ukázková závěrečná písemka z 2020/21
1. Řešte soustavu kongruencí
2x2 = 6 (mod 23) Í9x = 9   (mod 31)
(Nápověda: Prvočíslo 23 je tvaru jako v Rabínově kryptosystému.) (10 bodů)
2. a) Ukažte, že 29 je primitivní kořen modulo 89.
b) Demonstrujte protokol výměny klíčů Diffie-Hellman s tímto modulem a primitivním kořenem a se zvolenými exponenty 19 a 45.
(10 bodů)
3. Dokažte, že neexistuje přirozené číslo m takové, že (p(m) = 434 = 2 • 7 • 31.
(10 bodů)
4. Kolika způsoby mohlo skončit výsledné pořadí týmů volejbalové extraligy s 12 týmy, jestliže se všechny 3 pražské týmy umístily ve spodní polovině tabulky a zároveň za oběma brněnskými celky? (Nápověda: Rozdělte úlohu podle toho, kolik brněnských týmů skončilo v horní/spodní části tabulky.) (8 bodů)
5. Určete počet (ne nutně kódových) slov v (14, 9)-kódu, které mají od slova (000001000000000) Hammingovou vzdálenost menší nebo rovnu 3. Určete maximální počet kódových slov, které se mohou mezi slovy z první části vyskytovat v případě lineárního kódu s maticí
(tak jako na přednáškách;     značí jednotkovou matici). (8 bodů)
6. Najděte vytvořující funkci posloupnosti zadané rekurentně vztahy
an = 3 • a„_i — 2 • a„_2 + n — 3,    a0 = 1,    ai = 2
a udejte vzoreček pro n-tý člen posloupnosti. (Pokud budete počítat celou dobu s neznámými koeficienty, budete nakonec potřebovat také a^, &3-)  (14 bodů)