Diskrétní matematika - 3. týden Elementární teorie čísel - Eulerova věta, řád prvku věta Lukáš Vokřínek Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2020 Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Obsah přednášky Prvočísla Aritmetické funkce oooooooooooooooooo ooooo O Prvočísla • Poznámky • Dělitelé znovu • Rozložení prvočísel Q Aritmetické funkce • Eulerova funkce cp Q Malá Fermatova věta, Eulerova věta Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooooooooo ooooo oooooooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. • Michal Bulant, výukový text k přednášce Elementární teorie čísel, http: //is .muni . cz/el/1431/podzim2012/M6520/ um/main-print.pdf • Jiří Herman, Radan Kučera, Jaromír Šimša, Metody řešení matematických úloh. MU Brno, 2001. o William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, Springer, 2008. Dostupné na http://wstein.org/ent/ent.pdf o Radan Kučera, výukový text k přednášce Algoritmy teorie čísel, http://www.math.muni.cz/~kucera/texty/ATC10.pdf Prvočísla •ooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Připomenutí - věta o jednoznačném rozkladu Věta Libovolné přirozené číslo n > 2 je možné vyjádřit jako součin prvočísel, přičemž je toto vyjádření jediné, nebereme-li v úvahu pořadí činitelů. (Je-li n prvočíslo, pak jde o „součin'1 jednoho prvočísla.) Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo PRIMES is in P Prvočísla Aritmetické funkce O0OOOOOOOOOOOOOOOO ooooo Poznámka Již jsme se zmínili, že je složité o velkých číslech s jistotou rozhodnout, jde-1i o prvočíslo (na druhou stranu je o naprosté většině složených čísel snadné prokázat, že jsou skutečně složená). Přesto se v roce 2002 podařilo indickým matematikům (Agrawal, Saxena, Kayal: http://www.cse.iitk.ac.in/users/manind.ra/ algebra/primality_v6 .pdf) dokázat, že problém prvočíselnosti je možné rozhodnout algoritmem s časovou složitostí polynomiálně závislou na počtu cifer vstupního čísla. Nic podobného se zatím nepodařilo v otázce rozkladu čísla na prvočísla (třebaže se obecně nevěří, že je to možné, exaktní důkaz zatím nebyl podán). Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OO0OOOOOOOOOOOOOOO ooooo oooooooooooo ls FACTOR in P? Nic podobného se zatím nepodařilo v otázce rozkladu čísla na prvočísla (třebaže se obecně nevěří, zeje to možné, exaktní důkaz zatím nebyl podán). Nejrychlejší obecně použitelný faktorizační algoritmus, tzv. síto v číselném tělese1, je sub-exponenciální časové složitosti Oíe1-9^^173^1^^273). Poznámka Peter Shor v roce 1994 vymyslel algoritmus, který faktorizuje v kubickém čase (tj. 0((log A/)3)) na kvantovém počítači. Je k tomu nicméně třeba sestrojit počítače s dostatečným počtem qubits -jak je to obtížné, lze vysledovat z toho, ze v roce 2001 se IBM podařilo pomocí kvantového počítače rozložit číslo 15 a v roce 2012 byl dosažen další faktorizační rekord rozkladem čísla 21. Pro podrobnosti navštivte M8190 Algoritmy teorie čísel Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo RSA Challenge Prvočísla Aritmetické funkce OOO0OOOOOOOOOOOOOO ooooo Poznámka Že je problém rozkladu přirozeného čísla na prvočísla výpočetně složitý, o tom svědčí i (již neplatná) výzva učiněná v roce 1991 firmou RSA Security (viz http: //www. rsasecurity. com/rsalabs/node. asp?id=2093). Pokud se komukoliv podařilo rozložit čísla označená podle počtu cifer jako RSA-100, ..., RSA-704, RSA-768, ..., RSA-2048, mohl obdržet 1000_____ 30 000, 50 000, ..., resp. 200 000 dolarů (číslo RSA-100 rozložil v temže roce Arjen Lenstra, číslo RSA-704 bylo rozloženo v roce 2012, některá dosud rozložena nebyla). Prvočísla OOOO0OOOOOOOOOOOOO Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Díky jednoznačnosti rozkladu na prvočísla jsme schopni (se znalostí tohoto rozkladu) snadno odpovědět i na otázky ohledně počtu či součtu dělitelů konkrétního čísla. Stejně snadno dostaneme i (z dřívějška intuitivně známý) postup na výpočet největšího společného dělitele dvou čísel ze znalosti jejich rozkladu na prvočísla. • Každý kladný dělitel čísla a — p11.....pkk je tvaru p™1.....p™k, kde mi,..., £ Nq a mi < n\, rr?2 < r?2, 9 Číslo a má tedy právě r(a) = (r?i + l)(r?2 + 1)(nk + 1) kladných dělitelů, jejichž součet je Pi A71 + 1 1 Pk 1 a(a) Pi-1 Pk ~ 1 Prvočísla ooooo«oooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Důsledek (Pokr.) Jsou-li pi,..., p k navzájem různá prvočísla a r?i, ..., m^ G No a označíme-li r\ — min{r?;, m,}, ti = max{r?;, m;} pro každé i = 1, 2,..., k, platí , nk, mlr (pí ni [pí ni pD = pí1 ŕ/c p/c Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Mersenneho prvočísla a dokonalá čísla Prvočísla Aritmetické funkce 000000*00000000000 ooooo S pojmem součet všech kladných dělitelů čísla a souvisí pojem tzv. dokonalého čísla a, které splňuje podmínku a(a) = 2a, resp. slovně: součet všech kladných dělitelů čísla a menších než a samotné je roven číslu a. Takovými čísly jsou např. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14, 496 a 8128 (jde o všechna dokonalá čísla menší než 10 000). Poznámka Lze ukázat, že sudá dokonalá čísla jsou v úzkém vztahu s tzv. Mersenneho prvočísly. Platí totiž: a je sudé dokonalé číslo, právě když je tvaru a = 2q~ľ • (2q — 1), kde 2q — 1 je prvočíslo. Na druhou stranu popsat lichá dokonalá čísla se dodnes nepodařilo, resp. dodnes se neví, jestli vůbec nějaké liché dokonalé číslo existuje. Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Hledání velkých prvočísel Prvočísla Aritmetické funkce OOOOOOO0OOOOOOOOOO ooooo Mersenneho prvočísla jsou právě prvočísla tvaru 2 — 1. Bez zajímavosti není ani to, že právě Mersenneho prvočísla jsou mezi všemi prvočísly nejlépe „vidět" - pro Mersenneho čísla existuje poměrně jednoduchý a rychlý postup, jak ověřit, že jde o prvočísla. Lucas-Lehmerův test Definujme posloupnost (sn)^0 rekurzívně předpisem so — 4, sn+i = — 2. Pak je číslo Mp = 2P — 1 prvočíslo, právě tehdy, když Mp dělí sp_2. Prvočísla OOOOOOOO0OOOOOOOOO Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Proto není náhodou, že největší známá prvočísla jsou obvykle tvaru 2k — 1 (viz např. http://www.utm.edu/research/primes/largest.html). Jakkoliv může být hledání největšího známého prvočísla chápáno jako pochybná zábava bez valného praktického užitku2, jednak posunuje hranice matematického poznania zdokonaluje použité metody (a často i hardware), jednak může přinést benefit i samotným objevitelům (Electronic Frontier Foundation vypsala odměny EFF Cooperative Computing Awards za nalezení prvočísla majícího alespoň 106,107,108 a 109 číslic - odměny 50, resp. 100 tisíc $ za první dvě kategorie byly vyplaceny v letech 2000, resp. 2009 - v obou případech projektu GIMPS - na další odměny si ještě zřejmě nějaký čas počkáme). 2Viz např. titulek iDnes z 6.února 2013: Největší známé prvočíslo na světě má 17 milionů číslic a je k ničemu Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooo«oooooooo ooooo oooooooooooo Rozložení prvočísel Nyní se budeme snažit zodpovědět následující otázky: O Je prvočísel nekonečně mnoho? O Je prvočísel nekonečně mnoho v každé (nebo aspoň některé) aritmetické posloupnosti? O Jak jsou prvočísla rozložena mezi přirozenými čísly? There are two facts about the distribution of prime numbers. The first is that, [they are] the most arbitrary and ornery objects studied by mathematicians: they grow like weeds among the natural numbers, seeming to obey no other law than that of chance, and nobody can predict where the next one will sprout. The second fact is even more astonishing, for it states just the opposite: that the prime numbers exhibit stunning regularity, that there are laws governing their behavior, and that they obey these laws with almost military precision. Don Zagier Prvočísla OOOOOOOOOO0OOOOOOO Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Prvočísel je nekonečně mnoho Věta (Eukleidés) Mezi přirozenými čísly existuje nekonečně mnoho prvočísel. Důkaz. Předpokládejme, že prvočísel je konečně mnoho a označme je pi, P2,..., pn- Položme A/ = pi • p2 ... pn + 1- Toto číslo je buď samo prvočíslem neboje dělitelné nějakým prvočíslem různým od pi,..., pn (čísla pi,..., pn totiž dělí číslo N — 1), což je spor. □ Poznámka Existuje mnoho variant důkazů nekonečnosti prvočísel z různých oblastí matematiky, uveďme ještě alespoň některá tvrzení, z nichž zároveň získáme alespoň částečnou informaci o rozložení prvočísel mezi přirozenými čísly. Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Prvočísel je vcelku hodně Prvočísla Aritmetické funkce ooooooooooo«oooooo ooooo Příklad Pro celé n > 2 existuje mezi čísly n a n\ alespoň jedno prvočíslo. Řešení Označme p libovolné prvočíslo dělící číslo n\ — 1 (takové existuje podle Základní věty aritmetiky, protože n\ — 1 > 1). Kdyby p < n, muselo by p dělit číslo n\ a nedělilo by n\ — 1. Je tedy n < p. Protože p I (r?! — 1), platí p < n\ — 1, tedy p < n\. Prvočíslo p splňuje podmínky úlohy. □ Prvočísla oooooooooooo«ooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Z této věty rovněž vyplývá nekonečnost prvočísel, její tvrzení je ale velice slabé. Následující tvrzení, uvedené bez důkazu, je podstatně silnejší. Věta (Čebyševova, Bertrandův postulát) Pro libovolné číslo n > 1 existuje alespoň jedno prvočíslo p splňující n < p < 2n. Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Prvočísel je vcelku málo Prvočísla Aritmetické funkce OOOOOOOOOOOOO0OOOO ooooo Příklad Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n existuje n po sobě jdoucích přirozených čísel, z nichž žádné není prvočíslo. Řešení Zkoumejme čísla {n + 1)! + 2, {n + 1)! + 3,..., {n + 1)! + {n + 1). Mezi těmito n po sobě jdoucími čísly není žádné prvočíslo, protože pro libovolné k G {2, 3,..., n + 1} platí k | (r? + 1)!, a tedy k I (r? + 1)! + k, a proto (r? + 1)! + k nemůže být prvočíslo. □ Prvočísla OOOOOOOOOOOOOO0OOO Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Prvočísla jsou relativně rovnoměrně rozložena v tom, smyslu, že v libovolné „rozumné" aritmetické posloupnosti je jich nekonečně mnoho. Například zbytek 1 po dělení čtyřmi, stejně jako zbytek 3 po dělení čtyřmi dá vždy nekonečně mnoho prvočísel (zbytek 0 nedá samozřejmě žádné a zbytek 2 pouze jediné). Obdobná situace je pak při uvažování zbytků po dělení libovolným jiným přirozeným číslem, jak uvádí následující věta, jejíž důkaz je ovšem velmi obtížný. Věta (Dirichletova o prvočíslech v aritmetické posloupnosti) Jsou-li a, m nesoudělná přirozená čísla, existuje nekonečně mnoho přirozených čísel k tak, že mk + a je prvočíslo. Jinými slovy, mezi čísly 1 • m + a, 2 • m + a, 3 • m + a,... existuje nekonečně mnoho prvočísel. Uveďme proto alespoň důkaz ve speciálním případě. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOOO0OO ooooo oooooooooooo Prvočísel tvaru 3/c + 2 je nekonečně mnoho Řešení Předpokládejme naopak, že existuje pouze konečně mnoho prvočísel tohoto tvaru a označme je pi = 2, P2 = 5, P3 = 11, .. ., pn. Položme N — 3p2 • P3.....pn + 2. Rozložíme-li N na součin prvočísel, musí v tomto rozkladu vystupovat aspoň jedno prvočíslo p tvaru 3/c + 2, neboť v opačném případě by bylo N součinem prvočísel tvaru 3/c + 1 (uvažte, že N není dělitelné třemi), a tedy podle dřívějšího příkladu by bylo i N tvaru 3/c + 1, což není pravda. Prvočíslo p ovšem nemůže být žádné z prvočísel pi, p2,..., pm jak plyne z tvaru čísla A/, a to je spor. Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Asymptotické chování prvočísel Prvočísla Aritmetické funkce OOOOOOOOOOOOOOOO0O ooooo Z tvrzení uvedených v této kapitole je možné si udělat hrubou představu o tom, jak "hustě"se mezi přirozenými čísla prvočísla vyskytují. Přesněji (i když " pouze"asymptoticky) to popisuje velmi důležitá tzv. "Prime Number Theorem": Věta (Prime Number Theorem, věta o hustotě prvočísel) Nechť 7r(x) udává počet prvočísel menších nebo rovných číslu x e IR. Pak 7t(x) x In x' tj. podíl funkcí 7i(x) a x j In x se pro x —> oc limitně blíží k 1 Poznámka To, jak jsou prvočísla hustě rozmístěna v množině přirozených čísel, rovněž udává Eulerův výsledek J2pep = oc. Přitom např. SneN \ — \-> c°ž znamená, že prvočísla jsou v N rozmístěna „hustěji" než druhé mocniny. Prvočísla 00000000000000000« Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Příklad O tom, jak odpovídá asymptotický odhad 7r(x) ~ xj ln(x), v některých konkrétních příkladech vypovídá následující tabulka I x tt(x) x/ln(x) relativní chyba 100 25 21.71 0.13 1000 168 144.76 0.13 10000 1229 1085.73 0.11 100000 9592 8685.88 0.09 500000 41538 38102.89 0.08 Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce •oooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Aritmetické funkce Aritmetickou funkcí zde rozumíme funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel. Definice Multiplikativní funkcí přirozených čísel rozumíme takovou aritmetickou funkci, která splňuje, že pro všechny dvojice nesoudělných čísel a, b G N platí f(a-b) = f (a) • f (b). Příklad Multiplikativními funkcemi jsou např. funkce f(n) — cr(n), f(n) — r(n) nebo, jak brzy dokážeme i tzv. Eulerova funkce f(n) = (p(n). Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Eulerova funkce Prvočísla Aritmetické funkce oooooooooooooooooo o«ooo Definice Nechť n £ N. Definujme Eulerovu funkci cp předpisem cp(n) = |{a G N I 0 < a < n, (a, n) = 1}| (lépe počet zbytkových tříd nesoudělných s n nebo také těch, které mají modulo n inverzi). Příklad (p(l) = 1, (p(5) = 4, (p(6) = 2, je-li p prvočíslo, je zřejmě PÍP) = P- L Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce oo«oo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooo Nyní dokážeme několik důležitých tvrzení o funkci cp\ Lemma Platí\p(pa) = pa - pa_1 = pa_1(P - 1) = Pa(l - J)- Důkaz. Mezi čísly {1,. .. , pa} jsou soudělná s pa právě násobky p, tedy i-p^-p,...^"-1^ a těch je pa_1. Nesoudělných je proto pa — pa_1. □ Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooooooooo OOO0O oooooooooooo Věta Eulerova funkce cp je multiplikativní. Nechť n e N, jehož rozklad je tvaru n = p^1 • • • p"k. Pak Důkaz. Nechť a, b jsou nesoudělná. Připomeňme bijekci x (mod a • ti) \—> (x (mod a), x (mod ti)) Stačí proto ukázat, že x (mod a - ti) má inverzi, právě když obě složky obrazu mají inverzi - takových dvojic je totiž přesně (p(a) • cp(ti). To je ale jasné z CRT. □ Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooooooooooo oooo* oooooooooooo Příklad Vypočtěte (f{72) Řešení 72 = 23 • 32 ip(72) = 72 • (1 - \) ■ (1 - §) = 24, alternativně y>(72) = (p(8) • y>(9) = 4 • 6 = 24. □ Příklad Dokažte, že Vn G N : ip{An + 2) = ip(2n + 1) 1 Řešení Malá Fermatova věta, Eulerova věta •ooooooooooo Upíná a redukovaná soustava zbytků Prvočísla Aritmetické funkce oooooooooooooooooo ooooo Definice Úplná soustava zbytků modulo m je libovolná m-tice čísel po dvou nekongruentních modulo m (nejčastěji 0,1,..., m — 1). Redukovaná soustava zbytků modulo m je libovolná p(m)-ť\ce čísel nesoudělných s m a po dvou nekongruentních modulo m. Lemma Necht xi, x2,..., tvoří redukovanou soustavu zbytků modulo m. Je-li a £ Z, (a, m) = 1 pa/c / čísla a • xi,..., a • x^(m) r\/on redukovanou soustavu zbytků modulo m. Důkaz. Protože (a, m) = 1 a (x,-, m) = 1, platí (a • x,-, m) = 1. Kdyby pro nějaká i J platilo a • x; = a • xy (mod m), po vydělení obou stran kongruence číslem a nesoudělným s m dostaneme x; = xy (mod rn). □ Malá Fermatova věta, Eulerova věta 0*0000000000 Eulerova věta Prvočísla Aritmetické funkce oooooooooooooooooo ooooo Věta (Eulerova) Nechť a e Z, m e N, (a, m) = 1. Pak a^m) = 1 (mod m). Důkaz. Buď xi,x2,... libovolná redukovaná soustava zbytků modulo m. Podle předchozího lemmatu je i a • xi,..., a • x^m^ redukovaná soustava zbytků modulo m. Platí tedy, že pro každé / existuje j ( i J e {1, 2,..., (p(m)}) tak, že a • x; = xy (mod m). Vynásobením dostáváme (a • xi) • (a • x2) • • • (a • x^(m)) = xi • x2 • • • x^(m) (mod m). Po úpravě a^(m) • xi • x2 • • • x^(m) = xi • x2 • • • x^(m) (mod rrc) vydělení číslem x\ • x2 • • • x^(m) dostaneme požadované. □ Malá Fermatova věta, Eulerova věta OO0OOOOOOOOO Malá Fermatova věta Prvočísla Aritmetické funkce oooooooooooooooooo ooooo Tato tvrzení patří mezi nejdůležitější výsledky elementární teorie v ' I cisel. Věta (Fermatova, Malá Fermatova) Nechť a G Z, p prvočíslo, p\ a. Pak ap~x = 1 (mod p) Důsledek Nechť a £ Z, p prvočíslo. Pak ap = a (mod p) Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooo«oooooooo Rád čísla Prvočísla Aritmetické funkce oooooooooooooooooo ooooo S Eulerovou funkcí a Eulerovou větou úzce souvisí důležitý pojem řád čísla modulo m: Definice Necht a £ Z, m 6 N (a, m) = 1. Řádem čísla a modulo m rozumíme nejmenší přirozené číslo n splňující an = 1 (mod m). Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooo«ooooooo Poznámka To, že je řád definován, plyne z Eulerovy věty - pro každé číslo nesoudělné s modulem je totiž jistě jeho řád nejvýše roven (p(m). Jak později uvidíme, velmi důležitá jsou právě ta čísla, jejichž řád je roven právě (p(m) - tato čísla nazýváme primitivními kořeny modulo m a hrají důležitou roli mj. při řešení binomických kongruencí. Příklad Pro libovolné m 6 N má číslo 1 modulo m rád 1. Číslo —1 má řád 9 1 pro m — 1 nebo m — 2 • 2 pro m > 2 Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta 00000*000000 Příklad Určete řád čísla 2 modulo 7. Řešení 21 = 2 ^ 1 (mod 7) 22 = 4 ^ 1 (mod 7) 23 = 8 = 1 (mod 7) Rád čísla 2 modulo 7 je tedy roven 3. □ Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOO0OOOOO Přesný popis závislosti řádu na exponentu dávají následující 2 věty: Věta Necht m 6 N, a £ Z, (a, m) = 1. Označme r řác/ č/s/a a modulo m. Pak pro libovolná ř, s £ N U {0} p/ař/' ař = as (mod m) t = s (mod r). Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOO0OOOO Důkaz. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že t > s. Vydělíme-li číslo t — s číslem r se zbytkem, dostaneme t — s = q • r + z, kde q, z G No, 0 < z < r. "<^" Protože t = s (mod r), máme z = 0, a tedy aŕ_s = aqr = (ar)qř = lq (mod m). Vynásobením obou stran kongruence číslem as dostaneme tvrzení. "=^" Z aŕ = as (mod m) plyne as • aqr+z = as (mod m). Protože je ar = 1 (mod m), je rovněž aqr+z = az (mod m). Celkem po vydělení obou stran kongruence číslem as (které je nesoudělné s modulem), dostáváme az = 1 (mod m). Protože z < r, plyne z definice řádu, že z = 0, a tedy r t — s. □ Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOO0OOO Zřejmým důsledkem předchozí věty a Eulerovy věty je následující tvrzení Důsledek Nechť m 6 N, a £ Z, (a, m) = 1. Označme r řád čísla a modulo m. O Pro libovolné r? £ N U {0} platí an = 1 (mod m) <^=^> r r?. O r I v?(m) Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOO0OO Následující věta je zobecněním předchozího Lemmatu Necht m, n G N, a G Z, (a, m) = 1. Je-// řac/ čísla a modulo m roven r G N, /e řác/ č/s/a an modulo m roven -r^- Důkaz Protože jy^j = [r, r?], což je zřejmě násobek r, máme (a")(^) = a^ = 1 (mod m) (plyne z předchozího Důsledku, neboť r | [r, n]). Na druhou stranu, je-li k G N libovolné takové, že (an)^ = an/c = 1 (mod m), dostáváme (r je řád a), že r n • k a dále víme, že I • /c a V J 7' ' (n,r) i (n,r) díky nesoudělnosti čísel -r-^ a -r1^ dostáváme -r-^ k. Proto je y {n,r) (n,r) (n,r) J řádem čísla an modulo m. □ Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooooo«o Poslední z této řady tvrzení dává do souvislosti řády dvou čísel a řád jejich součinu: Lemma_J Necht m £ N, a, b £ Z b je řádu s modulo m, modulo m. , (a, m) = kde (r, s) (b, m) = 1. Jestliže a je rádu r a — 1, pak číslo a • b je rádu r • s Důkaz. i Označme S řád čísla a • b. Pak (ab)s = 1 (mod m) a umocněním obou stran kongruence dostaneme arSbrS = 1 (mod m). Protože je r řádem čísla a, je ar = 1 (mod m), tj. brS = 1 (mod m), a proto s | rS. Z nesoudělnosti ras plyne s | S. Analogicky dostaneme i r | ô, a tedy (opět s využitím nesoudělnosti r, s) r • s | S. Obráceně zřejmě platí (ab)rs = 1 (mod m), proto S | rs. Celkem tedy ô = rs. □ Prvočísla oooooooooooooooooo Aritmetické funkce ooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta 00000000000« Důsledek Necht m 6 N a r je nejmenší společný násobek všech řádů modulo m. Pak existuje číslo řádu r modulo m. Důkaz. Stačí pro a řádu s, b řádu t najít prvek řádu [s, t]. Nechť d = (s, t), pak tímto prvkem je ad • b. □ Necht p G N je prvočíslo. Pak existuje prvek řádu p — 1 modulo p, t zv. primitivní kořen.