), f má kořen y/2
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla a/2 + y/2 • i — \[2 nad
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
a3 - a2 + 2a + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo a splňuje rovnost (a3 + 4)(a + 2) = -2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který není tělesem, a jeho podokruhu, který tělesem je.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a dvou grupových homomorfismů tp,ip: G —> G, které mají stejné jádro, ale jiný obraz.
8. (5 bodů) Definujte, co se rozumí tím, když se o oboru integrity řekne, že je s jednoznačným rozkladem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismů grup na tři homomorfismy speciálních typů.
10. (10 bodů) Dokažte, že konečná tělesa jsou právě konečné obory integrity.