Od modálních logik k TILu. Vícehodnotové logiky
Luboš Popelínský
E-mail: popel@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/
Obsah:
• Klasické a neklasické logiky
• Intenzionální logiky. Modálni logika
• Temporální a jiné modality
• Transparentní intenzionální logika. Začínáme
• Vícehodnotová logika
Úvod do umělé inteligence 9/12 1/32
Už od Aristotela se logika řídí dvěma základními logickými principy
9 principem extenzionality
• principem dvou hod notovosti.
princip extenzionality : pracujeme výhradně s pravdivostními hodnotami
tvrzení a nikoliv S jejich obsahem. Tedy, logika pracuje pouze s oznamovacími větami a na těchto větách jí nezajímá, o čem tyto věty jsou, nýbrž výhradně a pouze to, jaká je jejich pravdivostní hodnota, tj. zda se jedná o pravdivá či nepravdivá tvrzení. Přesněji to znamená, že logické spojky fungují jako funkce z množiny pravdivostních hodnot do množiny pravdivostních hodnot, tj., že pravdivostním hodnotám částí složeného výroku přiřadí výslednou pravdivostní hodnotu (celého složeného výroku).
Projekt ESF OPVK č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216 "Logika: systémový rámec rozvoje
v
oboru v CR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia"
Úvod do umělé inteligence 9/12 2/32
Intenzionálnř logiky. Modálni logika
Úvodem k intenzionálním logikám. Módy pravdy
Cavaco Silva je presidentem Portugalska. Jana čte.
Sluneční soustava má devět planet. (Nebo osm?)
Třetí odmocnina z 27 jsou 3.
nutně pravda, i v budoucnu. Ale:
Jana ví, že třetí odmocnina z 27 jsou 3.
Jan nevěří, že třetí odmocnina z 27 jsou 3.
Verifikace programů: nejen různé světy, ale i různé budoucnosti
VŽDY pravda, NĚKDY pravda, VÍM že, VĚŘÍM že, ...
Úvod do umělé inteligence 9/12 3/32
Intenzionálnř logiky. Modálni logika
Modálni logika
□ 0 - "nutně platí 0", "0 je vždy pravda" Ocf) - "možná platí 0", "0 je někdy pravda
K-logika K == Kripke, nejobecnější, tj. s minimálními omezeními pro □ resp. O
Je-li C jazyk predikátové logiky, rozšíříme ho na modálni jazyk £n>o přidáním dvou symbolů □ and O do abecedy a do definice syntaxe přidáme
Je-li (j) formule, pak také (n0) a (Ocf)) jsou formule. Sémantika: Kripkeho rámce, tj. Kripkeho interpretace
Úvod do umělé inteligence 9/12 4/32
Intenzionálnř logiky. Modálni logika
Sémantika modálni logiky
Kripkeho interpretace (též rámec) C = {l/l/, S, {C(p)}pew} W ... množina světů
S ... relace přístupnosti/dostupnosti (accessibility)
C (p) ... logika, např. výroková, C (p) pro C v každém světě p G 1/1/
C = {l/l/, S, {C(p)}pGvy} je Kripkeho rámec pro jazyk C (£-frame) jestliže pro každé světy p a q z l/l/, pSq implikuje, že C(p) C C(q) a interpretace konstant v C (p) C C (q) je stejná v C(p) i v C(q).
Úvod do umělé inteligence 9/12 5/32
Intenzionálnř logiky. Modá	lni logika	
Sémantika modálni logil	ky	
Nechť C = {l/l/, S, {C(p)}pew} je Kripkeho rámec pro jazyk £, p G 1/1/ a (f) je formule jazyka £ (p). Formule 0 platí ve světě p (angl. p forces (/)), píšeme p lh 0, jestliže
1. pro atomickou formuli (j), p lh 0 44> 0 je pravdivá v C(p).
2. p lh (0 —>► ijj) ^ p lh 0 implikuje p lh ^- Podobně pro ostatní logické spojky a V, 3
3. p lh U(j) ^ pro všechny světy q G 1/1/ takové, že pSq 2 q lh 0.
4. p lh Ocf) ^ existuje q G 1/1/ pSq a q lh 0.
Formule 0 je pravdivá v Kripkeho rámci (interpretaci) C, jestliže pro každý svět p G 1/1/ 0 platí ve světě p, píšeme Ihc <t>- Formule (/) je tautologie, jestliže platí ve všech intepretacích Kripkeho.
2 svět q je příst u oný ze světa p
Úvod do umělé inteligence 9/12 6/32
Intenzionální logiky. Modálni logika
Tautologie ... ?
axiom jméno	vlastnost relace R
□ (,4 -> B) -> pA -> DB) □4 -> Oyl d UA^ A M nA -» dľU ^ Oj4 -> n<X4 5	žádné požadavky 3u(wRu) wRw {wRv a vRu) => ujííií (wRv a u?.rřu) =>- u Jí ií
viz David Pelikán, Vzájemná srovnání axiomatických systémů modálních logik, DP FFUK Praha 2007
Úvod do umělé inteligence 9/12 7/32
Temporální a jiné modality
Temporální a jiné modality
od modalit "nutně", "možná"celkem přirozeně k modalitám temporálním "někdy/vždycky v minulosti/budoucnosti viz např.
https: //www.fi.muni.cz/~popel/lectures/bak_logika/non-classical-logics/modal-logic.pdf
Deontické modality
Op..................Je přikázáno p (z anglického ordered = přikázáno)
Fp..................Je zakázáno p (z anglického forbidden = zakázáno)
Pp..................Je povoleno p (z anglického permitted = povoleno)
dosavadní modality - alethické (nutnost, možnost), temporální i deontické : v jistém smyslu absolutní a všeobecně platné, epistemické modality jsou relativní :
Kxp..................... x ví, že platí p (z angl. know = vědět)
Uxp......................x neví, že platí p (z unknown = neznámé)
Bxp..................... x věří, že platí p (z believe = věřit)
Úvod do umělé inteligence 9/12 8/32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Nedostatečná expresivita predikátové logiky. Príklady
Červená barva je krásnější než modrá. Kostka je červená.
individuum(červená barva) vs. vlastnost (je červená)
nelze vyjádřit např. jejich rovnost
Varšava je hlavní město Polska.
Varšava - jméno individua
hlavní město Polska - individuová role
- závisí na světě a čase
- význam "býti hlavním městem "na světě a čase nezávisí Číslo X je větší než číslo Y. vs. Otec je větší než syn. matematické "větší než", relace, pevně dané. vs. empirické : vztah dvou individuí, který se může měnot v čase ano vs. V Brně prší.
ano = pravdivostní hodnota true vs. propozice označuje pravdivostní hodnotu, která se mění v čase.
I když pravdivostní hodnota někdy závisí na světe a čase, samotný význam na nich nezávisí
Úvod do umělé inteligence 9/12 9/32
Transparentní intenzionální logika. Začíname		
Problém substituce		
Problém substituce : a = b; C(x/a) h C{x/b)
Prezident CR je manžel Livie. Prezident C R je ekonom.
h
Manžel Livie je ekonom. Ale:
Prezident CR je manžel Livie. Miloš Zeman chce být prezident CR.
h
Miloš Zeman chce být manželem Livie.
Úvod do umělé inteligence 9/12        10 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Richard Montague vs. Pavel Tichý
Montague : přirozený jazyk nesplňuje princip kompozicionality (Frege) , protože se skládá z mnoha tzv. nepoddajných výrazů, nepoddajný = vyznám výrazu daného jazyka často závisí na něčem, co nebylo pojmenováno. Viz
Karel myslí na prezidenta České republiky. Karel myslí na manžela Livie Klausové. 3
Cvičení: zkusme vyhodnotit: (i) v roce (světě) 2020 (ii) v roce 2009: ?
Montague : denotátem (nebo referencí) výrazu prezident CR jeho extenze,( hodnota v aktuálním světě a čase,) osoba Václava Klause, stejně tak : Václav Klaus denotátem výrazu mazel Livie Klausové.Nicméně reference obou vět již shodné nejsou, Karel může myslet na prezidenta CR, aniž by myslel na manžela Livie Klausové. Tuto neshodu Montague vidí a připisuje ji tím, že dané výrazy jsou nepoddajné a dále neřeší.
Daniel Balík,Montaguova logika ve srovnání s Transparentní intenzionální logikou,DP FF MU2009
Úvod do umělé inteligence 9/12        11 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Transparentní intezionální logika
Karel myslí na prezidenta České republiky. Karel myslí na manžela Livie Klausové.
(Podle TIL) príklad neříká nic o tom, že Karel myslí na Václava Klause, denotátem výrazu prezident CR není Václav Klaus.
Denotátem tohoto výrazu je individuová role, intenze. Václav Klaus je nahodily držitel této role v aktuálním světě a čase, je referencí
Úvod do umělé inteligence 9/12        12 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
uchý ? příklad
viz príklad na str.16
Introduction to Pavel Tichy and Transparent Intensional Logic v interaktivní osnově
Úvod do umělé inteligence 9/12        13 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Extenze a intenze
Definujeme
a intenze - objekty typu funkcí, jejichž hodnoty záavisí na světě a čase • extenze - ostatní objekty (na světě a čase nezávislé)
časté extenze a intenze:
extenze individua třídy relace
pravdivostní hodnoty
f u n kce cisla
intenze
individuové role
vlastnosti
vztahy
propozice
empirické funkce
veličiny
Úvod do umělé inteligence 9/12        14 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname	
Logická analýza přirozeného	jazyka
logická analýza PJ - analýza významu výrazů (vět) PJ
přirozený jazyk (čeština, angličtina, ...) = nástroj pojmového uchopení rea
pojem - kritéria/procedury umožňující identifikovat různé konkrétní a abstraktní objekty (např. "planeta" - třída nebeských těles s určitými charakteristikami - obíhá po oběžné dráze kolem stálice, není zdrojem světla, .
Úvod do umělé inteligence 9/12        15 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname		
Logická analýza prirozenéf	10	jazyka
logická analýza PJ - analýza významu výrazů (vět) PJ
přirozený jazyk (čeština, angličtina, ...) = nástroj pojmového uchopení rea
pojem - kritéria/procedury umožňující identifikovat různé konkrétní a abstraktní objekty (např. "planeta" - třída nebeských těles s určitými charakteristikami - obíhá po oběžné dráze kolem stálice, není zdrojem světla, .
- pojem 7^ výraz - např. výrazy v různých jazycích často reprezentují stejný pojem (pojem("prvočíslo") = pojem ("prime number"))
Úvod do umělé inteligence 9/12        15 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname		
Logická analýza prirozenéf	10	jazyka
logická analýza PJ - analýza významu výrazů (vět) PJ
přirozený jazyk (čeština, angličtina, ...) = nástroj pojmového uchopení rea
pojem - kritéria/procedury umožňující identifikovat různé konkrétní a abstraktní objekty (např. "planeta" - třída nebeských těles s určitými charakteristikami - obíhá po oběžné dráze kolem stálice, není zdrojem světla, .
- pojem 7^ výraz - např. výrazy v různých jazycích často reprezentují stejný pojem (pojem("prvočíslo") = pojem("prime number"))
- pojem 7^ představa - představa je subjektivní, pojem je objektivní
Úvod do umělé inteligence 9/12        15 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Logická analýza přirozeného jazyka
logická analýza PJ - analýza významu výrazů (vět) PJ
přirozený jazyk (čeština, angličtina, ...) = nástroj pojmového uchopení reality
pojem - kritéria/procedury umožňující identifikovat různé konkrétní a abstraktní objekty (např. "planeta" - třída nebeských těles s určitými charakteristikami - obíhá po oběžné dráze kolem stálice, není zdrojem světla, . ..)
- pojem 7^ výraz - např. výrazy v různých jazycích často reprezentují stejný pojem (pojem("prvočíslo") = pojem ("prime number"))
- pojem 7^ představa - představa je subjektivní, pojem je objektivní
- pojmy mohou identifikovat různé objekty:
■ jedno individuum - individuální pojmy (např. Petr, Pegas, prezident CR)
■ třídu objektů - vlastnost (např. červený, šelma, hora)
■ A7-člennou relaci - vztah (např. otec (někoho), křivdit (někdo někomu))
■ pravdivostní hodnotu - propozice (např. v Brně prší)
■ funkcionální přiřazení - empirické funkce (např. rychlost)
■ číslo - (fyzikální) veličiny (např. rychlost světla)
Úvod do umělé inteligence 9/12        15 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Vztah pojmu a výrazu
ve zjednodušené podobě: pojem odpovídá logické konstrukci
Úvod do umělé inteligence 9/12        16 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Vztah pojmu a výrazu
ve zjednodušené podobě: pojem odpovídá logické konstrukci
Úvod do umělé inteligence 9/12        16 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Vztah pojmu a výrazu
ve zjednodušené podobě: pojem odpovídá logické konstrukci
Williama Shakespeara
v_J
Úvod do umělé inteligence 9/12        16 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Pavel Tichý
a) logickou analýzou nemůže být překlad výrazu NL (NLE), měl by spíše pojmenovat vše, co je vyjádřeno výrazem
b) logická analýza nemůže najít více skutečností než těch, která jsou skutečně uvedené ve větě / výrazu N L jsou přiřazené a priori.
Pavel Tichý, The Foundations of Frege's Logic, de Gruyter, Berlin, New York, 1988.
Úvod do umělé inteligence 9/12        17 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname	
Transparentní intenzionální 1	ogika
• Transparent Intensional Logic, TIL
9 logický systém speciálně navržený pro zachycení významu výrazů PJ, autor Pavel Tichý
• Tichý vychází z myšlenek - Gottlob Frege (1848 - 1925, logik) a Alonzo Church (1903 - 1995, teorie typů)
o obdobná teorie - Montagueho intenzionální logika - Tichý ukazuje její nedostatky
• vlastnosti:
■ rozvětvená typová hierarchie (s typy vyšších řádů)
■ temporální
■ intenzionální (intenze x extenze) a transparentost:
1. nositel významu (konstrukce) není prvek formálního aparátu, tento aparát pouze studuje konstrukce
2. zachycení intenzionality je přesně popsáno z matematického hlediska
Úvod do umělé inteligence 9/12        18 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začínáme
Rozšírený vztah výrazu a významu u intenzí
konstrukce/pojem
vyraz
konstruuje
intenze <■
s
s
N
konstrukce
N
S
extenze <
ukazuje na
CD
'5» +j
C
CD N
výraz
Úvod do umělé inteligence 9/12        19 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začínáme
Rozšírený vztah výrazu a významu u intenzí
konstruuje
intenze <- konstrukce
's
\
\
c
OJ
ukazuje nas
extenze <----výraz
AH
konstruuje
AwArfAuthor.of^/t Hamlet]
^ o
William Shakespear
ukazuje na
CL)
'5» +j
CL) N
"autor Hamleta"
Úvod do umělé inteligence 9/12        19 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Základní typy TILu
umožňují přiřadit typ objektům z intenzionální báze jazyka - třída základních vlastností (barvy, rozměry, postoje, . ..) popisujících stav světa
• o (omikron, o) .. . pravdivostní hodnoty Pravda (true, T) a Nepravda
(false, F)
přesně odpovídají běžným logikám, typy logických operátorů -(oo), (ooo)
• l (jota) ... třída individuí
individua ovšem nejako kompletní objekty, ale jako numerická identifikace nestrukturované entity
• r (tau) ... třída časových okamžiků (jako časového kontinua)
zachycení závislosti na čase; současně třída reálných čísel
• oj (omega) .. . třída možných světů
zachycení empirické závislosti na stavu světa
Úvod do umělé inteligence 9/12        20 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Typy v TILu
typ objektu:
- základní typy - typová báze = {o,   r, u}
- funcionální typy - funkce nad typovou bází
např.      t,    ((lt)uj),    (o/,),    (((ol)t)uj), ((ot)cj),... ((ar)uj) ... závislost na světě a čase, vyjadřuje intenze - zápis a
- typy vyšších řádů - obsahují i třídy konstrukcí řádu n - *n
Úvod do umělé inteligence 9/12        21 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Možné světy
termín možný svět - Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716, filozofa matematik) V možný svět je:   - soubor myslitelných faktů
- je konzistentní a maximální ze všech takových souborů
- je objektivní (nezávislý na individuálním názoru)
mezi možnými světy 3 právě jeden aktuální svět - jeho znalost = vševědoucnost
Úvod do umělé inteligence 9/12        22 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Možné světy
termín možný svět - Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716, filozofa matematik) V možný svět je:   - soubor myslitelných faktů
- je konzistentní a maximální ze všech takových souborů
- je objektivní (nezávislý na individuálním názoru)
mezi možnými světy 3 právě jeden aktuální svět - jeho znalost = vševědoucnost
možný svět v TILu = rozhodovací systém, pro V prvek intenzionální báze obsahuje konzistentní přiřazení hodnot
Úvod do umělé inteligence 9/12        22 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začínáme
Možné světy
termín možný svět - Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716, filozofa matematik) V možný svět je:   - soubor myslitelných faktů
- je konzistentní a maximální ze všech takových souborů
- je objektivní (nezávislý na individuálním názoru)
mezi možnými světy 3 právě jeden aktuální svět - jeho znalost = vševědoucnost
možný svět v TILu = rozhodovací systém, pro V prvek intenzionální báze obsahuje konzistentní přiřazení hodnot
příklad - realita s 2 objekty a 2 vlastnostmi (9 možných světů i/i/i,1/1/9):
být hubený	{Laurel, Hardy}	být tli {Laurel}	j stý {Hardy}	0
{Laurel, Hardy} {Laurel} {Hardy} 0	X	X	X	1/1/1
	X	X	1/1/2	1/1/3
	X	1/1/4	X	1/1/5
	1/1/6	1/1/7	1/1/8	1/1/9
Úvod do umělé inteligence 9/12        22 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začínáme
Princip intenzí v TILu
být hubený       . .. objekt typu {ol)t(jú, funkce z možných světů a času
do tříd individuí w ... proměnná typu oj, možný svět
t ... proměnná typu r, časový okamžik
[být hubený w t] . . . konstruuje (o^)-objekt, třídu individuí, kteří mají ve světě
w a čase t vlastnost být hubený (značíme být hubený^)
Úvod do umělé inteligence 9/12        23 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Princip intenzí v TILu
být hubený
. .. objekt typu (ol)tuj, funkce z možných světů a času
do tříd individuí w ... proměnná typu u, možný svět
t ... proměnná typu r, časový okamžik
[být hubený w t]
konstruuje (o^)-objekt, třídu individuí, kteří mají ve světě w a čase t vlastnost být hubený (značíme být hubený^)
pokud aplikujeme jen w - získáme chronologii
Americký prezidenty (zkr. PWact)
to
t:
1789
1797
rw3ctt0
1801
t:
nedef   G.Washington     J.Adams T.Jefferson
Úvod do umělé inteligence 9/12        23 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Princip intenzí v TILu
být hubený
. .. objekt typu (ol)tuj, funkce z možných světů a času
do tříd individuí w ... proměnná typu u, možný svět
t ... proměnná typu r, časový okamžik
[být hubený w t]
konstruuje (o^)-objekt, třídu individuí, kteří mají ve světě w a čase t vlastnost být hubený (značíme být hubený^)
pokud aplikujeme jen w - získáme chronologii
Americký prezidenty (zkr. PWact)
to
t:
1789
1797
rwactto
1801
nedef    G.Washington     J.Adams T.Jefferson
intenzionální sestup -identifikace extenze pomocí intenze, světa w\ a času t\
i/i/i
r
Úvod do umělé inteligence 9/12        23 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Nejčastější typy
extenze		intenze	
individua	l	individuové role	
třídy		vlastnosti	
relace	(oa/3)	vztahy	
pravdivostní hodnoty   ...	o	propozice	
funkce		empirické funkce	
V / 1 cisla	r	veličiny	
Úvod do umělé inteligence 9/12        24 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začínáme
Příklady přínosu TILu
• propoziční postoje
Petr říká, že Tom věří, že Země je kulatá.
XwXt
k a j/i/f Petr°
XwXt[věnwt Tom0 [Xw Xt[kulatá ^Země]
Úvod do umělé inteligence 9/12        25 / 32
• propoziční postoje
Petr říká, že Tom věří, že Země je kulatá
říkány-Petr0
XwXt ř\káwtPetr Aw/At[věříw/r7oA77°[AwAr[kulatáw/rZemě]
existence neexistujícího
Pes existuje.        Jednorožec neexistuje.
v PL1: 3x(x = pes) -n3x(x = jednorožec)
Úvod do umělé inteligence 9/12        25 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Příklady prínosu TILu
• propoziční postoje
Petr říká, že Tom věří, že Země je kulatá.
\w\t fíkáwtPetr0 AwAr[věříw/t7oA?70[AivAr[kulatáw/rZemě]
• existence neexistujícího
Pes existuje.        Jednorožec neexistuje.
v PLI: 3x(x = pes) -n3x(x = jednorožec)
(jednorožec = jednorožec)=^(3x(x = jednorožec))
Úvod do umělé inteligence 9/12        25 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začíname
Příklady přínosu TILu
• propoziční postoje
Petr říká, že Tom věří, že Země je kulatá.
XwXt
kSyi/f Petr
\w\t[věnwt Tom0 [Xw Xt[kulatá ^Země]
• existence neexistujícího
Pes existuje.        Jednorožec neexistuje.
v PL1: 3x^=^pgsJ ^^St^H^^^ESzécJ
(jednorožec = jednorožec)=^>(3x(x = jednorožec))
Úvod do umělé inteligence 9/12        25 / 32
Transparentní intenzionální logika. Začínáme
Příklady přínosu TILu
• propoziční postoje
Petr říká, že Tom věří, že Země je kulatá.
XwXt
ka^i/f Petr
XwXt[věnwt Tom0 [Xw Xt[kulatá ^Země]
• existence neexistujícího
Pes existuje.        Jednorožec neexistuje.
v PL1: 3x^=^pgsJ ^^St^H^^^ESzécJ
(jednorožec = jednorožec)=^(3x(x = jednorožec))
(*)   XwXt\°^[Exwt jednorožec]
v TILu
df
Ex = XwXtXp
o-
Ex...(o(ol))
(*) ... "třída všech individuí s vlastností 'být jednorožcem v daném světě a čase prázdná."
Úvod do umělé inteligence 9/12        25 / 32
y přínosu TILu
• propoziční postoje
Petr říká, že Tom věří, že Země je kulatá.
XwXt
ri kSyi/f Petr
XwXt[\těríwt Tom0 [Xw\t[ku\atáwtZemě]
9 existence neexistujícího
Pes existuje.        Jednorožec neexistuje.
v PL1: 3x^^q3gsJ ^Jxí^=^eém2£^^l
(jednorožec = jednorožec)=^(3x(x = jednorožec))
(*)   XwXt[°^[Exwt jednorožec]
v TILu
df
Ex = XwXtXp
o-
Ex...(o(ol)tJ
T OJ 'TU)
(*) ... "třída všech individuí s vlastností 'být jednorožcem' je v daném světě a čase prázdná."
intenzionalita, vlastnosti vlastností, analýza epizod, analýza gramatického času, .. .
Úvod do umělé inteligence 9/12        25 / 32
Vícehodnotová logika
Vícehodnotová logika
Úvod do umělé inteligence 9/12        26 / 32
Vřcehodnotová logika     Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
nepravda (0) - pravda (1)
nepravda (0) - nevím (1/2) - pravda (1)
zavedeme funkci val(A) = pravdivostní hodnota formule A např. /(p) = 1, /(q) = 0, pak např. val(p) = 1, val(-^p) — 0, val{p A q) = 0, val{p =>* q) = 0
Pak, v souhlasu se sémantikou logických spojek, jistě platí val (-i A) = 1 - val(A), val (A A B) = min(val(A), val(B), val (A V S) = /r?ax(va/(yí), va/(S)
(pro další spojky je možno spočítat z těchto tří)
Úvod do umělé inteligence 9/12        27 / 32
Vřcehodnotová logika     Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
Trojhodnotová tukasiewiczova logika
zobecníme funkci val() pro tříhodnotovou logiku. A jsme tam ... ? Neplatí např. princip vyloučení třetího. Jistě. Potíž: jen velmi málo tautologií v takové logice najdeme. Zkusme nadefinovat jinak implikaci
	-	P V q		nová definice		
p/q	0	1/2	1	0	1/2	1
0	1	1	1	1	1	1
1/2	1/2	1/2	1	1/2	1	1
1	0	1/2	1	0	1/2	1
val{p =4> q) — A77/A7(l, 1 — val(p) + val(q))
Úvod do umělé inteligence 9/12        28 / 32
Vřcehodnotová logika     Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
K sémantice Lukasiewiczovy logiky
Opět pracujeme s pojmem interpretace, tj. přiřazením pravdivostních hodnot z {0,1/2,1} výrokovým symbolům
Model formule 0 je taková interpretace , kdy val(cf)) > 0
Formule (f) sémanticky vyplývá z množiny premis <t>, <t> |= 0, jestliže pro každou interpretaci / \/a/(0) < val(cf))
Cvičení: dokažte, že pokud <t> = {0i, 02, •••}, pak 0i A 02 A ... =4> 0.
Úvod do umělé inteligence 9/12        29 / 32
Vřcehodnotová logika     Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
Fuzzy logika. Lotfi Zadeh
vychází z fuzzy množin, kdy příslušnost do množiny je z intervalu [0,1] a fuzzy relací.
Příklad: množina "být mladý"
stejná funkce valQ, jen nepracujeme s diskrétní doménou {0,1/2,1} ale intervalem [0,1]
dále analogickyjako pro troj hod notovou logiku
Úvod do umělé inteligence 9/12        30 / 32
Víme a známe
Vřcehodnotová logika     Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
« co jsou modálni logiky
I       I ■ . II ,        VII        11 V        / II
• modality  nutne , mozna
9 jiné modality a temporální logiky
• a něco k tomu z těch nejobecnějších intenzionálních logik
• především nástin Tichého TILu
• tříhodnotové a fuzzy logiky
Úvod do umělé inteligence 9/12        31 / 32
Informační zdroje
Více h o d notová logika     Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice
Non-monotonic logic, viz Logic for Applications
Stanford Encyclopedia of Philosophy, un peut updated https:/Stanford Encyclopedia of Philosophy, un peut updated / plato.stanford.edu/entries/logic-ai /
JELIA: European Conference on Logics in Artificial Intelligence, last issue 2019
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-19570-0
Úvod do umělé inteligence 9/12        32 / 32