Domácí úkoly Algebra I – podzim 2021 – 1. týden
1. Určete nejmenší nezáporné celé číslo a takové, že ([2]37)20212021
= [a]37.
2. Určete nejmenší nezáporné celé číslo a takové, že [831]353 · [a]353 = [1]353.
3. Na množině R × R uvažujme relaci ekvivalence ∼ definovanou předpisem
(a, b) ∼ (¯a,¯b) ⇐⇒ (a − ¯a) − (b − ¯b) ∈ Z.
Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda korektně definuje na množině
S = (R × R)/∼ operaci takovou, že (S, ) je pologrupa.
(a) [(a, b)]∼ [(c, d)]∼ = [(c − b, d − a)]∼, pro a, b, c, d ∈ R
(b) [(a, b)]∼ [(c, d)]∼ = [(a · c, b · d)]∼, pro a, b, c, d ∈ R