Jedna pěkně kulatá geometrická úloha...

Definice. Množinu kruhů v rovině nazveme klikou, pokud se každé dva kruhy z této množiny protínají (mají neprázdný průnik).

Jak vidíte, není pravda, že každá klika kruhů v rovině musí obsahovat jeden bod náležející všem těmto kruhům zároveň. Kolik takových bodů dohromady potřebujeme, abychom "trefili" každý kruh, v tom nejhorším případě?

Úkoly. Není nutné řešit úplně vše, stačí se někde pohnout kupředu s přínosnou myšlenkou, ale nestačí jen řešit zahřívací první bod.

• Pro zahřátí dokažte, že v každé klice 4 kruhů v rovině existují dva body takové, že každý kruh obsahuje aspoň jeden z nich. Poté totéž dokažte pro každou kliku 5 kruhů v rovině.
• Rozhodněte, zda pro každou kliku tvořenou 6 kruhy v rovině existují dva body takové, že každý kruh obsahuje aspoň jeden z nich. Buď existenci takových dvou bodů dokažte pro všechny šestice kruhů tvořících kliku, nebo najděte konkrétní kliku šesti kruhů nemající takovou dvojici.
• Pokud dvojice bodů je pro vaše úvahy málo, dokažte aspoň, že pro každou kliku tvořenou 6 kruhy v rovině existují tři body takové, že každý kruh obsahuje aspoň jeden z nich. A pokračujte stejně klikami 7, 8, .. kruhů v rovině. Je možné, že pro dostatečně vysoký počet kruhů v klice už ani 3 body nebudou stačit?