}w¡¢£¤¥¦§¨!"#$%&123456789@ACDEFGHIPQRS`ye| Fakulta informatiky
Masarykovy univerzity
Převod do pointfree
a pointwise
IB015 Neimperativní programování
Tomáš Szaniszlo, Vladimír Štill, Martin Ukrop
Poslední modifikace: 26. ledna 2023
Chyby, překlepy, nejasnosti a nejednoznačnosti prosím nahlašujte v diskusním fóru předmětu.
IB015 – Pointfree a pointwise
Převod do pointfree a pointwise
0.1 Úvod
Z hlediska uvádění formálních argumentů lze výrazy převést do dvou speciálních tvarů –
pointfree a pointwise.
Pointfree tvar se vyznačuje tím, že neobsahuje žádnou λ-abstrakci, a tedy ani žádný formální
argument. U jednodušších výrazů je tento tvar poměrně užitečný v pozici argumentu funkcí
vyšších řádů, například map, filter, atd. Namísto \x y -> x * y lze psát (*) nebo namísto
\x -> map f (filter p x) jenom map f . filter p. Odstraňuje se tím zbytečný šum a
zápis je kratší. Výraz v pointfree tvaru také neobsahuje identifikátory formálních argumentů,
které jsou leckdy arbitrárně označeny. Na druhou stranu, tento tvar je potřeba užívat s mírou,
protože u složitějších výrazů může být na pochopení jen velmi stěží proniknutelný. Například
jen málokdo pozná, že za
(.(,)) . (.) . (,)
se skrývá ekvivalentní zápis jednoduchého výrazu
\x y z -> (x, (y, z))
Takovýto výraz je pak také náročnější na otypování.
Pointwise tvar je zas opakem pointfree – nejvíce vnější funkce musí mít přes λ-abstrakci uvedeny
všechny formální argumenty, které může dostat. Tento tvar je explicitní v tom, kolik argumentů
funkce přijímá a aplikace jsou v ní přímo viditelné.
Připomeňme, že pointfree a pointwise tvary jsou krajními tvary výrazů. Výraz nemusí být ani
v jednom z nich, například výraz \f g -> f . g není v pointfree, ani pointwise tvaru, výraz
(.) je v pointfree tvaru a \f g x -> f (g x) je v pointwise tvaru.
Úpravy do pointfree/pointwise tvaru, které lze provádět na výrazech, lze provádět i na funkcích
(musí však být definována na jednom řádku). Tedy fun x = f (g x) lze obdobně jako \x ->
f (g x) upravit na fun = f . g.
Zároveň, vzhledem na možnou variabilitu kroků, lze při převodech dospět k mírně odlišným
výsledkům. Vzniklé výrazy však musí být ekvivalentní.
0.2 η-redukce (eta-redukce)
Základním nástrojem, který umožňuje převod do pointwise nebo pointfree tvaru, je η-redukce,
někdy nazývaná také η-konverze. η-redukce je pravidlo, které říká, že výrazy \x -> M x a M
jsou ekvivalentní, za předpokladu, že proměnná x se nenachází ve výrazu M volná. Volný výskyt
proměnné je takový, který není vázán žádnou λ-abstrakcí ve výrazu. Opakem je vázaný výskyt.
Pokud bychom totiž převedli výraz \x -> (zipWith (+) x) x na zipWith (+) x, je zjevné,
že tato úprava není korektní. V dalším textu budeme mít pod výskytem proměnné automaticky
na mysli volný výskyt.
1
IB015 – Pointfree a pointwise
Prakticky nám tato definice klade několik podmínek na to, kdy můžeme provést η-redukci:
• redukovaná proměnná se musí nacházet v těle λ-abstrakce právě jednou,
• redukovaná proměnná se musí nacházet úplně na konci λ-abstrakce, tj. výraz musí být ve
tvaru \x -> ... x, přičemž v něm musí existovat implicitní závorky \x -> (...) x.
U implicitních závorek musí jít skutečně o nové závorky. Pokud bychom do výrazu \x -> 3 + x
doplnili závorky na \x -> (3 +) x, dostaneme ekvivalentní výraz s operátorovou sekcí, avšak
třeba myslet na to, že tyto závorky nelze považovat za implicitní, nýbrž za součást syntaxe
operátorové sekce. Totiž samotný výraz 3 + není korektní.
Pozor, η-redukované výrazy jsou sice funkčně ekvivalentní v tom smyslu, že kdekoli můžeme
použít původní výraz, můžeme použít i η-redukovaný výraz, nemusí však být typově ekviva-
lentní:
\x y -> x y :: (a -> b) -> a -> b
\x -> x :: a -> a -- po eta-redukci y
Všimněte si však, že typ η-redukovaného výrazu je obecnější, než typ původního výrazu. Obecně,
typ výrazu po η-redukci je stejný, nebo obecnější než typ původního výrazu.
0.3 Převod do pointfree tvaru
Při tomto převodu opakujeme stejný postup. Dokud se ve výrazu nachází λ-abstrakce, odstraníme
pomocí η-redukce poslední formální argument. Tedy pokud máme λ-abstrakci \x y z
-> ..., odstraňujeme postupně z, pak y a nakonec x. Na to, abychom mohli použít η-redukci,
musíme splnit podmínky uvedené v 0.2.
Předpokládáme, že odstraňovanou proměnnou máme ve výrazu v právě jednom výskytu (jinak
viz 0.3.1). Cílem je pak dostat jí na konec těla λ-abstrakce. Toho lze dosáhnout různými
úpravami přičemž vždy musíme mít na paměti cíl – dostat proměnnou na konec těla. Obecně
můžeme narazit na několik situací, které popíšeme, a u každé uvedeme úpravu, která nás přiblíží
k cíli.
Použitá notace: x – odstraňovaná proměnná, expr – výraz neobsahující proměnnou x, expr_x
– výraz obsahující proměnnou x, ⊕ – operátor.
• proměnná ve výrazu napravo od operátoru:
\x -> expr1 ⊕ expr2_x
\x -> ((⊕) expr1) expr2_x
nebo, pomocí operátorové sekce:
\x -> (expr1 ⊕) expr2_x
Příklad:
\x -> flip . const x
\x -> ((.) flip) (const x)
• proměnná ve výrazu nalevo od operátoru:
2
IB015 – Pointfree a pointwise
\x -> expr1_x ⊕ expr2
\x -> (flip (⊕) expr2) expr1_x
nebo, pomocí operátorové sekce:
\x -> (⊕ expr2) expr1_x
Příklad:
\a -> even a || any [True, False]
\a -> (flip (||) (any [True, False])) (even a)
• složená funkce
\x -> expr1 (expr2 x)
\x -> (expr1 . expr2) x
Příklad:
\f -> zipWith (flip f)
zipWith . flip
• proměnná před jinými parametry funkce
\x -> f expr1 expr2_x expr3 ... exprn
\x -> flip (f expr1) expr3 expr2_x ... exprn
Příklad:
\x -> take x [(1+), (2*)] 10
\x -> (flip take [(1+), (2*)]) x 10
nebo
\s -> take 2 s 10
\s -> flip (take 2) 10 s
• proměnná jako funkce
\x -> x expr1
\x -> id x expr1
Příklad:
\f -> f 1 10
\f -> id f 1 10
0.3.1 Úprava výrazu na jeden výskyt formální proměnné
Výše uvedený postup lze použít, pokud máme ve výrazu pouze jeden výskyt proměnné. V
opačném případu je potřeba výraz upravit. K tomuto účelu je někdy zapotřebí přidávat do
výrazu nové funkce (lze vystačit s id, const, dist, flip1
).
Pokud se nenachází ani jednou, použijeme funkci const na její doplnění. Majíce výraz \x -> M,
kde M neobsahuje x, provedeme úpravu na \x -> const M x.
1
Funkce dist jako jediná ze jmenovaných není definována v standardní knihovně.
3
IB015 – Pointfree a pointwise
Poznámka: Funkce dist a její použití je nad rámec předmětu a nebude probíráno na přednášce
ani zkoušeno. Její použití je zde zahrnuto pouze pro úplnost. V rozsahu předmětu můžete tedy
předpokládat, že nikdy nebude vaší úlohou převádět do pointfree výrazy obsahující stejný argument
v těle více než jednou.
Pokud se proměnná nachází v těle více než jednou, lze použít funkci dist (dist f g x =
f x (g x)) a to tak, že výraz upravíme na tvar těla této funkce a následně ho nahradíme
odpovídajícím výrazem s funkcí dist. Tuto úpravu opakujeme, dokud výraz neobsahuje právě
jeden výskyt dané proměnné. Například \x -> 1 <= x && x <= 10 převedeme následovně:
\x -> (&&) ((1<=) x) ((<=10) x)
\x -> ((&&) . (1<=)) x ((<=10) x)
\x -> dist ((&&) . (1<=)) (<=10) x
0.4 Převod do pointwise tvaru
Cílem převodu do pointwise tvaru je zvýraznění všech argumentů, na které se daný výraz vždy
aplikuje. Výraz do pointwise tvaru dostaneme tak, že mu přidáváme argumenty a postupně
ho zjednodušujeme vyhodnocováním tzv. kombinátorových funkcí (id, const, flip, dist,
(.), ...), čímž upravíme výraz na přehlednější tvar a obyčejně tím odhalíme potřebu dodání
dalších argumentů, které třeba přidat.
Postup je následovný:
• Zjistíme, která funkce je zadaném výrazu nejvíce vnější.
• Pokud má tato funkce dostatek argumentů dle jejího typu, končíme.
• Pokud této funkci chybí nějaký argument, přidáme čerstvý (dosuď nepoužitý) argument
na konec hlavičky. Existující tělo uzavřeme do závorek a stejný argument přidáme i za
tělo.
• Jde-li zároveň o kombinátorovou funkci, rozepíšeme ji dle definice (ale viz poznámka dále).
Při tomto postupu však třeba být také obezřetný. Vyhodnocení některých funkcí může způsobit
ztrátu informací o typu výrazů. Například u výrazu \x -> const True (not x) dojde po
vyhodnocení na \x -> True ke ztrátě informace o tom, že x :: Bool. V takovýchto případech
ukončíme převod na pointwise tvar u výrazu \x -> const True (not x), protože bychom
jinak dospěli k (typově) neekvivalentnímu výrazu.
Rovněž je také možnost postupovat tímto algoritmem pro každou funkci nacházející se ve
výrazu. Tedy map (f . g) lze upravit nejenom na tvar \s -> map (f . g) s, ale také na
tvar
\s -> map (\y -> f (g y)) s
4